न्यूनतम TSP दौरे की सह-एनपी-पूर्णता?

यह समस्या मेरे हालिया ब्लॉग पोस्ट से सामने आई , मान लीजिए कि आपको टीएसपी टूर दिया गया है, क्या यह निर्धारित करने के लिए सह-एनपी-पूर्ण है कि यह न्यूनतम है?

अधिक सटीक निम्न समस्या एनपी-पूर्ण है:

उदाहरण: सकारात्मक पूर्णांक और एक सरल चक्र C के साथ भारित किनारों के साथ एक पूर्ण ग्राफ G को देखते हुए, जो G के सभी नोड्स पर जाता है।

प्रश्न: क्या कोई साधारण चक्र D है जो G के सभी नोड्स पर जाता है जैसे G के सभी किनारों का कुल वजन G के C के सभी किनारों के कुल वजन से कम है?

np-hardness

— लांस फोर्टे
स्रोत

एक संभावित कमी का एक स्केच यह साबित करने के लिए कि यह एनपी-पूर्ण है।

अनौपचारिक रूप से यह एक संशोधित 3SAT सूत्र से शुरू होता है जो यह दिखाने के लिए उपयोग किया जाता है कि 3SAT ASP- पूर्ण (एक अन्य समाधान समस्या) है, और "कटौती की मानक श्रृंखला" 3SAT => प्रत्यक्ष HAMCYCLE => UNIRIRECTED HAMCYCLE => TSP

एक 3SAT सूत्र के साथ शुरू करो $\varphi$ साथ $n$ चर $x_1,...x_n$ और $m$ caluses $C_1,...,C_m$ ;
एक नया फार्मूला करने के लिए इसे Trasform एक नया वेरिएबल जोड़ने ...; $\varphi'$ $t$
... और प्रत्येक खंड से ; $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$ $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
से का निर्माण हीरे संरचना ग्राफ साबित होता है कि DIRECTED Hamiltonian चक्र एनपी पूरा है इस्तेमाल किया; मान लें कि प्रत्येक खंड में को नोड करने के लिए अनुरूप है ; $\varphi'$ $G = \{V,E\}$ $C_j$ $N_j$ $G$
संशोधित ग्राफ में प्रत्येक नोड की जगह तीन जुड़ा हुआ नोड्स के साथ मानक से अनिर्दिष्ट Hamiltonian चक्र की एनपी पूर्णता साबित करने के लिए प्रयोग किया जाता कमी के अनुसार और संशोधित किनारों DIRECTED HAMILTONIAN CYCLE यानी आने वाले किनारों के लिए उपयोग किया जाने वाला नोड है , आउटगोइंग किनारों के लिए उपयोग किया जाने वाला नोड है; $G$ $G' = \{V',E'\}$ $u$ $u_1, u_2, u_3$ $u_1$ $u_3$
पर UNDIRECTED HAMILTONIAN CYCLE उदाहरण को टीएसपी इंस्टेंस में बदलें जिसमें सभी किनारों का वजन , सिवाय हीरे के " " पॉजिटिव "असाइनमेंट में जाने वाले किनारे के जिसका वजन (नीचे की आकृति में लाल किनारे); अंत में पूरा करने के लिए जोड़े गए किनारों का वजन । $G'$ $T$ $G'$ $w = 1$ $t$ $w = 2$ $G'$ $w = 3$

स्पष्ट रूप से TSP उदाहरण में एक सरल चक्र है जो सभी नोड्स पर जाता है जो कि के संतोषजनक असाइनमेंट से मेल खाता है जिसमें (और इस दौरे को बहुपद समय में आसानी से बनाया जा सकता है), लेकिन इसका कुल वजन है (क्योंकि यह उस किनारे का उपयोग करता है जो असाइनमेंट के अनुरूप है जिसका वजन 2 है)। का एक और सरल चक्र है जो कम कुल वजन वाले सभी नोड्स पर जाता हैअगर और केवल अगर वजन के किनारे जो असाइनमेंट से मेल खाते हैं तो का उपयोग नहीं किया जाता है; या समकक्ष यदि और केवल एक और संतोषजनक कार्य है तो $T$ $\varphi'$ $t = true$ $|V'|+1$ $t = true$ $T$ $|V'|$ $2$ $t = true$ $\varphi'$ जिसमें ; लेकिन यह सच हो सकता है अगर और केवल अगर मूल सूत्र संतोषजनक है। $t = false$ $\varphi$

मैं इसके बारे में अधिक सोचूंगा, और मैं एक औपचारिक प्रमाण लिखूंगा (यदि यह गलत नहीं है तो :-)) मुझे बताएं कि क्या आपको उपरोक्त मार्ग में से एक या एक से अधिक विवरणों की आवश्यकता है।

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

जैसा कि डोमोटर ने एक दिलचस्प परिणाम बताया है कि निम्न समस्या एनपी-पूर्ण है: एक ग्राफ और एक हैमिल्टनियन मार्ग को देखते हुए , क्या में हैमिल्टनियन चक्र है? $G$ $G$

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

तो आप अनिवार्य रूप से दिखाते हैं कि इसमें एक ग्राफ और एक एच-पथ दिया गया है, यह तय करना एनपीसी है कि क्या इसका एच-चक्र है, है ना?

— डोमोटर

अच्छा लग रहा है। लिखने के प्रयास में लगाने के लिए धन्यवाद। मेरे प्रश्न को सीधे संबोधित करने के लिए कुछ बदलाव: ग्राफ के किनारों को 1 भारित किया जाना चाहिए, सिवाय इसके कि विशेष किनारे को 2 भारित किया जाए और गैर-किनारों को भारित किया जाए 3.

— लांस फोर्टेन

यदि आप उस विशिष्ट बढ़त को

से हटाते हैं , तो

H-path बन जाता है और

एक H- चक्र बना रहेगा, इसलिए आप अनिवार्य रूप से वही दिखाते हैं जो मैंने लिखा था, है ना? मेरे लिए यह कथन मूल प्रश्न से अधिक दिलचस्प लग रहा है।

G

$G$

H_{1}

$H_1$

H_{2}

$H_2$

— डोमोटर

@domotorp: आप सही कह रहे हैं! :)

— मार्जियो डी बियासी

arxiv.org/pdf/1403.3431.pdf Marzio De Biasi द्वारा

— T ....

Papadimitriou & Steiglitz (1977) ने इस समस्या की एनपी-पूर्णता को दिखाया है।

— माक्र्स रिट
स्रोत

आउच ... मेरे पास एक मामूली "रीइन्वेटिंग-द-व्हील" भावना है :-) पेपर SIAM पेवॉल के पीछे है, क्या यह प्रमाण मेरे जैसा है?

— मार्जियो डी बियासी

मेरे पास कागज तक पहुंच नहीं है, लेकिन आप उनकी पुस्तक की धारा 19.9 में भी प्रमाण पा सकते हैं , जो अधिक सुलभ हो सकता है।

— मार्कस रिट

G

$G$

G^{'}

$G'$

G

$G$

@Marzio de Biasi मुझे लगता है कि पेपर अपडेट करना ठीक है। आपका वैकल्पिक प्रमाण अभी भी दिलचस्प है।

— मार्कस रिट