3-सैट के कितने उदाहरण संतोषजनक हैं?

Question

एन-चर पर 3-SAT समस्या पर विचार करें। संभावित अलग-अलग खंडों की संख्या है:

$$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$$

समस्या उदाहरणों की संख्या संभव खंड के सेट के सभी उप-समूहों की संख्या है: $I = 2^C$ । सामान्य रूप से, प्रत्येक $n \ge 3$ , कम से कम एक संतोषजनक उदाहरण और एक असंतोषजनक उदाहरण मौजूद होता है। क्या गणना करना संभव है, या कम से कम अनुमान लगाया गया है, किसी भी दिए गए n के लिए संतोषजनक उदाहरण की संख्या?

Comments

संबंधित प्रश्न भी देखें cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

क्या आप यह समझाते हैं कि आपको मतगणना के सूत्र कैसे मिलते हैं? कहाँ करता है ३! आदि से आते हैं?

— यान किंग यिन

एक और नौसिखिया सवाल: यदि विन्यासों की कुल संख्या (यानी, सत्य असाइनमेंट) , तो इसका मतलब है कि कई सत्य असाइनमेंट किसी भी समस्या उदाहरण द्वारा व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं। यह मेरे ज्ञान के प्रति सहज है कि बूलियन सूत्र इस अर्थ में पूर्ण हैं कि वे किसी भी सत्य तालिका को व्यक्त कर सकते हैं। यहाँ क्या पकड़ है? $2^{2^n} \gg 2^C$

— यान किंग यिन

Answer 1

सैट में चरण संक्रमण पर काम के एक लंबे इतिहास से पता चला है कि किसी भी निश्चित , संतोषजनकता का फैसला करने वाले लिए क्लॉस की संख्या के अनुपात से थ्रेशोल्ड पैरामीट्रिज्ड है । मोटे तौर पर, अगर अनुपात 4.2 से कम है, तो अत्यधिक संभावना के साथ उदाहरण संतोषजनक है (और इसलिए इन कई खंडों और चर के साथ उदाहरणों की संख्या का एक बड़ा अंश संतोषजनक है)। यदि अनुपात 4.2 से थोड़ा ऊपर है, तो रिवर्स होल्ड - उदाहरणों का एक बड़ा अंश असंतोषजनक है।$n$$n$

संदर्भ यहाँ उद्धृत करने के लिए बहुत अधिक हैं: जानकारी का एक स्रोत मेज़र्ड और मोंटानेरी की पुस्तक है । यदि किसी के पास इस विषय पर सर्वेक्षण आदि के स्रोत हैं, तो वे इसे टिप्पणियों में पोस्ट कर सकते हैं या इस उत्तर को संपादित कर सकते हैं (मैं इसे सीडब्ल्यू बनाऊंगा)

संदर्भ:
- Achlioptas सर्वेक्षण
- कहाँ वास्तव में कड़ी मेहनत समस्याएं हैं
- मिश्रित खोज में चरण संक्रमण को परिशोधित करना

Comments

वो बहुत रुचिकर है। "अत्यधिक संभावना" क्या है? क्या यह 75% या 99.9999% जैसा कुछ है?

— फिलिप व्हाइट

मुझे याद नहीं है, ईमानदार होना। यह स्विचओवर बिंदु से अनुपात की दूरी से पैरामीट्रिक होता है, और एक सिग्मॉइड की तरह कार्य करता है (इसलिए यह 1% तेजी से जाता है)। लिंक किए गए सर्वेक्षणों में संभवतः अधिक विवरण है

— सुरेश वेंकट

@ दिलीप, सुरेश: हाँ, यह बहुत तेज़ी से "असंतोष" है। यदि आप भूखंडों को देखते हैं, तो संतुष्ट होने की संभावना लगभग 1 से लगभग 0 से अचानक बदल जाती है। यह दिलचस्प है कि सीमा पर निर्भर करती है । इसके अलावा, यह दिलचस्प है कि यह सब व्यवहार केवल यादृच्छिक उदाहरणों के लिए आयोजित होता है। $k$

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 2

एक तरफ, का विशाल बहुमत असंतोषजनक होगा, जैसा कि सुरेश की टिप्पणी में कहा गया है। (वास्तव में, मुझे लगता है कि यदि आप यादृच्छिक रूप में एक समान उदाहरण का नमूना लेते हैं, तो आपको पहले से ही सभी आठ नकारों को शामिल करने की एक अच्छी संभावना होनी चाहिए, क्योंकि कुछ चर ट्रिपल के लिए क्लॉज के रूप में, अर्थात् तुच्छ असंतोषजनक।)$2^{|C|}$

दूसरी ओर, हम उस संख्या के संतोषजनक उदाहरणों की संख्या को कम-बाध्य कर सकते हैं जो सभी-शून्य असाइनमेंट से संतुष्ट हैं: ये , जैसा कि चर के हर त्रिक के लिए होता है। एक खंड है जिसका हम उपयोग नहीं कर सकते हैं।$2^{(7/8)|C|}$

एक तो साथ इसे गुणा करके संतोषजनक उदाहरणों की संख्या को ऊपरी-बाध्य कर सकता है । चूंकि , मुझे लगता है कि यह केवल पहले से ही एक मामूली-आदेश शब्द को बदलता है ...| सी | = ओ ( एन 3$2^n$$|C|=O(n^3)$

Comments

जब मैंने पहली बार अपनी पीएचडी की पढ़ाई शुरू की, तो मैंने दिखाया कि यदि SAT के लिए क्लॉस की संख्या से अधिक थी, तो वे उदाहरण असंतोषजनक थे। मैंने यह भी साबित किया कि यदि अंतराल की संख्या तो उन उदाहरण या तो विशिष्ट संतोषजनक थे या unsatisfiable। मुझे अपने सिर के शीर्ष पर 3-SAT के लिए व्युत्पत्ति याद नहीं है। ठीक है3 n - 2 n - 2 n - 1 < n यू m ख ई आर ओ च ग एल एक यू एस ई एस ≤ 3 n - 2 $3^n-2^n$$3^n-2^n-2^{n-1}$ $<$ $number of clauses$ $\leq$ $3^n-2^n$

— तैफुन पे

Answer 3

यह उत्तर केवल संतोषजनक उदाहरणों की संख्या की वृद्धि दर से संबंधित है।

एक सेट विरल है यदि सेट में n-बिट स्ट्रिंग्स की संख्या (कुछ स्थिर ) से बंधी है अन्यथा यह घनी है। यह ज्ञात है कि संतुष्टि (एनपी-पूर्ण) और अनसैटिबिलिटी (सीओएनपी-पूर्ण) दोनों घने सेट हैं। मौजूद विरल -complete सेट iff ।O ( n k ) k N P P = N $A$$O(n^k)$$k$$NP$$P=NP$