स्थानीय ऑटोमेटा के राज्यों की संख्या

Question

एक नियतात्मक automaton $\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$ कहा जाता है $k$ -local के लिए $k > 0$ हर के लिए अगर $w \in X^k$ सेट $\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$ पर नहीं है एक तत्व। Intuitively अगर एक शब्द का अर्थ है कि $w$ लंबाई की $k$ एक राज्य पर ले जाया जाता है, तो इस राज्य अद्वितीय, या है लंबाई की एक मनमाना शब्द से अलग ढंग से कहा> k अंतिम k प्रतीकों से यह निर्धारित होता है कि यह किस राज्य की ओर जाता है।$> k$$k$

अब अगर एक automaton है कश्मीर -local, तो यह होना जरूरी नहीं है कश्मीर ' -local के लिए कुछ कश्मीर ' < कश्मीर , लेकिन यह हो गया है कश्मीर ' -local के लिए कश्मीर ' > कश्मीर कुछ शब्द के अंतिम प्रतीक कारण | w | > k राज्य का निर्धारण, यदि कोई हो, विशिष्ट रूप से।$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

अब मैं राज्यों की संख्या और एक ऑटोमेटन की k -थोकनेस को जोड़ने की कोशिश करता हूं । मैं अनुमान:$k$

लेम्मा: Let एक = ( एक्स , क्यू , क्यू 0 , एफ , δ ) हो कश्मीर , -local अगर | क्यू | < k फिर ऑटोमेटन भी है | क्यू | -local।$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

लेकिन मैं किसी भी सुझाव या विचार को प्रमाणित करने में विफल रहा?

मैं एक automaton है, जिनमें से राज्यों की संख्या के बारे में निकाले जाते हैं कुछ करने के लिए इस लेम्मा से आशा नहीं कश्मीर -local सभी के लिए कश्मीर ≤ एन एक निश्चित दिया एन > 0 , लेकिन कश्मीर -local कुछ के लिए कश्मीर > एन ।$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Answer 1

जब से तुम कहना है कि टी डब्ल्यू : = { δ ( क्ष , डब्ल्यू ) : क्ष ∈ क्यू } होना चाहिए अधिक से अधिक एक तत्व है, मैं मान लेंगे कि आप जहां DFA के संस्करण का उपयोग δ आंशिक हो सकता है। फिर इस प्रति एक है: एक्स = { एक , ख } , क्यू = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( क्ष , एक ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$क्ष + 1 के लिए क्ष < 4 , और δ ( 1 , ख ) = 2 , δ ( 2 , ख ) = 3 , δ ( 4 , ख ) = 0 । F और q 0 स्पष्ट रूप से इस प्रश्न के लिए मायने नहीं रखते।$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

आटोमैटिक मशीन है 6 -local, लेकिन नहीं 5 -local, के बाद से टी एक ख एक एक ख = { 0 , 3 } ।$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

संपादित करें: यह प्रतिधारण काम नहीं करता है, मैं इसे रखूंगा ताकि टिप्पणियां समझ में आएं। निम्नलिखित करता है, यद्यपि।

एक्स = { ए , बी } , क्यू = { 0 , 1 , 2 , 3 } ले लो , संक्रमण के साथ 0 → 1 ( ए ) , 1 → 2 ( ए ) , 2 → 3 ( ए ) , 2 → 0 ( बी )। , 3 → 2 ( बी ) । यह ऑटोमेटन $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$ -local, लेकिन नहीं 4 -local: के लिए एक $4$ख एक है, हम पथ मिलता 0 → 1 → 2 → 0 → 1 और 1 → 2 → 3 → 2 → 3 , यानी टी एक एक ख एक = { 1 , $aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$ } ।$T_{aaba}=\{1,3\}$

Comments

आपके ऑटोमेटा में कुछ गड़बड़ है, क्या आप कुछ बदलाव भूल गए हैं? शब्द एक ख एक एक ख नहीं राज्य के लिए होता है मैं कहाँ शुरू से परवाह किए बिना ...$abaab$

— StefanH

मुझे लगता है कि यह सही होना चाहिए - थोड़ा अलग तरीके से कहा गया है, संक्रमण हैं: 0 → 1 ( ए ) , 1 → 2 ( ए , बी ) , 2 → 3 ( ए , बी ) , 3 → 4 ( ए ) , और 4 → 0 ( बी ) । फिर रास्तों आप के लिए मिल एक ख एक एक ख हैं 0 → 1 → 2 $0\to 1 (a), 1\to 2 (a,b), 2\to 3 (a,b), 3\to 4(a),$$4\to 0(b)$$abaab$ 3 → 4 → 0 और 3 → 4 → 0 → 1 $0\to 1\to 2\to 3\to 4\to 0$ 2 → 3 । $3\to 4\to 0\to 1\to 2\to 3$

— क्लॉस ड्रेगर

क्षमा करें, आप सही हैं!

— स्टेफान

ओह, वास्तव में मैं नहीं, बल्कि एक अलग कारण से हूं। आप उन रास्तों मिलता है, लेकिन फिर तुम सिर्फ दोहरा सकते हैं एक ख एक एक ख अनिश्चित काल के लिए - इस आटोमैटिक मशीन नहीं है कश्मीर से किसी के लिए -local कश्मीर । $abaab$$k$$k$

— क्लॉस ड्रेगर

ज़ाहिर है, सामान्य रूप में एक ऑटोमेटा नहीं स्थानीय अगर वहाँ दो अलग मौजूद हो सकता है पी , क्यू और एक शब्द डब्ल्यू ऐसी है कि δ ( पी , डब्ल्यू ) = पी और δ ( क्ष , डब्ल्यू ) = क्ष । $p,q$$w$$\delta(p,w) = p$$\delta(q,w) = q$

— स्टेफान

Answer 2

एक देर से उत्तर, लेकिन ऑटोमेटा के कई वर्गों के लिए सिंक्रनाइज़ेशन देरी पर बाध्य अध्ययन किया गया है: उदाहरण के लिए देखें असंदिग्ध ऑटोमेटा देखें; बयाल एट अल। MCS'08 ।

विशेष रूप से; वहाँ देरी है नियतात्मक ऑटोमेटा के एक परिवार है Ω ( | क्यू | 2 ) के रूप में में पता चला है एक स्थानीय Automaton के तुल्यकालन देरी की बाउंड पर; बयाल एट अल। TCS'98 , जो संगत O ( | Q | 2 ) से मेल खाता है, ऊपरी बाउंड।$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

पीएस कागज में परिभाषित सिंक्रोनाइज़ेशन देरी न्यूनतम k है जिसके लिए निर्धारक स्थानीय ऑटोमेटन k -local है।$k$$k$

Comments

आपको लगता है कि सिंक्रोनाइज़ेशन में देरी होना k- स्थानीय के बराबर है ....?

— vzn

स्थानीय DFAs के लिए TCS'08 पेपर I उद्धरण में, "सिंक्रोनाइज़ेशन देरी 1 + सबसे लंबे समय तक गैर-सिंक्रनाइज़ेशन अनुक्रम की लंबाई है", जहां एक गैर-सिंक्रनाइज़िंग अनुक्रम एक ऐसा शब्द है जो दो अलग-अलग राज्यों को जन्म दे सकता है। मेरे लिए, यह परिभाषा के अनुसार सबसे छोटी k है जिसके लिए ऑटोमेटन k -local है। क्या आपको लगता है कि मैं गलत हूं? $k$$k$

— जोसेफ स्टैक

एक अच्छा जवाब महत्वपूर्ण विवरण को नहीं छोड़ेगा। यह संभव है कि वे (लगभग? बिल्कुल?) समकक्ष हैं, लेकिन फिर यह एक नया "ब्रिज थम" होगा जो कागज या प्रकाशित प्रमाण में नहीं है ...? अगर ऐसा है तो इसे कहीं और विस्तार से देखने की जरूरत है ...

— vzn

ठीक है। मैंने बिंदु को तनाव देने के लिए उत्तर संपादित किया। मुझे नहीं लगता कि परिभाषा की जांच से परे किसी पुल की जरूरत है।

— जोसेफ स्टैक

सुझाव है कि दोनों मानदंड ठीक-ठीक बताए जाएंगे और फिर समतुल्य साबित होंगे। अब तक स्पष्टीकरण के लिए thx।

— vzn