एनपी-मध्यवर्ती स्थिति के लिए कुछ प्राकृतिक उम्मीदवार क्यों हैं?

Question

यह अच्छी तरह से Ladner की प्रमेय से जाना जाता है कि अगर ${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$ , तो असीम कई मौजूद $\mathsf {NP}$ -intermediate ( $\mathsf{NPI}$ ) समस्याओं। इस स्थिति के लिए प्राकृतिक उम्मीदवार भी हैं, जैसे कि ग्राफ आइसोमोर्फिज्म, और कई अन्य, पी और एनपीसी के बीच समस्याएं देखें । फिर भी, जाना जाता है की भीड़ में विशाल बहुमत $natural$ $\mathsf {NP}$ -problems या तो में जाना जाता है $\mathsf {P}$ या $\mathsf {NPC}$ । उनमें से केवल एक छोटा सा अंश एन पी I के लिए एक उम्मीदवार बना हुआ है$\mathsf {NPI}$। दूसरे शब्दों में, यदि हम किसी ज्ञात $\mathsf {NP}$ -problem को अनियमित रूप से चुनते हैं, तो हमारे पास $\mathsf {NPI}$ उम्मीदवार चुनने का बहुत कम मौका है । क्या इस घटना का कोई स्पष्टीकरण है?

मैं 3 संभावित स्पष्टीकरणों के बारे में सोच सकता था, दार्शनिक पक्ष पर और अधिक:

1. प्राकृतिक $\mathsf {NPI}$ अभ्यर्थियों के इतने कम अंश होने का कारण यह है कि $\mathsf {NPI}$ अंत में खाली हो जाएगा। मुझे पता है, यह का तात्पर्य है ${\mathsf P} =\mathsf {NP}$, इसलिए यह बहुत संभावना नहीं है। फिर भी, एक अभी भी बहस कर सकता है (हालांकि मैं उनमें से एक नहीं हूं) कि प्राकृतिक $\mathsf {NPI}$ समस्याओं की दुर्लभता एक अनुभवजन्य अवलोकन है जो अधिकांश अन्य टिप्पणियों के विपरीत वास्तव में समर्थन करता है ${\mathsf P} =\mathsf {NP}$।

2. "प्राकृतिक- $\mathsf {NPI}$ " की लघुता आसान और कठिन समस्याओं के बीच एक प्रकार के तीव्र चरण संक्रमण का प्रतिनिधित्व करती है। जाहिरा तौर पर, सार्थक, प्राकृतिक एल्गोरिथम समस्याएं इस तरह से व्यवहार करती हैं कि वे या तो आसान या कठिन हो जाते हैं, संक्रमण संकीर्ण है (लेकिन अभी भी मौजूद है)।

3. 2 में तर्क चरम पर ले जाया जा सकता है: अंत में "प्राकृतिक में सभी समस्याओं $\mathsf {NPI}$ " में रखा जाएगा $\mathsf {P} \cup \mathsf {NPC}$ , फिर भी ${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$ , तो $\mathsf {NPI}\neq \emptyset$ । इसका मतलब यह होगा कि एन पी I में शेष सभी समस्याएं$\mathsf {NPI}$"अप्राकृतिक" (वास्तविक जीवन के बिना, वंचित हैं)। इसकी एक व्याख्या यह हो सकती है कि प्राकृतिक समस्याएं या तो आसान या कठिन हैं; संक्रमण केवल "भौतिक" अर्थ के बिना एक तार्किक निर्माण है। यह कुछ हद तक तर्कहीन संख्या के मामले की याद दिलाता है, जो पूरी तरह से तार्किक हैं, लेकिन किसी भी भौतिक मात्रा के मापा मूल्य के रूप में उत्पन्न नहीं होते हैं। जैसे, वे भौतिक वास्तविकता से नहीं आते हैं, वे उस वास्तविकता के "तार्किक बंद" में हैं।

आपको कौन सी व्याख्या सबसे अच्छी लगती है, या आप एक और सुझाव दे सकते हैं?

Comments

उम, 1 सेमी x 1 सेमी वर्ग के विकर्ण की लंबाई एक अपरिमेय संख्या है ...

— जोशुआ ग्रोच

आपको यह भी दिलचस्प लग सकता है कि संसाधन-बाध्य उपाय के सिद्धांत में, एनपी-पूर्ण सेटों के संग्रह में पी-माप है। दूसरे शब्दों में, एनपी में पी-यादृच्छिक सेट एनपी-पूर्ण नहीं हैं। वास्तव में, यह किसी भी बहुपद-काल-कई-एक डिग्री का सच है। (सभी एनपी सेट के संग्रह के उपाय एक खुला सवाल यह है: अगर यह अशून्य, या औसत दर्जे का नहीं है, तो ।)$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— यहोशू Grochow

इसका उत्तर अधिकतर हमें उन समस्याओं से है जो हमें "स्वाभाविक" लगती हैं जो एक दार्शनिक प्रश्न है। यह भी स्पष्ट नहीं है कि प्रश्न का आधार यह है: क्रिप्टोग्राफी से उत्पन्न कई समस्याओं में मध्यवर्ती जटिलता है। अंत में, आप जो तर्कहीन संख्याओं के बारे में कह रहे हैं वह बेतुका है।

— साशो निकोलेव

Answer 1

जैसा कि दूसरों ने बताया है, यह इस बात पर बहस करने योग्य है कि आप जिस चीज़ को समझाने की कोशिश कर रहे हैं वह कितनी हद तक सही है। कोई यह तर्क दे सकता है कि 60 और 70 के दशक में, सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक सिर्फ उन समस्याओं के प्रकार में अधिक रुचि रखते थे जो कि पी या फिर एनपी-पूर्ण में से किसी एक में बदल जाते हैं। आज, जटिलता-सिद्धांत-संबंधी क्रिप्टोग्राफी, क्वांटम कंप्यूटिंग, जाली, आदि के उदय के कारण ।--- और साथ ही सरल तथ्य यह है कि एनपी-पूर्णता इतनी अच्छी तरह से समझ में आ गई है --- हम अधिक से अधिक रुचि रखते हैं समस्याओं की तरह है कि बाहर बारी के लिए एनपी-मध्यवर्ती हो।

फिर भी, कोई यह पूछ सकता है: यह बात कितनी हद तक सही है --- अर्थात्, इस हद तक कि प्राकृतिक खोज और अनुकूलन की समस्याएं "स्नैप" या तो एनपी-पूर्ण हो सकती हैं या पी में --- या फिर उस सीमा तक। , यह सच क्यों है? यहां, मुझे लगता है कि आप कम्प्यूटेशन से पहले की घटना को देखकर बहुत अधिक अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं: कम्प्यूटिंग के इतने सारे प्राकृतिक मॉडल "स्नैप" ट्यूरिंग-पूर्ण होने के लिए। उस स्थिति में, मैं कहता हूँ कि स्पष्टीकरण है, एक बार जब आपके पास कुछ बुनियादी घटक होते हैं --- एक रीड / राइट मेमोरी, लूप्स, कंडीशनल्स, आदि ।--- इससे बचना मुश्किल है।ट्यूरिंग मशीन का अनुकरण करने में सक्षम होना, और इसलिए ट्यूरिंग-पूर्ण होना। उसी तरह से, एक बार आपकी खोज या अनुकूलन समस्या में कुछ बुनियादी घटक होते हैं --- सबसे महत्वपूर्ण बात, "गैजेट्स" के निर्माण की क्षमता जो कि AND या, जैसे नक़ली तर्क द्वारों की नकल करती है और सक्षम नहीं होने से बचना मुश्किल है --- SAT को सांकेतिक शब्दों में बदलना और इसलिए NP- पूर्ण होना।

जिस तरह से मैं इसके बारे में सोचना पसंद करता हूं, एसएटी जैसी समस्याएं उनके आसपास के अन्य सभी कम्प्यूटेशनल समस्याओं पर एक शक्तिशाली "गुरुत्वाकर्षण खिंचाव" पैदा करती हैं, जिससे वे एनपी-पूर्ण होने के लिए "स्नैप अप" करना चाहते हैं। तो, यह आम तौर पर भी विशेष स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं है जब अभी तक एक और समस्या है कि खींचने के लिए succumbs! क्या अधिक स्पष्ट है, और स्पष्टीकरण की आवश्यकता अधिक है, जब एक (जाहिरा तौर पर) कठिन एनपी समस्या में कुछ संपत्ति होती है जो इसे SAT के गुरुत्वाकर्षण पुल का विरोध करने देती है । हम तब जानना चाहते हैं: वह संपत्ति क्या है ? आप बूलियन लॉजिक गेट्स को एन्कोड करने वाले गैजेट के निर्माण के लिए, इस समस्या के लिए सामान्य एनपी-पूर्णता चाल क्यों नहीं खेल सकते हैं? मैंने इस हालिया CS.SE उत्तर में उस प्रश्न के कुछ सामान्य उत्तरों की एक सूची बनाई, लेकिन (जैसा कि एक अन्य टिप्पणीकार ने पहले ही बताया) मुझे याद किए जाने वाले अन्य संभावित उत्तर हैं।

Comments

अंतिम भाग के लिए भी प्रासंगिक है स्कॉट का सवाल cstheory.stackexchange.com/questions/19256/…

— András Salamon

Answer 2

कई प्राकृतिक समस्याओं को बाधा संतुष्टि समस्याओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और सीएसपी के लिए द्विभाजन प्रमेय हैं।

Answer 3

बस एक मजाक: स्कॉट आरोनसन के अच्छे जवाब में "सैट गुरुत्वाकर्षण खिंचाव" के बारे में सोचने के बाद, एक और रूपक मेरे दिमाग में आया: 3-सैट 2-सैट सैंडविच !

... लेकिन मैं नहीं जानता कि यदि सैंडविच प्राकृतिक सामग्री से भरा जा सकता है (हालांकि मैंने पाया कि यह कुछ से भरा जा सकता -सैट सॉस [1] यदि घातीय-समय की परिकल्पना सच है) :- डी$(2 + \frac{(\log n)^k}{n^2})$

[1] में एक और नतीजा यह है कि यह से भरा नहीं किया जा सकता है ।$(2+1/n^{2−\epsilon}),0<\epsilon<2$

[१] यूनेली झाओ, शियाओटी डेंग, सीएच ली, होंग झू, -सैट और उसके गुण$(2+f(n))$ , असतत अनुप्रयुक्त गणित, खंड १३६, अंक १, ३० जनवरी २००४, पृष्ठ ३-११, आईएसएसएन ०१६६ -218X।

Comments

हालांकि, यह से भरा नहीं जा सकता है : -SAT eccc.hpi-web.de/report/2013/159$(2+\varepsilon)$

— यहोशू Grochow

@JoshuaGrochow: "सॉस" के लिए अपना संदर्भ है झाओ, देंग, ली और झू कागज " -SAT और यह गुण" वे भी साबित कर दिया है कि यह से भरा नहीं जा सकता है ( 2 + 1 / n 2 - ε ) , 0 < ε < 2 ... मैं करने के लिए एक नज़र दे देंगे ( 2 + ε ) -SAT कागज (मैं केवल इसे खोला और यह अजीब है कि वे में झाओ एट अल मेहनत करना नहीं किया है। उनके संदर्भ)$(2+f(n))$$(2+1/n^{2-\epsilon}), 0<\epsilon<2$$(2+\epsilon)$

— मार्ज़ियो डी बियासी

की परिभाषा दो पत्रों में -SAT भिन्न हैं; मुझे लगता है कि दोनों सही हैं! $(2+f(n))$

— जोशुआ ग्रोको

@MarzioDeBiasi आपको उन दो संदर्भों को सीधे अपने उत्तर में जोड़ने पर विचार करना चाहिए (जहां वे खोज योग्य हैं) उन्हें टिप्पणियों में छिपाने के बजाय।

— Artem Kaznatcheev

Answer 4

हम इस संभावना से इंकार नहीं कर सकते हैं कि प्राकृतिक इन्टरमीडिएट समस्याएं बहुत हैं। स्पष्ट कमी साबित करने की आवश्यकता आवश्यक तकनीकों और उपकरणों की कमी की वजह से है एन पी कुछ प्रशंसनीय जटिलता का अनुमान (अरोड़ा और बराक ने कहा कि हम साबित नहीं कर सकते तहत -intermediate स्थिति एन पी किसी भी प्राकृतिक की -intermediate स्थिति एन पी भी यह सोचते हैं समस्या पी ≠ एन पी )।$NP$$NP$$NP$$NP$$P \ne NP$

ऐसा लगता है कि प्राकृतिक इन्टरमीडिएट समस्याओं की बाढ़ खुली हुई है। जोंसन, लेगरकविस्ट और नॉर्ड ने लेडनर की विकर्ण तकनीक को बढ़ाया, जिसे समस्याओं में छेद करने के रूप में जाना जाता है , और इसे बाधा संतुष्टि समस्याओं के लिए लागू किया। उन्होंने एक सीएसपी प्राप्त किया जो कि एन पी- इन्टरमीडिएट स्थिति के लिए एक उम्मीदवार है । उन्होंने साबित कर दिया कि प्रस्ताव अपहरण की समस्या एन $NP$$NP$$NP$ इन्टरमीडिएट टुकड़े हैं।

इसके अलावा, Grohe के अस्तित्व को साबित कर दिया संभालने -intermediate सीएसपी समस्याओं कि एफ पी टी ≠ डब्ल्यू [ 1 ] । उन्होंने इसी तरह के मौलिक ग्राफ़ की वृक्ष-चौड़ाई को सीमित करके ऐसी समस्याएं प्राप्त कीं।$NP$$FPT \ne W[1]$

संदर्भ :

1- एम। ग्रोहे। दूसरी ओर से देखी गई समरूपता और जटिल संतुष्टि की समस्याओं की जटिलता। एसीएम की पत्रिका, 54 (1), लेख 1, 2007

2- पीटर जोंसन, विक्टर लैगर्कविस्ट और गुस्ताव नॉर्डह। कम्प्यूटेशनल समस्याओं के विभिन्न पहलुओं में उड़ाने की बाधाएं, अनुप्रयोगों के साथ बाधा को संतुष्ट करने के लिए। सिद्धांत और प्रैक्टिस ऑफ़ कॉन्सट्रेंट प्रोग्रामिंग (CP-2013) पर 19 वें अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन की कार्यवाही में। 2013।

Comments

ये CSP समस्याएं डाइकोटॉमी अनुमान के अंतर्गत क्यों नहीं आती हैं?

— सशो निकोलोव

वास्तव में स्वाभाविक रूप से ग्रोह के परिणाम के रूप में ट्रेविद को प्रतिबंधित करना है? (सवाल बयानबाजी का नहीं है - मैं ईमानदारी से नहीं जानता।) मेरी राय में, जॉन्सन-लेगर्कस्विट-नॉर्ड के निर्माण केवल लेडनर की तुलना में थोड़ा अधिक स्वाभाविक लगते हैं । मुझे लगता है कि आपके पहले पैराग्राफ में बिंदु एक उत्कृष्ट है।

— जोशुआ ग्रूको

@ जोशुआग्रोचो वीम को डर है कि यह तर्कपूर्ण है क्योंकि प्राकृतिक साधनों के लिए कोई औपचारिक धारणा नहीं है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@SashoNikolov फेडर और वर्डी के द्विचोटी अनुमान का क्या मतलब है?

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी: मुझे विरोधाभास नहीं दिखता। JLN स्पष्ट रूप से ऐसे उदाहरणों की कक्षाओं का निर्माण करता है जो CSP ( , _ ) या CSP ( _ , B ) के रूप में नहीं होते हैं, इसलिए वे ज्ञात उन द्विपद से बचते हैं। इसी तरह के विचारों के लिए चेन-थर्ले-वीयर और बोडिरस्की-ग्रहे द्वारा पत्रों की पिछली जोड़ी को भी देखें। $A$$\_$$\_$$B$

— आंद्र सलामन

Answer 5

यहाँ एनपी-मध्यवर्ती समस्याओं के गोल्डीलॉक्स संरचना के बारे में एक परी कथा है। (चेतावनी: यह कहानी संभावित परिकल्पनाओं को उत्पन्न करने और परखने के लिए एक उपयोगी अशुद्धि हो सकती है, लेकिन वैज्ञानिक रूप से कठोर होने के लिए नहीं है। यह एक भाग पर निर्भर करती है एक्सपोनेंशियल टाइम परिकल्पना, कोलमोगोरोव कॉम्प्लेक्स मैजिक का एक डैश, SAT के सिद्धांत से उधार लिए गए कुछ टुकड़े। समस्याओं के लिए समाधान और टेरेंस ताओ के हेयोरिस्टिक ट्रिकोटॉमी। गणित के बारे में सभी हाथ से लहराते शंखों के साथ, अपने जोखिम पर उपभोग करें।)

यदि NP की किसी समस्या के लगभग सभी उदाहरण अत्यधिक संरचित हैं, तो समस्या वास्तव में P में है। इस प्रकार के उदाहरणों में लगभग सभी अतिरेक होते हैं, और समस्या के लिए एक बहुपद-काल एल्गोरिथ्म अतिरेक को बाहर निकालने का एक तरीका है। यह भी बोधगम्य है कि पी में हर समस्या को EXP में कुछ समस्या लेकर और कुछ संरचित अतिरेक को जोड़कर, कुछ प्रकार के पैडिंग के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है (जरूरी नहीं कि सामान्य प्रकार)। यदि ऐसा था, तो एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म को उस पैडिंग को पूर्ववत करने के लिए एक कुशल तरीके के रूप में देखा जा सकता है।

यदि ऐसे पर्याप्त उदाहरण हैं जो संरचित नहीं हैं, तो "कठोरता का मूल" बन जाता है, तो समस्या एनपी-पूर्ण है।

हालांकि, अगर यह "कठोरता का मूल" बहुत विरल है, तो इसमें केवल कुछ सैट का प्रतिनिधित्व करने के लिए जगह है, इसलिए समस्या पी या एनपी-मध्यवर्ती में है। (यह तर्क लडनेर के प्रमेय का सार है)। स्कॉट की सादृश्यता का उपयोग करने के लिए, "कठोरता का मूल" समस्या पर एक गुरुत्वाकर्षण खींचता है, यह एनपी-पूर्ण होने की ओर है। "कठोरता के मूल" में उदाहरणों में बहुत अधिक अतिरेक नहीं होता है, और एकमात्र यथार्थवादी एल्गोरिदम जो उन सभी उदाहरणों के लिए काम करता है वह है ब्रूट फोर्स सर्च (बेशक, यदि केवल बहुत सारे हैं, तो टेबल लुकिंग कार्य भी हैं)।

इस दृष्टिकोण से, एनपी-मध्यवर्ती समस्याओं को व्यवहार में दुर्लभ होना चाहिए, क्योंकि उन्हें संरचित और असंरचित उदाहरणों के बीच एक अच्छा गोल्डीलॉक्स संतुलन की आवश्यकता होती है। उदाहरणों में पर्याप्त अतिरेक होना चाहिए कि वे एक एल्गोरिथ्म में आंशिक रूप से उत्तरदायी हैं, लेकिन कठोरता का एक पर्याप्त होना चाहिए कि समस्या पी में नहीं है।

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एक और भी सरल (और मनोरंजक, लेकिन संभावित रूप से और भी अधिक भ्रामक) कहानी पहेली के आधार पर बता सकता है। बस कुछ बाधाओं के साथ, कोई भी खोज करने के लिए बहुत कुछ मजबूर कर सकता है, उदाहरण के लिए एनएक्सएन सुडोकू एनपी-पूर्ण है। अब एक ही उदाहरण के रूप में बहुत सी छोटी पहेलियों को हल करने के लिए कहा जा रहा है, जैसे कि एक बार में (उदाहरण के लिए 9x9 सुदोक)। लिया गया समय प्रत्येक उदाहरण में पहेली की संख्या में लगभग रैखिक होने वाला है, और यह समस्या तब पी। में है। मध्यवर्ती समस्याओं के लिए, प्रत्येक व्यक्ति लार्किश पर सुदोक के लार्गिश (लेकिन बहुत बड़ी नहीं) होने के लिए प्रत्येक उदाहरण के बारे में सोच सकता है। (लेकिन बहुत बड़ा नहीं) ग्रिड। हम ऐसी कई समस्याओं का निरीक्षण नहीं करते हैं, क्योंकि वे पोज देने और हल करने के लिए उतावली होंगी!

Comments

यहाँ आपके "कठोरता के मूल" कहानी में जोड़ने के लिए कुछ और तकनीकी मांस है। एन। लिंच (1975) ने एक भाषा लिए एक p- जटिलता कोर को परिभाषित किया जो कि स्ट्रिंग्स C का एक सेट है जैसे कि सभी एल्गोरिदम के लिए जो सभी इनपुटों पर L को सही ढंग से तय करते हैं, सभी k के लिए , एल्गोरिथ्म समय n k + k पर चलता है केवल C से बहुत से इनपुट । लिंच ने दिखाया कि हर $L$$C$$L$$k$$n^k + k$$C$$L \notin \mathsf{P}$$L$ ) एनपी में उन भाषाओं को परिकल्पित करते हैं जिनमें पर्याप्त घने कोर के साथ एनपी-पूर्ण होना है।

— जोशुआ ग्रोको

जोशुआ ने उल्लेख किया: लिंच: dx.doi.org/10.1145/321892.321895 और Orponen- Schöning : dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)8002424-9 भी Orponen-Ko-Schöning-Watanabe: dx देखें। doi.org/10.1145/174644.174648

— एंड्रास सालेमन

Answer 6

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$ -Complete समस्याओं। तर्क निम्नानुसार जा सकता है।

$n$$\geq \log n$$\mathsf{NPI}$ $\mathsf{NP}$$x$$Q$$x$$Q$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPC}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$ ।

Comments

आपका तर्क समस्याओं के लिए ठीक लगता है $W[1]$

— एन्द्र दास सलामोन

$x$$Q$$x$$O(\log |x|)$

3-रंगाई के लिए, समस्या का स्केल डाउन संस्करण क्या है?

— अन्द्र दास सलामोन

मैं समझता हूं कि स्केलिंग डाउन किसी भी समस्या के लिए काम करता है, लेकिन मैं तर्क दूंगा कि यह केवल प्राकृतिक है$n$$\log n$ आकार के subgraph कि 3-संभाव्य है?" मुझे स्वाभाविक नहीं लगता है, क्योंकि मूल समस्या का एक निश्चित आकार के विजेट (जैसे क्लिक) को खोजने से कोई लेना-देना नहीं था।

— जोशुआ ग्रोको

यह अंतर नहीं है b / w "एक गुत्थी होने" और "3-रंगीन होने के नाते"। यह मूल समस्या होने के बीच का अंतर है: 1) क्या एक ग्राफ में किसी दिए गए आकार की कुछ संपत्ति (जैसे CLIQUE) बनाम 2) के साथ एक सबग्राफ होता है एक ग्राफ में एक संपत्ति होती है। (1) के मामले में, लॉग होने के लिए आकार बदलना स्वाभाविक है, बी / सी सबग्राफ का आकार पहले से ही सवाल का हिस्सा था। जब आप अपनी चाल को (2) करते हैं, तो आप समस्या के एक नए भाग के रूप में सबग्राफ के आकार में जोड़ते हैं ।

— जोशुआ ग्रोको