अप्रत्यक्ष ग्राफ़ में सरल पथों की संख्या की गिनती

Question

मैं एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के भीतर अद्वितीय सरल पथों की संख्या निर्धारित करने के बारे में कैसे जा सकता हूं? या तो एक निश्चित लंबाई के लिए, या स्वीकार्य लंबाई की एक सीमा के लिए।

याद रखें कि एक सरल पथ बिना चक्रों वाला एक मार्ग है, इसलिए मैं बिना चक्र वाले पथों की संख्या गिनने की बात कर रहा हूं।

Comments

यह पहले से ही mathoverflow पर कहा गया है: mathoverflow.net/questions/18603/...

— लिस्टिंग

दरअसल, मैथवेटफ्लो में सवाल सभी रास्तों को खोजने के बारे में था, न कि उन्हें गिनने के लिए। उन्हें ढूंढना काफी कठिन हो सकता है।

— DCTLib

उत्तर में दिए गए संदर्भों के अलावा, एक तुच्छ अवलोकन यह है कि यदि कोई लंबाई के रास्तों की संख्या की गणना कर सकता है तो वह हैमिल्टन पथ के अस्तित्व के प्रश्न का उत्तर दे सकता है। तो सबसे अधिक संभावना है कि यह पी। नहीं है$n-1$

— सईद

Answer 1

वहाँ कई एल्गोरिदम कि लंबाई के सरल पथ गिनती कर रहे हैं में च ( कश्मीर ) n कश्मीर / 2 + हे ( 1 ) समय है, जो एक बहुत जानवर बल (तुलना में बेहतर है हे ( एन कश्मीर ) समय)। उदाहरण के लिए देखें वासिलेवस्का और विलियम्स, 2009 ।$k$$f(k)n^{k/2+O(1)}$$O(n^k)$

Answer 2

यदि आप सटीक उत्तर चाहते हैं तो यह # P-complete (वैलेंटाइन, 1979) है, इसलिए आप पूरी तरह से ब्रूट बल से बेहतर काम करने की संभावना नहीं रखते हैं। रॉबर्ट्स और क्रोज (2007) द्वारा चर्चा की जाती है।

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बी। रॉबर्ट्स और डीपी क्रोज़, " एक ग्राफ में s - t रास्तों की संख्या का अनुमान$s$$t$ लगाना "। ग्राफ एल्गोरिथ्म और अनुप्रयोग जर्नल , 11 (1): 195-214, 2007।

एलजी वैलेंट, " गणना और विश्वसनीयता समस्याओं की जटिलता "। SIAM जर्नल ऑन कंप्यूटिंग 8 (3): 410-421, 1979।

Comments

रॉबर्ट्स और क्रोज पेपर सन्निकटन की गारंटी नहीं देते हैं। क्या कोई पीटीएएस इस समस्या के लिए जाना जाता है?

— साशो निकोलोव

@SashoNikolov, ऐसा लगता है कि वहाँ कोई उचित सन्निकटन एल्गोरिथ्म संभावना नहीं है। यह देखते हुए प्राप्त जी ' से जी आकार के एक गुट द्वारा प्रत्येक नोड की जगह एन = एन सी जहां n = | वी | और ग » 1 रों - टी Hamiltonian पथ, वहाँ हो जाएगा कम से कम ( एन ! ) n या इतना आसान रों - टी में रास्तों जी $G=(V,E)$$G'$$G$$N=n^c$$n=|V|$$c\gg 1$ । लंबाई में से प्रत्येक के सरल पथ के लिए में जी वहाँ लगभग रहे हैं ( एन ! ) ℓ में रास्तों जी ' । तो अगर G ने $\ell$$G$$(N!)^\ell$$G'$$G$$s-t$$(N!)^{n}$$s-t$$G'$ , और अन्यथा की तरह सबसे कुछ पर सरल एस - टी पथ। तो एन के एक कारक के भीतर लगभग मुश्किल होना चाहिए ! / ( एन - 1 ) ! ≫ एन सी $(n-1)!(N!)^{n-1}$$s-t$। $N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— नील युवा

Answer 3

मैं एक सन्निकटन एल्गोरिथ्म, एक parametrized एक जोड़ना चाहते हैं: के लिए एक निश्चित (या अधिक preciesly, δ = Ω ( $\delta>0$), आप गणना कर सकता हैएक(1+δ)सरल रास्तों की संख्या का -approximation, या तो अनिर्दिष्ट या निर्देशित ग्राफ में, लंबाई कीकश्मीरसमय मेंहे*(2हे(कश्मीर))।$\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$$(1+\delta)$$k$$O^*(2^{O(k)})$