पी की कम्प्यूटेशनल जटिलता

Question

चलो

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(जहां को बाइनरी में एन्कोडेड माना जाता है)। तब हम की कम्प्यूटेशनल जटिलता के बारे में क्या कह सकते हैं ? यह स्पष्ट है कि । और अगर मैं गलत नहीं हूँ, अद्भुत "BBP-प्रकार" एल्गोरिदम की गणना के लिए की बिट quasilinear समय और का उपयोग कर स्मृति, गणना करने के लिए की जरूरत के बिना पिछले बिट्स, ।एल एल ∈ ई एक्स $n$$L$$L\in\mathsf{EXP}$ π ( लॉग एन ) हे ( 1 ) एल ∈ पी एस पी ए सी $n^{th}$$\pi$$(\log n)^{O(1)}$$L\in\mathsf{PSPACE}$

क्या हम और भी बेहतर कर सकते हैं, और गिनती की पदानुक्रम में (कहते हैं) रख सकते हैं? दूसरी दिशा में, क्या लिए कोई कठोरता परिणाम है (यहां तक ​​कि एक बहुत कमजोर है, जैसे -hardness)?L T C$L$$L$$\mathsf{TC}^0$

एक दिलचस्प संबंधित भाषा है

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(जहां फिर से, बाइनरी में लिखा गया है)। हमारे पास है$t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

और इसलिए ; अगर कुछ बेहतर जाना जाता है, तो मुझे बेहद दिलचस्पी होगी।$L' \in \mathsf{PSPACE}$

Comments

(१) क्योंकि सबसे प्रसिद्ध पारलौकिक संख्या है, और इसके बारे में बहुत कुछ ज्ञात है। (२) क्योंकि मैं एक ठोस उदाहरण चाहता था। (मैं, निश्चित रूप से, , , इत्यादि के लिए अनुरूप प्रश्नों में भी बहुत रुचि रखता हूं , आदि जो भी उत्तर अलग-अलग हैं।) (3) क्योंकि, चैटिन के , मुझे पहले से ही उत्तर पता है। : अर्थात्, द्विआधारी अंक कंप्यूटिंग असंभव है! (और मुझे लगता है कि यह दिखाते हुए कमी देना संभव है कि बाद की खोज समस्या असुविधाजनक है और साथ ही साथ लिए भी हैई $\pi$$e$ Ωएन टी $\sqrt{2}$$\Omega$$n^{th}$$\Omega$

— स्कॉट

@ScottAaronson, मुझे लगता है कि हम लंबाई सभी तार पर पुनरावृति कर सकते हैं और पूछ सकते हैं कि भाषा में है; यह हम सभी को पहले बिट्स ऑफ । टी ⟨ एक्स , टी ⟩ टी $x$$t$$\langle x, t \rangle$$t$$\Omega$

— usul

मेरे पास एक समान "संख्या-सिद्धांत-शैली" भाषा है: :-)$L = \{ n \mid \text{ the second lower bit of the }n\text{-th prime number is } 1\}$

— Marzio De Biasi

वैसे, मैंने वेहरचूच की जाँच की, खंड 7.2 के अंत में यह कहा गया है कि त्रिकोणमितीय कार्यों के n-वें बिट और उनके व्युत्क्रमों की गणना समय में हस्ताक्षरित -digit प्रतिनिधित्व का उपयोग करके की जा सकती है ( में अनुमति देता है) उनके डोमेन के कॉम्पैक्ट सबसेट पर ( अंक के रूप में) के अलावा । ( बाइनरी पूर्णांक गुणन की जटिलता है।)- 1 0 1 t $t_m(n) \lg n$$-1$$0$$1$$t_m$

— केव

cs.nyu.edu/exact/doc/pi-log.pdf

— sdcvvc

Answer 1

ठीक है, जेम्स ली ने मुझे 2011 के समीर दत्ता और रामेश्वर प्रताप के इस पत्र की ओर इशारा किया है , जो साबित करता है कि मेरी भाषा ( के अंकों को गिनती पदानुक्रम के चौथे स्तर ( , कागज में एक लापता इंगित करने के लिए नीचे SamiD के लिए धन्यवाद , जो मैंने अपने उत्तर में दोहराया होगा! )। कागज भी अपरिमेय संख्याओं के द्विआधारी अंकों की गणना की जटिलता पर कम सीमा के मेरे प्रश्न पर स्पष्ट रूप से चर्चा करता है, हालांकि यह केवल तर्कसंगत संख्याओं के द्विआधारी अंकों की गणना के लिए एक बहुत ही कमजोर निचली सीमा को साबित करने का प्रबंधन करता है । यही वह है जिसकी तलाश में मैं हूं।π पी एच पी पी पी पी पी पी पी $L$$\pi$$\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$$\mathsf{PP}$

अद्यतन (3 अप्रैल): गणना पदानुक्रम में गणना की जा रही के अंकों का एक मनोरंजक परिणाम निम्नानुसार है। मान लीजिए कि एक सामान्य संख्या है (जिसका द्विआधारी विस्तार "प्रभावी रूप से यादृच्छिक" के लिए जल्दी से परिवर्तित होता है), और मान लीजिए कि (केवल एक छोटे बहुपद उपरि से जुड़े सिमुलेशन के साथ)। तब यह आपके कंप्यूटर को खोजने के लिए प्रोग्राम करने के लिए संभव होगा, उदाहरण के लिए, शेक्सपियर के पूर्ण कार्यों की पहली घटना के द्विआधारी विस्तार में । अगर वह आपको बेतुका लगता है, तो शायद इसे अतिरिक्त साक्ष्य के रूप में लिया जाना चाहिए, जो कि । :-)π पी = पी पी π पी ≠ पी $\pi$$\pi$$\mathsf{P} = \mathsf{PP}$$\pi$$\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$

Comments

ठीक है, लेकिन यह कहता है कि मुझे ऐसा करने से पहले 5 घंटे इंतजार करना होगा!

— स्कॉट एरनसन

BTW, ऊपर उल्लिखित कागज अनिवार्य रूप से की समस्या को कम करता है और गलती से P H H P P P P के रूप में बाध्य हो जाता है । सबसे अच्छी तरह से ज्ञात बाध्य वर्तमान में P H P P P P P P P है जैसा कि यहाँ दिखाया गया है: eccc.hpi-web.de/report/2013/177$\mathsf{BitSLP}$$\mathsf{PH^{PP^{PP}}}$$\mathsf{PH^{PP^{PP^{PP}}}}$

— SamiD