गैर-तुच्छ ग्राफ आटोमोटिव के बारे में?

ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म ग्राफ नोड्स का एक क्रमांकन है जो किनारे सेट पर एक आक्षेप को प्रेरित करता है । औपचारिक रूप से, यह नोड्स का एक क्रमांकन है जैसे iff $E$ $f$ $(u,v)\in E$ $(f(u),f(v))\in E$

एक गैर-किनारे या एक किनारे जिसका पूर्व-कोण गैर-किनारे है के लिए मैप किया गया है एक किनारे के रूप में कुछ क्रमचय के लिए एक उल्लंघन बढ़त को परिभाषित करें।

इनपुट : एक गैर-कठोर ग्राफ $G(V, E)$

समस्या : एक (गैर-पहचान) क्रमचय का पता लगाएं जो उल्लंघन किए गए किनारों की संख्या को कम करता है।

उल्लंघन किए गए किनारों की न्यूनतम संख्या के साथ एक (गैर-पहचान) क्रमचय को खोजने की जटिलता क्या है? क्या समस्या अधिकतम डिग्री (कुछ जटिलता धारणा के तहत) के साथ ग्राफ़ के लिए कठिन है ? उदाहरण के लिए, क्या यह घन रेखांकन के लिए कठिन है? $k$

प्रेरणा: समस्या ग्राफ ऑटोमोरिज़्म समस्या (जीए) की छूट है। इनपुट ग्राफ में गैर-तुच्छ स्वप्रवर्तनवाद (जैसे गैर-कठोर ग्राफ) हो सकता है। एक अनुमानित ऑटोमोर्फिज्म (कोठरी क्रमपरिवर्तन) खोजना कितना मुश्किल है?

22 अप्रैल को संपादित करें

एक कठोर (असममित) ग्राफ में केवल तुच्छ स्वप्रवर्तनवाद है। एक गैर-कठोर ग्राफ में कुछ (सीमित) समरूपता है और मैं इसकी समरूपता को समझने की जटिलता को समझना चाहूंगा।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

समस्या तुच्छ है, पहचान क्रमचय हमेशा इष्टतम होता है।

— जुक्का सुमेला

@ जुक्का, ग्राफ ऑटोमोरफिज्म समस्या में हम गैर-तुच्छ ऑटोमोरिज्म की तलाश करते हैं। इसी तरह, यहाँ मुझे पहचान क्रमचय में कोई दिलचस्पी नहीं है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

मैं वास्तव में सुझाव दे रहा हूं कि आप गलत प्रश्न पूछ रहे हैं ... शायद यह मदद करेगा यदि आपने अपनी प्रेरणा या आवेदन को बताया था।

— जुल्का सुमेला

समस्या ग्राफ ऑटोमोरिज़्म समस्या (GA) की छूट है। इनपुट ग्राफ में गैर-तुच्छ स्वप्रतिवाद हो सकता है। एक अनुमानित ऑटोमोर्फिज्म (कोठरी क्रमपरिवर्तन) खोजना कितना मुश्किल है?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

मुझे समझ में नहीं आता है कि आप गैर-कठोर ग्राफ़ पर सीमित क्यों हैं, जहां वास्तविक इष्टतम मूल्य शून्य है। कठोर रेखांकन में, सन्निकटन कारक अधिक रोचक हो सकता है।

— डेरिक स्टोले

जवाबों:

मैं प्रेरणा को बहुत अच्छी तरह से नहीं समझता। हालाँकि, मुझे संबंधित प्रश्न का उत्तर प्रदान करने दीजिए। प्रॉपर्टी टेस्टिंग फ्रेमवर्क में, आपको दो ग्राफ़ ad दिए जाते हैं और पैरामीटर आधार पर दो मामलों को अलग करना चाहते हैं : $G$ $H$ $\epsilon$

$G$ और आइसोमोर्फिक हैं $H$
से तक की कोई भी कम से कम किनारों पर त्रुटि का कारण बनती है । $G$ $H$ $\epsilon \binom{n}{2}$

जटिलता मेट्रिक आसन्न मेट्रिक्स के लिए जांच की संख्या है, और लक्ष्य दो मामलों को उच्च संभावना के साथ अलग-अलग संख्याओं की जांच करने के लिए है।

एल्डर फिशर और एरी मैत्स्लिआ ( धन्यवाद, अर्नब ) का इस समस्या पर ठीक-ठीक 2006 में सोडा में एक पेपर है। हालांकि यह सीधे आपकी समस्या से नहीं जुड़ता है, यह एक संभावित समस्या निर्माण का एक तरीका हो सकता है, और आपके लिए उपयोगी तकनीक भी प्रदान कर सकता है।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

दरअसल, यह समस्या दिलचस्प भी है।

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

बस एक सुधार: वह कागज एरी मैत्साल्याह के साथ संयुक्त है।

— अर्नब

यदि हम और को एक ही ग्राफ मानते हैं , तो हमें किसी भी जोड़े के स्वैग से गैर-तुच्छ क्रमचय में से कम टकराव होने की गारंटी दी जा सकती है । यह से बहुत कम है ।

G

$G$

H

$H$

2 n

$2n$

ϵ (\binom{n}{2})

$\epsilon{n\choose 2}$

— डेरिक स्टोले

यूजीन लुक्स (" बाध्य घाटी के रेखांकन के आइसोमोर्फिज्म को बहुपद समय में परीक्षण किया जा सकता है ") के परिणाम से पता चलता है कि बाध्य डिग्री रेखांकन के लिए ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म (या ऑटोमोर्फिज्म) बहुपद समय में है। इसलिए, यदि आप कुछ (गैर-पहचान के लिए देख रहे हैं, जैसा कि जुक्का ने बताया है) घन रेखांकन के लिए लगभग-ऑटोमोर्फिज्म जो गैर-कठोर हैं, तो हम लुक्स के एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं और ग्राफ में कोई भी गैर-तुच्छ ऑटोमोरिज़्म ले सकते हैं।

— रामप्रसाद
स्रोत

मैंने कागज को स्किम किया और मेरी समझ यह है कि यह बहुपद समय में बंधी हुई डिग्री GA निर्णय समस्या को हल करता है। मेरा प्रश्न एक अनुकूलन समस्या है। इसके अलावा, आप कठोर रेखांकन को बाहर नहीं कर सकते।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी