जोड़ी-वार डिसऑइंटर्स सेट की अधिकतम संख्या को खोजने की जटिलता

Question

मान लें मेरे पास है कि से लिया तत्वों के साथ सेट संभव वाले। प्रत्येक सेट आकार ( ) का है, जहां सेट ओवरलैप हो सकते हैं। मैं यह निर्धारित करना चाहता हूं कि निम्नलिखित दो समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं या नहीं:$P$$r$$n$$n<r$

समस्या ए वहाँ ( ) अलग भीतर सेट सेट (यानी, उनके जोड़ी के लिहाज से चौराहे खाली है)?$M$$1 \le M \le P$$P$

समस्या B. अब ( ) तत्वों को प्रत्येक सेट से चुना जा सकता है। देखते हैं ( ) अलग आकार के सेट के भीतर प्रत्येक सेट? ध्यान दें कि k तत्वों के केवल एक सेट को n तत्वों के प्रत्येक सेट से लिया जा सकता है ।$k$$k<n$$L$$1 \le L \le P$$k$$P$$k$$n$

टिप्पणी : मैं मुख्य रूप से उस मामले में दिलचस्पी रखता हूँ , जहाँ k, n$k,n$ निश्चित हैं ( $n \ge 2, k \ge 2$ )।

मुझे लगता है कि समस्या एक एक के रूप में सोचा जा सकता है $n$ -uniform $r$ -partite अति ग्राफ मिलान समस्या। यही है, हमारे पास आर के तत्व वर्टिकल के$r$ रूप में हैं, और प्रत्येक हाइपर-एज में ग्राफ के $n$ वर्टिकल का एक सबसेट है ।

1. में $n$ -uniform $r$ -partite अति ग्राफ मिलान समस्या एन पी-सम्पूर्ण?

2. मुझे लगता है कि समस्या बी प्रमुखता के विशिष्ट अति किनारों की संख्या पाने के लिए बराबर है $k$ प्रमुखता के अति किनारों से लिया $n$ । इस प्रतिबंधित संस्करण (इस अर्थ में कि प्रत्येक है $k$ -cardinality सेट के एक पूर्व चुना सेट से लिया जाता है $n$ तत्वों के बजाय से मनमाने ढंग से लिया $r$ समस्या एक के तत्वों) एन पी-सम्पूर्ण?

उदाहरण ( $n=3,r=5, P=3$ ):

$A=\{1,2,3\}$ , $B=\{2,3,4\}$ , $C=\{3,4,5\}$

यदि , तो केवल एक अलग सेट है, जो या या , चूंकि प्रत्येक जोड़े , , में गैर- है खाली चौराहा।$k=n=3$$M=1$$A$$B$$C$$(A,B)$$(A,C)$$(B,C)$

यदि , हमारे पास अलग-अलग सेट हैं: एक समाधान , ( और सबसेट ) है।$k=2$$L=2$$\{1,2\}$$\{3,4\}$$A$$B$

Answer 1

यह अधिकतम सेट पैकिंग समस्या का एक विशेष मामला है और दोनों समस्या ए और बी एनपी-पूर्ण हैं । ध्यान दें कि समस्या केवल एक मिलान समस्या है यदि$n=2$ और अगर आसान भी है $n=1$। तो मैं मान लूंगा$n \ge 3$।

प्रश्न पूछने के बजाय,

वहां हैं $M$ के बीच में असहमति सेट $P$ सेट?

आइए निम्नलिखित प्रश्न पूछें

हमारे द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले डिसऑइंटर्स सेट की अधिकतम संख्या क्या है $P$ सेट?

यह स्पष्ट है कि यदि दूसरा प्रश्न बहुपद समय में उत्तर देने योग्य है, तो ऐसा सबसे पहला है क्योंकि हमें केवल इतना करना है कि इस अधिकतम मूल्य की तुलना करें $M$और आउटपुट हाँ यदि$M$इस अधिकतम से कम या बराबर नहीं है, अन्यथा नहीं।

इसके अलावा, यदि पहला प्रश्न बहुपद समय में उत्तर देने योग्य है, तो दूसरा भी है क्योंकि हम बाइनरी खोज का उपयोग कर सकते हैं $M$ और दूसरे प्रश्न का उत्तर प्राप्त करें और केवल एक कारक जोड़ें $O(\log{M})$

इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दोनों प्रश्न समान हैं। अर्थात प्रश्न 1 बहुपदीय समय है और यदि केवल प्रश्न 2 भी है।

यह भी स्पष्ट है कि समस्याएं एनपी में हैं क्योंकि हम आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि $M$ सेट किए गए आउटपुट अस्वीकृत हैं।

तो अब सवाल यह है कि हम एक ज्ञात एनपी-हार्ड समस्या को कैसे कम करें? ऐसा करने के लिए हम अधिकतम सेट पैकिंग समस्या से कम करते हैं । मैं बस समस्या A पर ध्यान केंद्रित करूँगा क्योंकि समस्या B को आसानी से सेटिंग करके कठिन दिखाया जा सकता है$k=n-1$

अधिकतम सेट पैकिंग समस्या के एक मनमाने उदाहरण पर विचार करें $T$। ध्यान दें कि समस्या ए और मूल अधिकतम सेट पैकिंग समस्या के बीच एकमात्र अंतर यह है कि समस्या ए में, सेट का आकार बराबर होना चाहिए। चलो$t$ सभी सेटों में अधिकतम कार्डिनैलिटी हो $T$। अगर हर सेट में$T$ एक ही कार्डिनैलिटी है, हम कर रहे हैं और सेट कवर की समस्या सटीक रूप से समस्या है। अब मान लीजिए कि कुछ सेट के लिए $S_i \in T$, हमारे पास है $|S_i| < t$। हम बस जोड़ते हैं$(t-|S_i|)$ तत्वों को $S_i$ जो किसी भी सेट के तत्व नहीं हैं $T$। हम सभी सेट होने तक इस प्रक्रिया को दोहराते हैं$S_i \in T$एक ही आकार है। यह स्पष्ट है कि इस तरह से नए तत्वों को जोड़ने से अधिकतम संख्या में असहमति सेट का आकार नहीं बदलता है।

तो, अगर हम समस्या को हल कर सकते हैं $A$ बहुपद समय में, हम बहुपदीय समय में अधिकतम सेट पैकिंग की समस्या को हल कर सकते हैं क्योंकि हमें जो कुछ करना है, उसमें जो अतिरिक्त तत्व हैं उन्हें हटा दें, और ऐसा करने से अधिकतम संख्या में नापसंद सेट का आकार नहीं बदलता है $T$।

EDIT - समस्या B के बारे में कुछ अतिरिक्त जानकारी

मान लीजिए कि समस्या बी में एक बहुपद समय समाधान है, अब एक मनमाना उदाहरण पर विचार करें $T$ के साथ समस्या ए की $n$प्रति सेट तत्व। अब हम एक डमी तत्व जोड़ते हैं$d$ प्रत्येक सेट में $T$। अब हम निम्नलिखित प्रश्न पूछते हैं।

डिस्ऑइंटर्स सेट की अधिकतम संख्या क्या है, जिसे हम प्राप्त कर सकते हैं $n$ प्रत्येक सेट से तत्व?

अब हम जानते हैं कि अधिकतम में सेट के बीच, उनमें से अधिकांश में डमी तत्व हो सकता है, इसलिए यदि उत्तर हमें अधिकतम मिलता है, तो $M$, तो उदाहरण में सेट की वास्तविक अधिकतम संख्या $T$ (हमारी मूल समस्या ए) या तो है $M$ या $(M-1)$, लेकिन यह अधिकतम सेट पैकिंग के लिए एक निरंतर कारक सन्निकटन देता है। और ऐसा अनुमान तभी संभव है जब$P=NP$। तो समस्या B भी कठिन है।

Comments

समस्या बी के बारे में: यदि आप समस्या ए के सभी सेटों में एक डमी तत्व जोड़ते हैं, तो आपको आकार के सेट मिलते हैं $n+1$। मेरे प्रश्न में दिखाई देने वाले उदाहरण में ($n=3, P=3$), आपको यह मिलेगा कि आकार की अधिकतम संख्या के असंतुष्ट सेट $n-1=2$ 3 है: $\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$। हालाँकि, समस्या A का हल केवल एक सेट है। दूसरे शब्दों में, मैं यह नहीं देखता कि समस्या बी का समाधान समस्या ए के लिए एक निरंतर कारक सन्निकटन कैसे देता है

— एमजेके

यदि आप डमी तत्व जोड़ते हैं, तो आपके पास सेट हैं $A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$ तथा $C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$। यह नया उदाहरण है$n=4$ समस्या का उदाहरण ए है जिसमें हम रुचि रखते हैं। अब इन सेटों पर माना जाने वाला बी एल्गोरिथ्म चलाएं $n=4$ तथा $k=3$। मैं भी येही कह रहा हूँ। ध्यान दें कि समस्या कम हो जाती है यदि अधिकतम मिलान हो तो$n=2$ या $k=2$।

— ओबिन्ना ओक्चुकुव