प्लानर ग्राफ के कौन से गुण उच्च आयाम / हाइपरग्राफ के लिए सामान्यीकृत हैं?

Question

एक प्लैनर ग्राफ एक ग्राफ होता है जिसे क्रॉसिंग किनारों के बिना, विमान में एम्बेड किया जा सकता है।

चलो एक हो -uniform-hypergraph, यानी एक hypergraph इस तरह के आकार कश्मीर कि अपने सभी hyperedges है।$G=(X,E)$$k$

हुई है कुछ काम विमान में hypergraphs embedding (क्लस्टरिंग के संदर्भ या कोई अन्य एप्लिकेशन के साथ) पर है, लेकिन अक्सर, डेटा बस विमान में एम्बेड नहीं किया जा सकता है। समाधान या तो इसे मजबूर करने के लिए हो सकता है, कुछ नुकसान के साथ, या इसे उच्च आयाम में एम्बेड कर सकता है जैसा कि मैं यहां बताता हूं:

प्लानारिटी का एक प्राकृतिक विस्तार (IMO, कम से कम) एक " -simple-embedding" है (क्या इसके लिए एक अलग नाम है?) : एक एम्बेडिंग , जैसे कि ऐसी सतहें मौजूद हैं जो प्रत्येक हाइपरेज के सभी कोणों को जोड़ती हैं, और ये एंडपॉइंट्स को छोड़कर कोई अंतर नहीं करती हैं।$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(2 डी में एनालॉग के बारे में सोचो, जहां प्रत्येक सतह एक किनारा है जिसे आप अपनी पसंद के अनुसार आकर्षित कर सकते हैं)।

यहां 3-समरूप-हाइपरग्राफ के मान्य 3-सरल-एम्बेडिंग का एक उदाहरण दिया गया है। (प्रत्येक शीर्ष हाइपरेजेस द्वारा रंगा जाता है जो इसमें निहित होता है और प्रत्येक चेहरा हाइपरेज का प्रतिनिधित्व करता है)।

3-सरल ग्राफ का एक और उदाहरण 5 कोने पर पूर्ण 3-समान-हाइपरग्राफ है । इसे बस देखने के लिए 4 अंक पर ले जाएं जो 2 डी प्लेन पर झूठ नहीं बोलता है, एक त्रिकोणीय पिरामिड (उनके उत्तल पतवार) बनाएं, और पांचवें बिंदु को पिरामिड के केंद्र में रखें, इसे कनेक्ट करें अन्य कोने।$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

इसी तरह, ऐसा लगता है कि 6 कोने पर पूर्ण 3-समान-हाइपरग्राफ में 3-सरल-एम्बेडिंग नहीं है।

प्लानर ग्राफ़ के कुछ बहुत ही उपयोगी गुण हैं जो ग्राफ़ प्लानर होने पर कठिन समस्याओं के लिए बेहतर एल्गोरिदम की अनुमति देते हैं। दुर्भाग्य से, डेटा अक्सर प्लानर नहीं होता है, हालांकि कभी-कभी यह कम आयामीता का होता है। मुझे लगता है कि प्लानेर ग्राफ के कौन से गुण सामान्यीकृत करते हैं, यह समझने में मदद मिलेगी कि एक ही उपकरण के साथ उच्च आयाम के लिए कौन से एल्गोरिदम को अनुकूलित किया जा सकता है।

एक संपत्ति का एक उदाहरण जो उपयोगी हो सकता है वह फेरी के प्रमेय से आता है जो बताता है कि प्रत्येक प्लानर ग्राफ को इस तरह से एम्बेड किया जा सकता है कि इसके सभी किनारे सीधी रेखा वाले खंड हों।

क्या फेरी की प्रमेय उच्च आयाम में है? , एक ग्राफ एक है यानी अगर के लिए आसान सरल-embedding, यह एक एम्बेडिंग जिसमें अति किनारों के सभी hyperplanes हैं है?$k$

क्या कोई अन्य गुण हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, क्या प्लानर ग्राफ़ के लिए यूलर का फॉर्मूला किसी भी तरह उच्च आयाम पर सामान्यीकृत किया जा सकता है? (हालांकि फिलहाल मुझे यकीन नहीं है कि इसका क्या अर्थ होगा)।

Answer 1

पहली टिप्पणी के रूप में, आपका ध्यान हाइपरग्राफ पर लगता है, लेकिन मुझे लगता है कि हाइपरग्राफ को एम्बेड करने के बारे में अधिकांश साहित्य सरल परिसरों के साथ काम करना पसंद करते हैं। इन सवालों पर एक अच्छा संदर्भ है मैटोग्राफ, टेंसर और वैगनर का यह पेपर ।

क्या फेरी की प्रमेय उच्च आयाम में है?

जवाब न है।

वास्तव में एम्बेड करने की 3 अलग-अलग धारणाएं हैं: सीधे, टुकड़ा-रेखीय और निरंतर (हाइपर) -जेस के साथ। विमान में, वे सभी मेल खाते हैं, लेकिन सामान्य तौर पर वे नहीं करते हैं। स्ट्रेट-लाइन एम्बेडिंग के संबंध में, एक पहला काउंटर-उदाहरण Brehm के कारण है

ब्रेअम, यू। (1983)। एक नॉनपॉलीहाइड्रल त्रिकोणित मोबीस पट्टी। प्रोक। आमेर। गणित। सोसाइट।, 89 (3), 519-522। डोई: 10.2307 / 2,045,508

और कई उदाहरणों ने मैट्रोइड सिद्धांत के परिणामों का उपयोग किया है।

पीएल और टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग के बीच के अंतर के बारे में, हाउप्टवर्मुटुंग से उत्पन्न होने वाले सामान्य काउंटर-उदाहरणों के परिणामस्वरूप : आयाम 5 और अधिक में, ऐसे टोपोलॉजिकल क्षेत्र मौजूद हैं जो किसी भी टुकड़े-रेखीय संरचना को स्वीकार नहीं करते हैं

क्या कोई अन्य गुण हैं जिन्हें सामान्यीकृत किया जा सकता है? उदाहरण के लिए, क्या प्लानर ग्राफ़ के लिए यूलर का फॉर्मूला किसी भी तरह उच्च आयाम पर सामान्यीकृत किया जा सकता है?

आप यूलर विशेषता (टॉपोलॉजिकल परिभाषा पर जाएं) पर एक नज़र डालना चाहते हैं , जो कि अपने परिसर के बेट्टी संख्या के वैकल्पिक योग के साथ -dimensional सरलता की संख्या के वैकल्पिक योग से संबंधित है ।$k$

इसी तरह, ऐसा लगता है कि 6 कोने पर पूर्ण 3-हाइपरग्राफ में 3-सरल-एम्बेडिंग नहीं है।

वास्तव में, यह वैन कम्पेन-फ्लोरेस बाधा के परिणामस्वरूप होता है। यह मैटसोक की पुस्तक बोरसुक उलम थियोरम का उपयोग करते हुए उल्लेखनीय विस्तार और स्पष्टता में समझाया गया है।

Answer 2

ओ ओ। आप बहुत सावधान रहना चाहते हैं। 3 डी में उत्तल पॉलीटोप्स के संपर्क ग्राफ़ किसी भी ग्राफ का एहसास कर सकते हैं। हैरानी की बात यह है कि क्लिक्स को एन पॉलीटोप्स द्वारा महसूस किया जा सकता है जो एक ही पॉलीटोप (मन के चश्मे) की एन रोटेट और अनुवादित प्रतियां हैं। देखिये यह पेपर:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

यह पहले से ही तात्पर्य है कि आप 3 डी में त्रिकोण के चौराहे रेखांकन के रूप में सुंदर गंदे रेखांकन को एनकोड कर सकते हैं। इस पेपर के भाग 4 को देखें:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

BTW, मुझे समझने की कोशिश करके आपकी समस्या के इसी तरह के संस्करण में दिलचस्पी है कि ज्यामितीय चौराहा ग्राफ कैसे व्यवहार करता है ...

Answer 3

श्नाइडर प्रमेय में कहा गया है कि एक ग्राफ प्लानेर है, अगर उसके घटना पॉसिट में आयाम 3 सबसे अधिक है। इसे मेंडेज द्वारा मनमाने ढंग से सरल परिसरों में बढ़ाया गया है (देखें "सिंपल कॉम्प्लेक्स की ज्यामितीय प्राप्ति", ग्राफ ड्राइंग 1999: 323-332)। अजीब तरह से पर्याप्त एक बहुत ही समान शीर्षक के साथ एक बहुत पुराना कागज है "अर्ध-सरल परिसर का ज्यामितीय अहसास", लेकिन मुझे संदेह है कि यह एक अलग विषय पर है।

Answer 4

बहुत महत्वपूर्ण संपत्ति: वृक्ष-चौड़ाई द्वैत।

उदाहरण देखें: हाइपर-ग्राफ की ट्री-चौड़ाई और फ्रेडेरिक मज़ोइट द्वारा सतह द्वैतता,

सार इस प्रकार है:

ग्राफ माइनर्स III में, रॉबर्टसन और सीमोर लिखते हैं: "ऐसा लगता है कि पेड़ - एक प्लैनर ग्राफ की चौड़ाई और उसके ज्यामितीय दोहरे की पेड़-चौड़ाई लगभग बराबर है, वास्तव में, हमने खुद को आश्वस्त किया है कि वे सबसे अधिक भिन्न होते हैं।" उन्होंने कभी इसका प्रमाण नहीं दिया। इस पत्र में, हम सामान्य सतहों पर हाइपरग्राफ की एम्बेडिंग के लिए इस कथन का एक सामान्यीकरण साबित करते हैं, और हम साबित करते हैं कि हमारी सीमा तंग है।

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf

Comments

एक पक्ष की टिप्पणी के रूप में, इस द्वैत संपत्ति का प्रमाण सबसे पहले डी। लापोइरे ने अपनी पीएचडी थीसिस (बी। कौरसल के निर्देशन में) में दावा किया था। अगर मैं सही हूं तो सबूत ने हाइपरमैप पुनर्लेखन तकनीकों का उपयोग किया।

— सुपर 8

@ Super8, यह दिलचस्प है, क्या आपके पास उस पीएचडी थीसिस का संदर्भ है (निश्चित रूप से मैं इसके बारे में खोज कर सकता था, लेकिन यदि आप अधिक जानकारी प्रदान करते हैं तो अधिक सुविधाजनक है)।

— सईद

$G$$G$