अगोडा या कोक में होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत के कौन से भाग संभव नहीं हैं?

Question

जब हम पुस्तक को देखते हैं , तो होममोटी टाइप थ्योरी - हम निम्नलिखित विषयों को देखते हैं:

Homotopy type theory 
2.1 Types are higher groupoids
2.2 Functions are functors
2.3 Type families are fibrations
2.4 Homotopies and equivalences
2.5 The higher groupoid structure of type formers
2.6 Cartesian product types
2.7 S-types
2.8 The unit type
2.9 P-types and the function extensionality axiom
2.10 Universes and the univalence axiom
2.11 Identity type
2.12 Coproducts
2.13 Natural numbers
2.14 Example: equality of structures
2.15 Universal properties

अब हम जानते हैं कि सभी प्रकार के होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत संभव नहीं हैं, एजडा और कोक ।

मेरा सवाल है: अगोडा या कोक में होमोटोपी टाइप सिद्धांत के कौन से हिस्से संभव नहीं हैं?

Comments

विशेष रूप से अच्छी तरह से तैयार प्रश्न नहीं। विषयों की सूची और प्रश्न के बीच क्या संबंध है?

— डेव क्लार्क

@ डेव क्लार्क, विषयों की सूची प्रश्नकर्ता के दिमाग के संदर्भ की तरह दिखती है, इसलिए उत्तरदाता को पता होता है कि प्रश्नकर्ता का प्रारंभिक बिंदु क्या है और तदनुसार उत्तर को दर्ज़ कर सकते हैं। अन्य शिक्षार्थी भी उसी संदर्भ में उत्तर की सराहना कर सकते हैं और समझ सकते हैं कि उत्तर उनके लिए उपयोगी हो सकता है यदि उत्तर देने वाला विचारशील और मानव स्वभाव के बारे में विचारशील हो। आशा है कि भविष्य के अन्य वार्तालापों में भी मदद करता है।

— कोडेशोट

Answer 1

यदि आप अध्याय 8 के नोट्स को देखते हैं तो आप देखेंगे कि क्या पहले ही औपचारिक हो चुका है, और मुझे लगता है कि यह बहुत कुछ है। Coq HoTT लाइब्रेरी और Agda HoTT-Agda लाइब्रेरी हैं जो होमोटोपी टाइप थ्योरी के बड़े हिस्से को औपचारिक बनाती हैं।

Coq में किए गए कामों को करने के लिए हमें Coq के एक विशेष संस्करण की आवश्यकता थी जो कि केवल HoTT के प्रयोजनों के लिए पैच किया गया था। हालांकि, कोक होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत का समर्थन करने की दिशा में आगे बढ़ रहा है, इसलिए लंबे समय से पहले हम इसे मानक कोक के साथ करने में सक्षम हो सकते हैं।

Agda में एक --without-Kविकल्प को चालू करना होगा , अन्यथा Agda सोचता है कि सभी प्रकार 0-प्रकार हैं। कुछ अचंभित करने वाले संदेह हैं कि क्या --without-Kसच में इस धारणा से छुटकारा मिलता है कि सब कुछ 0-सेट है, या शायद पैटर्न के मैचों के मुश्किल उपयोगों के साथ इसे एजडा में फिर से प्रस्तुत किया जा सकता है।

Coq और Agda औपचारिकताओं के निम्नलिखित पहलू संतोषजनक नहीं हैं:

1. Univalence स्वयंसिद्ध एक परिकल्पना के रूप में कहा जाता है। इसे सिस्टम में बनाया जाए तो बेहतर होगा। विशेष रूप से हम चाहते हैं कि कोक और एजडा एकरूपता के बारे में गणना नियमों को समझें।

2. इसी तरह, हमें व्यावहारिक उच्च-प्रेरणात्मक प्रकार प्राप्त करने के लिए हैक का उपयोग करना होगा। फिर, सीधे समर्थन करना बेहतर होगा।

उपरोक्त कमियों के साथ परेशानी यह है कि कोई भी नहीं जानता कि उन्हें सिद्धांत रूप में भी कैसे ठीक किया जाए। यह अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है।

इसके अलावा, मुझे लगता है कि यह कहना उचित है कि HoTT ज्यादातर Coq और Agda में किया जा सकता है, सिर्फ इष्टतम तरीके से नहीं।

Comments

धन्यवाद, क्या एक अच्छा लेखन है कि क्यों एकता और उच्च आगमनात्मक प्रकार Agda और Coq जैसे प्रकार के सिद्धांतों के साथ अच्छी तरह से नहीं बैठते हैं?

— मार्टिन बर्गर

@MartinBerger यह शायद एक अलग सवाल हो सकता है (अधिक आकस्मिक पाठकों के लिए कुछ परिभाषाओं के साथ, आदि)।

— Artem Kaznatcheev

एकजुटता और हिट्स के साथ परेशानी यह नहीं है कि वे "एजडा और कॉक जैसे प्रकार के सिद्धांतों के साथ अच्छी तरह से नहीं बैठते हैं" लेकिन यह कि "हम नहीं जानते कि उन्हें किसी भी प्रकार के सिद्धांत में ठीक से कैसे किया जाए "।

— बाउर

@AndrejBauer एकरूपता और उच्च आगमनात्मक प्रकारों को HoTT राइटअप में स्वरूपित किया जाता है जो एक (अर्ध-औपचारिक) प्रकार-सिद्धांत है। लापता घटक क्या है जो Agda / Coq में उचित औपचारिकता को रोकता है? संबंधित, यदि आप करी-हावर्ड को त्यागने के लिए तैयार हैं, तो क्या एलएबी-एलएफ़ का उपयोग करके, प्रचलित नियमों को औपचारिक रूप देने के लिए एलएबी का उपयोग करते हुए, इसाबेल जैसी एलसीएफ-शैली की कहावत में एकरूपता और उच्च आगमनात्मक रूपों को बनाने में कोई कठिनाई है?

— मार्टिन बर्गर

अभिकलन uaस्वयंसिद्ध गवाह के लिए अभिकलन नियम क्या हैं ? एचआईटी के लिए अभिकलन नियम क्या हैं? हमारे पास कुछ विचार हैं, लेकिन कुछ भी पानी-तंग नहीं है।

— एंड्रेज बॉयर

Answer 2

जहां तक ​​मैं समझता हूं, अगड़ा में यह सब (यानी अध्याय 2 के सभी का प्रतिनिधित्व करना संभव है - जीथब पर एक पुस्तकालय है जो करता है; एएफएआईके, वही कोक का सच है)। यह केवल तब होता है जब आप बाद के अध्यायों में आते हैं कि चीजें पासा जाती हैं। दो स्पष्ट आइटम हैं:

1. वृत्त। यह एक पच्चीकारी का उपयोग करके (अगाडा में) प्रतिनिधित्व किया गया है , और इसलिए अन्य चीजों की तरह अच्छा नहीं है।
2. $\infty$-groupoids। लेकिन यह एक खुली समस्या है कि कैसे एक सीमित तरीके से असीम रूप से कई सुसंगत कानूनों का प्रतिनिधित्व किया जाए।

अन्य आइटम भी हैं, लेकिन मुझे अभी तक एजडा औपचारिकता के उस हिस्से को पढ़ने के लिए नहीं मिला है ... लेकिन बड़े और हूडा के अधिकांश, एजडा और कोक दोनों में अच्छी तरह से औपचारिक हो सकते हैं।

इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि डेवलपर्स की दोनों टीमें सक्रिय रूप से अपने सिस्टम को अपनाने पर काम कर रही हैं ताकि अधिक से अधिक HoTT को संभाला जा सके, कम से कम जब भी कोई स्पष्ट सिद्धांत हो कि आवश्यक सुविधाओं को कैसे लागू किया जाए। यह भागों में चुनौतीपूर्ण हो गया है।