रास्तों पर एनपी-कठिन समस्याएं

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हर कोई जानता है कि कई निर्णय समस्याएं मौजूद हैं जो सामान्य ग्राफ़ पर एनपी-हार्ड हैं, लेकिन मैं उन समस्याओं में दिलचस्पी रखता हूं जो एनपी-हार्ड हैं जब अंतर्निहित ग्राफ़ एक पथ है। तो, क्या आप मुझे इस तरह की समस्याओं को इकट्ठा करने में मदद कर सकते हैं?

मैंने पहले ही पेड़ों पर एनपी-कठिन समस्याओं के बारे में एक संबंधित प्रश्न पाया है ।

graph-theory np-hardness

— बेंजामिन
स्रोत

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यदि आप उस प्रश्न को देखते हैं तो आपको स्वीकृत उत्तर को भी ध्यान से पढ़ना चाहिए: "किसी भी एनपी-हार्ड समस्या को सुपरकिंग्स, सुपरस्ट्रिंग, सबस्ट्रिंग आदि से संबंधित लें। फिर एक स्ट्रिंग को लेबल किए गए मार्ग ग्राफ के रूप में फिर से व्याख्या करें।"

— सईद

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बस एक ध्यान दें: अगर रास्तों लेबल नहीं हैं, वे स्पष्ट रूप से अत्यधिक संपीड़न हैं और कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व एक उचित विकल्प (है

बिट्स की एक पथ का प्रतिनिधित्व करने के

नोड्स) ... तो आप भी कर सकते हैं "परिवर्तित" कठिन समस्याओं कि डॉन टी यूरीरी एनकोडिंग का उपयोग करें; जैसे सबसेट योग: दिए गए

लंबाई का लेबल नहीं किया गया पथ

, उनमें से एक सबसेट है कि लंबाई के लिए एक रास्ता बनाने के लिए संयोजित किया जा सकता मौजूद है

?

\log n

$\log n$

n

$n$

n

$n$

a_{1}, . . ., a_{n}

$a_1,...,a_n$

b

$b$

— Marzio De Biasi

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किनारे के रंग के ग्राफ में एक इंद्रधनुष मिलान एक मेल है जिसके किनारों के अलग-अलग रंग हैं। समस्या यह है: किनारे का एक ग्राफ और एक पूर्णांक , क्या में इंद्रधनुष कम से कम किनारों के साथ मेल खाता है ? इसे इंद्रधनुष मिलान समस्या के रूप में जाना जाता है , और इसके एनपी -ठीक से किनारे-किनारे वाले रास्तों के लिए भी। लेखक यहां तक कि ध्यान दें कि इस परिणाम से पहले, कोई भी अनवैलिड ग्राफ़ समस्या उनके ज्ञान के सर्वश्रेष्ठ के लिए सरल रास्तों के लिए NP -hard नहीं है। $G$ $k$ $G$ $k$

देखें Le, वान बंग, और फ्लोरियन Pfender। "इंद्रधनुष मिलान के लिए जटिलता परिणाम।" सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान (2013) , या आर्टएक्सिव संस्करण ।

— Juho
स्रोत

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यहाँ कुछ सरल अवलोकन दिए गए हैं।

एक अनियंत्रित पथ ग्राफ़ मूल रूप से एक पूर्णांक को एनकोड करता है, इसलिए आप किसी भी एनपी-हार्ड समस्या को ले सकते हैं जिसमें एकरी-एनकोडेड पूर्णांक होते हैं और इसे पथ ग्राफ़ समस्या के रूप में पुन: व्याख्या करते हैं। यदि आप कई पूर्णांकों को एकात्मक (= पथ रेखांकन का एक असंतुष्ट संघ) में एन्कोडेड करने की अनुमति देते हैं, तो आप 3-विभाजन जैसी कुछ दृढ़ता से एनपी-पूर्ण समस्याओं का उपयोग कर सकते हैं।
एक रंगीन पथ ग्राफ एक निश्चित वर्णमाला पर एक शब्द एन्कोड करता है, इसलिए फिर से आप शब्दों पर एक एनपी-कठिन समस्या ले सकते हैं। एक उदाहरण जिससे मैं वाकिफ हूं वह है बोडलेंडर, थॉमासे और यियो में शुरू की गई डिस्जॉइंट फैक्टर्स समस्या ।

— Super0
स्रोत

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यह मूल रूप से @ सईद की टिप्पणी है ..

— आरबी

ठीक है, तो बेझिझक मेरे जवाब को टाल दो। पेड़ों पर एनपी-कठिन समस्याओं के लिए, मैं प्रसिद्ध बैंडविड्थ समस्या का उल्लेख कर सकता हूं; यह वास्तव में Bodlaender द्वारा एक शोध रिपोर्ट में डब्ल्यू-पदानुक्रम के लिए कठिन होना दिखाया गया था, जिसे मैं ऑनलाइन नहीं पा सकता था।

— सुपर 0

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जब एक पथ (यहां तक कि APX- हार्ड) है, तो मिनसीसी ग्राफ मोटिफ एनपी-हार्ड है। शीर्ष पर रंगों के साथ एक ग्राफ और रंगों के एक सेट को देखते हुए, रंगों के सेट से मेल खाते एक सबग्राफ को खोजें और कनेक्टेड कॉम्प की संख्या को कम करें। वर्टेक्स-रंगीन ग्राफ पैटर्न मिलान, जेडीए 2011 में जटिलता के मुद्दों को देखें।

— OLF
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के साथ एक पथ को देखते हुए नोड्स और भारित किनारों , पाते हैं नोड्स में नंबरों का उपयोग कर लेबल किया जा सकता इस तरह से कि की पूर्ण अंतर में (डुप्लिकेट लेबल परहेज) दो आसन्न नोड्स के लेबल किनारे के वजन के बराबर हैं: $n$ $1 \leq \text{weight}(u,v) < n$ $[1..n]$

| lab (u) - lab (v) | = weight (u, v)

$| \text{lab}(u) - \text{lab}(v)| = \text{weight}(u,v)$

यह अंतर समस्या से क्रमपरिवर्तन पुनर्निर्माण के बराबर है जो एनपीसी (मेरे "अनौपचारिक" परिणामों में से एक है :-)।

— मारजियो दे बियासी
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एक तुच्छ उत्तर जो ऊपर दिखाई देने वाले कुछ के करीब है, लेकिन मुझे लगता है, अलग है।

$f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$ $\langle k,m,w\rangle$ $f(k,m,w)$ $m$ $w$ $n^{\log k}$ $n$ $\log k$ $k$ in unary।) मूल्यों के उस सेट को पथों के सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है।

— डेविड रिचेर्बी
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3

अनप्लसटेबल फ्लो प्रॉब्लम (UFP) एक पथ पर NP-hard बनी हुई है। दरअसल, यूपीपी एक किनारे पर भी एनपी-हार्ड है, क्योंकि यह नैकपैक समस्या के बराबर है।

— अरिंदम पाल
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3

रेनबो डोमिनेटिंग सेट (आरडीएस) रास्तों पर एनपी-हार्ड बना हुआ है। एक शीर्ष रंग के ग्राफ को देखते हुए, एक आरडीएस एक डीएस है जहां ग्राफ़ का प्रत्येक रंग कम से कम एक बार दिखाई देता है।

ट्रॉपिकल डॉमिनेटिंग सेट्स वर्टेक्स-कलर्ड ग्राफ्स , JDA'18 में

— OLF
स्रोत

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डोमिनेटिंग सेट और इंडिपेंडेंट डोमिनेटिंग सेट एनपी-हार्ड पथ पर होते हैं यदि इनपुट "संघर्ष ग्राफ" में भी होता है, जहां इस ग्राफ में एक किनारे पर एक वर्टिकल होता है जो कि समाधान में दोनों नहीं हो सकता है।

कॉर्नेट, एलेक्सिस; Laforest, क्रिश्चियन , वर्चस्व की समस्याओं के साथ कोई संघर्ष नहीं , असतत Appl। गणित। 244, 78-88 (2018)। ZBL1387.05181 ।

— OLF
स्रोत