मान लीजिए कि हमारे पास S का एक सेट S है (परिमित रेखांकन, लेकिन उनमें से एक अनंत संख्या) और क्रमपरिवर्तन का एक समूह P जो S पर कार्य करता है।
उदाहरण: P में एक क्रमचय p।
प्रश्न: क्या एस में एक ग्राफ जी मौजूद है जो ऑटोमोरिज़्म पी को स्वीकार करता है?
क्या यह समस्या कुछ सेट एस के लिए एनपी-पूर्ण है?
यह जांचना आसान होगा कि एक ग्राफ़ क्रमपरिवर्तन p (अर्थात प्रमाणपत्र) को स्वीकार करता है। इसके अलावा, एस के उदाहरणों को खोजना आसान है जहां समस्या एनपी-पूर्ण नहीं है, जैसे कि एस पूर्ण ग्राफ़ का सेट होने के कारण, उत्तर हमेशा हां है।
नोट: मैं वास्तव में दिलचस्पी नहीं रखता कि वे किस प्रकार के ग्राफ़ हैं; यदि आप चाहें तो वे गैर-सरल, निर्देशित, रंगीन, आदि हो सकते हैं।
ADDENDUM: वर्तमान में मैं जिस समस्या को देख रहा हूँ, वह यह वर्गीकृत कर रही है कि आइसोटोपिज़्म लैटिन वर्गों के ऑटोटोपिज़्म हैं (जिसकी व्याख्या एक विशेष प्रकार के ग्राफ ऑटोमोरिज़्म के रूप में भी की जा सकती है)।
एक लैटिन वर्ग L (i, j) को देखते हुए हम निम्नलिखित तरीके से एक ग्राफ बना सकते हैं:
- शीर्ष सेट मैट्रिक्स में कोशिकाओं (i, j) का सेट है और
- विशिष्ट (i, j) और (i ', j') के बीच एक किनारा होता है, जब भी i = i 'या j = j' या L (i, j) = L (i ', j') होता है।
इस तरह के ग्राफ को लैटिन स्क्वायर ग्राफ कहा जाता है (देखें बेली और कैमरन का यह लेख http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf )। हम लैटिन वर्ग के एक स्वचालित रूप के रूप में एक लैटिन वर्ग के एक स्व-अर्थवाद की व्याख्या कर सकते हैं। तो S को आदेश n के लैटिन वर्ग से लैटिन वर्ग रेखांकन का गठन करते हैं। तो सवाल मैं में दिलचस्पी है:
एक क्रमचय p को देखते हुए, क्या P में ग्राफ का एक (या अधिक) का एक स्वचालक है?
मेरी भावना यह है कि यह सामान्य रूप से उत्तर देने के लिए एक कठिन सवाल है - मैं वर्तमान में इस मामले पर (2 सह-लेखकों के साथ) 30+ पृष्ठ का पेपर लिख रहा हूं। वास्तव में अधिकांश समय यह आसान होता है (अधिकांश समय यह "नहीं" है), लेकिन कुछ कठिन मामले हैं।
इसलिए मुझे निर्णय की समस्याओं को खोजने में दिलचस्पी है जो "समरूपता वर्गीकरण" से संबंधित होगी। उन्हें वास्तव में लैटिन वर्गों से संबंधित होने की आवश्यकता नहीं है, मैं सिर्फ लैटिन वर्गों के लिए सवाल का जवाब देने के लिए इन तकनीकों का उपयोग करने की उम्मीद कर रहा हूं।