क्या यह बीजीय मुद्रा के लिए एक समान स्थिति है?

Question

कंटिन्यूअस लैटिसेस एंड डोमेन्स में "बीजीय पोजिट" की परिभाषा, परिभाषा I-4.2, कहती है कि, सभी के लिए$x \in L$

• सेट एक निर्देशित सेट होना चाहिए, और$A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
• $x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$ ।

यहाँ एक poset है, के कॉम्पैक्ट तत्वों के सेट है , और साधन ।कश्मीर ( एल ) एल ↓ x { y | y ⊑ x $L$$K(L)$$L$${\downarrow} x$$\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

पहली शर्त से मैं थोड़ा हैरान था। यह पता चलता है कि के लिए एक आसान तर्क है अगर और में हैं तो में भी है । तो, सभी गैर-खाली परिमित उप-भागों में ऊपरी सीमा होती है। एकमात्र सवाल यह है कि क्या खाली उपसमूह में ऊपरी सीमा है, अर्थात, क्या पहले स्थान पर गैर- रिक्त है। इसलिए,k 2 A ( x ) k 1 A k 2 A ( x ) A ( x ) A ( x $k_1$$k_2$$A(x)$$k_1 \sqcup k_2$$A(x)$$A(x)$$A(x)$

• क्या पहली स्थिति को से बदलना ठीक है?$A(x)$
• ऐसी स्थिति का उदाहरण क्या है जहाँ खाली है?$A(x)$

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नोट जोड़ा गया: A (x) में कैसे है ? सबसे पहले, और , हमारे पास । दूसरा, और कॉम्पैक्ट हैं। तो, कोई भी निर्देशित सेट जो "परे" उन्हें "पास" करना होगा, उन्हें। मान लीजिए एक निर्देशित सेट भी से परे जाता है , अर्थात, । चूँकि यह और से आगे गया है , इसने उन्हें पास कर दिया है, अर्थात, ऐसे तत्व हैं जैसे कि जैसे कि औरकश्मीर 1 ⊑ एक्स कश्मीर 2 ⊑ एक्स कश्मीर 1 ⊔ कश्मीर 2 ⊑ एक्स कश्मीर 1 कश्मीर 2 यू कश्मीर 1 ⊔ कश्मीर 2 कश्मीर 1 ⊔ कश्मीर 2 ⊑ ⨆ यू k 1 कश्मीर 2 y 1 , y 2 ∈ यू कश्मीर 1 ⊑ y 1 कश्मीर 2 ⊑ y $k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqsubseteq x$$k_2 \sqsubseteq x$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$$k_1$$k_2$$u$$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$$k_1$$k_2$$y_1, y_2 \in u$$k_1 \sqsubseteq y_1$$k_2 \sqsubseteq y_2$ । चूँकि एक निर्देशित सेट है, इसलिए इसे और लिए एक ऊपरी बाउंड होना चाहिए , कहें । अब, । इससे पता चलता है कि कॉम्पैक्ट है। दो टुकड़े मिलकर कहते हैं ।y 1 y 2 y कश्मीर 1 ⊔ कश्मीर 2 ⊑ y ∈ घ कश्मीर 1 ⊔ कश्मीर 2 कश्मीर 1 ⊔ कश्मीर 2 ∈ एक ( एक्स $u$$y_1$$y_2$$y$$k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$$k_1 \sqcup k_2$$k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

Comments

आप कहते हैं: "यदि k1 और k2 A (x) में हैं तो k12k2 A (x) में भी है" - आप इसे कैसे साबित करते हैं?

— आर्टेम पेलिनित्सिन

@ArtemPelenitsyn: मैंने अपने तर्क को प्रश्न में जोड़ा है।

— उदय रेड्डी

कृपया मुझे सही करें अगर मुझे यह गलत लगा, लेकिन: आपके नोट में आप मानते हैं कि k12k2 L में मौजूद है। लेकिन L केवल एक पोज़ेट है, एक निर्देशित सेट नहीं है, इसलिए आप ऐसा नहीं कर सकते।

— आर्टेम पेलिनित्सिन

मुझे यह भी पता चला है कि दूसरी स्थिति यहां पूर्ण रूप से सीमित सीपीओ में पर्याप्त है: homepages.inf.ed.ac.uk/libkin/papers/alcpo.pdf (पृष्ठ 1)

— आर्टेम पेलेनिट्सिन

@ArtemPelenitsyn। महान, बहुत बहुत धन्यवाद। छिपी हुई धारणा से सावधान रहें!

— उदय रेड्डी

Answer 1

एक उदाहरण जहां खाली है सामान्य क्रम के साथ वास्तविक संख्या R का सेट है । इसमें कोई कॉम्पैक्ट तत्व नहीं हैं।$A(x)$$\mathbb{R}$

हम दूसरी शर्त मान तो खाली नहीं हो सकता: यदि एक ( एक्स ) = ∅ तो दूसरी शर्त द्वारा एक्स खाली है में शामिल होने, इसलिए कम से कम तत्व एल , जो कॉम्पैक्ट है, इसलिए एक्स ∈ एक ( एक्स ) = A , एक विरोधाभास।$A(x)$$A(x) = \emptyset$$x$$L$$x \in A(x) = \emptyset$

पहली शर्त को गैर-रिक्तता से बदलने का आपका प्रस्ताव काम नहीं करता है। पर विचार करें poset की दो प्रतियां के होते हैं जो एन और ∞ , जहां हम लिखने ι 1 ( एन ) और ι 2 ( एन ) की दो प्रतियां के लिए n , द्वारा आदेश दिया:$L$$\mathbb{N}$$\infty$$\iota_1(n)$$\iota_2(n)$$n$

• $\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
• $\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
• सभी के लिए एक्स ।$x \leq \infty$$x$

शब्दों में, हमारे पास एक सामान्य वर्चस्व वाली दो अतुलनीय श्रृंखलाएं हैं। सभी तत्वों को छोड़कर कॉम्पैक्ट हैं । अभी:$\infty$

1. , जाहिर है।${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$

2. , जाहिर है।$x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$

3. सेट निर्देशित नहीं है।${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$

Comments

ठंडा। महान उदाहरण!

— उदय रेड्डी