लगभग-2-सैट एनपी-हार्ड है?

Question

क्या CNF SAT समस्या एनपी कठिन है जब कुल संख्या (लेकिन चौड़ाई नहीं) 3 या अधिक अवधि के क्लॉज एक निरंतरता से ऊपर बंधी है? क्या विशेष रूप से के बारे में जब वहाँ केवल एक ही खंड है?

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यदि 2 से अधिक शब्दों के साथ केवल एक ऐसा क्लॉज , तो ऐसे फॉर्मूले को हल करना P में तुच्छ है । यदि ग है n शर्तों, में से प्रत्येक की कोशिश n कि संतुष्ट आंशिक कार्य ग , तो शेष 2-सैट सूत्र में जाना जाता है रैखिक समय विधि का उपयोग कर हल। आखिरकार आपको पूरे फॉर्मूले का हल मिल जाएगा या यह साबित होगा कि यह O ( n 2 ) समय में असंतोषजनक है , जहां n पूरे फॉर्मूले में चर की संख्या को पार नहीं कर सकता है। $c$$P$$c$$n$$n$$c$$O(n^2)$$n$

— काइल जोन्स

@KyleJones लेकिन शाब्दिक के साथ एक एकल खंड में 2 k - 1 संतोषजनक कार्य हैं, न कि केवल k । चूँकि k प्रश्न में बँधा नहीं है, यह दृष्टिकोण एक घातांक-समय एल्गोरिथ्म देता है। $k$$2^k-1$$k$$k$

— डेविड रिचेर्बी

@DavidRicherby क्लॉज़ को संतुष्ट करने के लिए आपको केवल एक का ही सही मूल्यांकन करना होगा। उसके बाद क्लॉज को नजरअंदाज किया जा सकता है और आपके पास केवल 2-SAT फॉर्मूला शेष है। शाब्दिक अर्थ है कि आपको केवल k असाइनमेंट आज़माना है । $k$$k$

— काइल जोन्स

Answer 1

यह ध्यान देने योग्य है कि समस्या एनपी-कठोर हो जाती है जब प्रतिबंध थोड़ा आराम किया जाता है।

एक निश्चित संख्या वाले खंडों के साथ जो बंधे हुए आकार के होते हैं, एक खंड में शाब्दिकों की औसत संख्या 2 के करीब होती है, जो कि पर्याप्त चर के साथ एक उदाहरण पर विचार करके चाहता है। जैसा कि आप बताते हैं, तब एक साधारण ऊपरी बाउंड होता है जो कि बहुपद होता है यदि क्लॉज का आकार बंधा होता है।

$2 + \epsilon$$\epsilon > 0$

$m$$(2+\epsilon)$$m(1 - \epsilon)/\epsilon$$\epsilon$

यह कमी यह भी दिखाती है कि यहां तक ​​कि वह संस्करण जहां "बड़े" खंड 3 लीटर तक सीमित हैं, एनपी-हार्ड है।

शेष मामला तब है जब कुछ बड़े खंड बंधे हुए आकार के नहीं हैं; प्रत्येक बड़ा खंड समस्या को कठिन बनाता है। दो क्लाज के मामले के लिए Pǎtraşcu और विलियम्स द्वारा सोडा 2010 का पेपर देखें: उनका तर्क है कि अगर यह उप-द्विघात समय में किया जा सकता है तो हमारे पास SAT के लिए बेहतर एल्गोरिदम होगा। अधिक खंडों के लिए उनके तर्क का विस्तार हो सकता है, जो इस बात का सबूत देगा कि आपकी ऊपरी सीमा में सुधार नहीं किया जा सकता है (घातांक समय परिकल्पना के कुछ रूप को संशोधित करें)।

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केवल मूर्त रूप से संबंधित है, लेकिन हाल ही में ECCC का एक पेपर है जो एक अलग तरीके से "लगभग 2-SAT" तैयार करता है और मजबूत कठोरता साबित करता है: eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Nikolov

Answer 2

ठीक है मैंने समझ लिया। जवाब न है। इसे पाली-समय में हल किया जा सकता है। प्रत्येक 3 या अधिक अवधि के क्लॉज के लिए, एक शाब्दिक का चयन करें और इसे सच होने के लिए सेट करें। फिर शेष 2-बैठी समस्या को हल करें। यदि कोई एक समाधान प्रदान करता है, तो वह समग्र समस्या का समाधान है। चूँकि 3 या अधिक अवधि वाले खंडों की संख्या निश्चित है (c कहो), तो यदि ऐसे सभी खंडों का आकार <= m है, तो यह O (m ^ (c) * n) में चलता है। प्रत्येक संभावित चयन से गुजरने के लिए O (m ^ c), शेष 2-सत समस्या को हल करने के लिए O (n)।

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$m$

यह है, क्योंकि मी का तात्पर्य परमाणुओं की संख्या से है। जाहिर है, एक खंड में समस्या की तुलना में अधिक शाब्दिक नहीं हो सकते। शायद मुझे m <= n

— dspyz