क्या हम क्रमपरिवर्तन के बिना छाँट सकते हैं?

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यह सर्वविदित है कि ट्रांसपोज़िशन द्वारा छँटाई क्रमपरिवर्तन , क्योंकि को सॉर्ट करने के लिए आवश्यक ट्रांसपोज़िशन की न्यूनतम संख्या बिल्कुल । "उलटा संख्या" की इस धारणा में बीजीय कॉम्बिनेटरिक्स में भी अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए यह को जाली की संरचना के साथ करने की अनुमति देता है , जिसे परमुटोहेड्रॉन कहा जाता है और कमजोर ब्रुहट आदेश पर आधारित है। $\sf{P}$ $\pi \in S_n$ $inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$ $S_n$

समूह-सिद्धांत संबंधी शब्दों में समस्या को फिर से प्रकाशित करना रोशन हो सकता है। हम एक समूह दिए गए हैं जनरेटर सेट के साथ और एक मानचित्रण , और दूसरे समूह जिस पर संक्रामक कार्य करता है, और हम निम्न समस्या को हल करना चाहते हैं: दी , खोज न्यूनतम लंबाई वाली ऐसा । क्रमचय मामले में, और ट्रांसपोज़िशन का सेट है। $G$ $\Gamma$ $i_G : \Gamma^* \rightarrow G$ $H$ $G$ $h \in H$ $w \in \Gamma^*$ $i_G(w).h = 1_H$ $G = H = S_n$ $\Gamma$

प्रश्न: क्या इस समस्या के अन्य उदाहरण हैं जो कुशल एल्गोरिदम को स्वीकार करते हैं?

sorting

— NisaiVloot
स्रोत

ठीक है, यह समस्या शायद आसान है जब

G = \prod_{i} Z_{r_{i}}

$G=\prod_i Z_{r_i}$

— मोबिउस गुलगुला

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मेरे पास आपके प्रश्न का निश्चित उत्तर नहीं है, लेकिन "ब्रैड सॉर्टिंग" एक संभावित उम्मीदवार लगता है। इस विकिपीडिया प्रविष्टि के अनुसार हम इसे इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं। चलो एक समूह हो, और tuples के सेट को निरूपित ऐसी है कि । अगर हम करते हैं चोटी समूह चाल द्वारा उत्पन्न , हम में से कोई कार्य निर्धारित कर सकते हैं $X$ $H$ $(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$ $x_1 \ldots x_n = 1_X$ $G$ $B_n$ $\sigma_i$ $B_n$ से अधिक : $H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

यही कारण है कि कहने के लिए है, पदों पर एक स्वैप के प्रभाव और एक विकार को जोड़ती है और । बहुपदीय समय में इस समस्या को बेहतर तरीके से हल करना संभव हो सकता है, जो आपके प्रश्न का उत्तर देगा। $\sigma_i$ $i$ $i+1$

— NisaiVloot
स्रोत

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मार्क जेरुम द्वारा निम्नलिखित पेपर में आपके द्वारा बताई गई समस्या का अध्ययन किया गया जब और (वैकल्पिक समूह): $G=H=S_n$ $G=H=A_n$

मार्क जेरुम: न्यूनतम लंबाई वाले जेनरेटर अनुक्रमों को खोजने की जटिलता। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 36: 265-289 (1985) http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90047-7 ।

अन्य परिणामों के बीच, उन्होंने साबित किया कि जब और "चक्रीय रूप से आसन्न संक्रमणों" का सेट है, तो ऐसे की न्यूनतम लंबाई बहुपद समय में पाई जा सकती है। $G=H=S_n$ $\Gamma$ $w$

— योशियो ओकामोटो
स्रोत