स्पर्शोन्मुख वृद्धि का निर्णायक सिद्धांत

Question

से कार्यों की वृद्धि दर की तुलना की निर्णायकता की ज्ञात सीमाएँ क्या हैं ? मैं यहाँ " जैसे प्रश्नों की निर्णायकता के बारे में सोच रहा हूँ ?" या " ?"।$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}$$2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x)$

यदि हम कार्यों को बहुपद (सामान्य तरीके से व्यक्त) करने के लिए प्रतिबंधित करते हैं, तो यह कठिन नहीं है। कैंटर का सामान्य रूप भी देखें ।

तुलना योग्य न होने से पहले हम कार्यों को कितना बड़ा बना सकते हैं? क्या हम इसे एक विशिष्ट स्नातक एल्गोरिदम वर्ग में उपयोग किए जाने वाले कार्यों तक बढ़ा सकते हैं?

जैसा कि यहोशू ग्रूको ने टिप्पणियों में बताया है, मैं वास्तव में भावों के समूह में दिलचस्पी रखता हूं, न कि स्वयं कार्यों में। उदाहरण के लिए, मैं " " और " " की तुलना कर सकने वाली निर्णय प्रक्रियाओं में दिलचस्पी लेता हूँ , भले ही वे " " और " तुलना न कर सकें ”।$1$$2$$\ln e$$n^{(\ln n)^{-1}}$

संभवतया संबंधित प्रश्न: "क्या एसिम्प्टोटिक सीमा का सिद्धांत सूक्ष्म रूप से स्वयंसिद्ध है?"

Comments

दिलचस्प सवाल! मुझे लगता है कि एक भाग को थोड़ा बदलना चाहिए। मुझे नहीं लगता कि सवाल यह होना चाहिए कि फ़ंक्शंस की कक्षा कितनी बड़ी है, बल्कि फ़ंक्शंस कैसे व्यक्त किए जाते हैं । यही है, यदि आपको इनपुट के रूप में दो बहुपद-काल की ट्यूरिंग मशीनें दी जाती हैं, तो यह बताना कि किसका बड़ा चलने का समय अनिर्दिष्ट है (इस तथ्य के बावजूद कि दोनों का बहुपद चल रहा है) ... यदि उन कार्यों को इसके रूप में व्यक्त किया गया था, तो कहें , स्पष्ट बहुपद (पूरी पाली w / गुणांक लिखो) तो तुलना करना आसान है।

— जोशुआ ग्रोचो

अच्छी बात। क्या आपके पास कोई सुझाव है कि इसे कैसे कहा जाए?

— jbapple

मुझे लगता है कि यह निर्भर करता है कि आप किस चीज में रुचि रखते हैं। विभिन्न कार्यों से जुड़े सूत्र के रूप में व्यक्त किए गए कार्यों के लिए पूछना स्वाभाविक हो सकता है, और फिर सवाल यह है कि संचालन के कौन से सेट इसे निर्णायक / अविवेकी बनाते हैं। उदाहरण के लिए ऑप्स में +, बार, डिवाइड -,, nth रूट्स, ऍक्स्प, लॉग, कंपोज़िशन, लॉग ^ *, आदि शामिल होंगे (यदि आप लॉग आउट छोड़ते हैं * *, तो पूर्ववर्ती सूची आपको सभी प्राथमिक कार्य प्रदान करती है।)

— यहोशू ग्रोच

Answer 1

हार्डी ने अपनी शास्त्रीय पुस्तक ऑर्डर ऑफ इनफिनिटी में , लघुगणक-घातीय कार्यों का वर्ग माना। यह फ़ंक्शंस का एक सामान्य वर्ग है, जो और वाले फ़ंक्शंस का न्यूनतम सेट है , इसके अलावा, गुणन और विभाजन (जब तक कि इसमें बहुत सारे शून्य न हों), और तहत बंद हो जाता है।(एक ही बाधा), और बहुपद समीकरणों के समाधान के तहत बंद (यानी फ़ंक्शन संतोषजनक परिवार में है)। हार्डी ने दिखाया कि इस तरह के किसी भी दो कार्य की तुलना स्पर्शोन्मुख रूप से की जा सकती है। मुझे यकीन नहीं है कि अगर सबूत एल्गोरिदम है, लेकिन यह जांचने लायक है।$\mathbb{R}$$x$$\exp$$\log|\cdot|$$f(x)^5 + f(x) = x$

बोशर्नित्ज़न ने इस वर्ग को और भी आगे बढ़ाया, और निस्संदेह इस विषय पर अन्य काम है।

Comments

जॉन आर। शेकेल की पुस्तक "सिम्बॉलिक एसिम्पोटिक्स" का दावा (खंड 5.1, पृष्ठ 91), कि इस समस्या के लिए पहला एल्गोरिथ्म Dahn और Goring के 1986 के पेपर, "नोट्स ऑन एक्सपोनेंशियल-लॉगरिदमिक टर्म्स" था । डोमिनिक ग्रंट्ज़ के 1996 के शोध प्रबंध, "एक प्रतीकात्मक हेरफेर प्रणाली में कम्प्यूटिंग सीमाएं" में इस समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म भी शामिल है और विभिन्न तरीकों की तुलना करता है।

— jbapple

हालांकि, ये सभी शून्य-तुल्यता समस्या को हल करने के लिए एक दैवज्ञ पर भरोसा करते हैं, जो सामान्य रूप से अनिर्दिष्ट है।

— जाबपल