गोवर्स ने "विवेकपूर्ण बोरेल निर्धारकता" दृष्टिकोण अपनाया

Question

गोवर्स ने हाल ही में एक समस्या को रेखांकित किया है, जिसे वे "विवेकीकृत बोरेल निर्धारकता" कहते हैं, जिसका समाधान सर्किट कम सीमा साबित करने से संबंधित है।

1. क्या आप उस दृष्टिकोण का सारांश प्रदान कर सकते हैं जो जटिलता सिद्धांतकारों के दर्शकों के अनुरूप है?

2. कुछ भी साबित करने के लिए इस दृष्टिकोण के लिए क्या करना होगा , जिसमें ज्ञात निचली सीमाओं को फिर से साबित करना शामिल है?

Comments

क्या आपने उसके ब्लॉग पर गोवर्स से पूछा?

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

@vzn: मैं निश्चित रूप से एक विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन बोरेल निर्धारकता के क्षेत्र में तर्क के विभिन्न उप-क्षेत्रों के साथ बहुत मजबूत संबंध हैं, इसलिए यह एक खिंचाव नहीं लगता है कि यह सीएस में अनुप्रयोग हो सकता है। वास्तव में बोरेल पदानुक्रम और विश्लेषणात्मक सेटों के बीच एक सीधा पत्राचार है, जो खुद जटिलता सिद्धांत में समय पदानुक्रम प्रमेय के एनालॉग हैं।

— कोड़ी

@ कोडी: मैंने सोचा था कि विश्लेषणात्मक सेट पोलिनोमियल हायरार्की (समय के पदानुक्रम प्रमेय के बजाय) के पहले स्तर के अनुरूप थे।

— जोशुआ ग्रोको

कैन्टिक खोज के बाद TCS के अंदर विचारों का बहुत कनेक्शन नहीं मिल सका, लेकिन शायद GCT जैसे बिंदु का हिस्सा। यह भी खेल के सिद्धांत पर आधारित है और सेट / सर्किट पर मैप किए गए खेल विकल्पों के पैटर्न की तरह कुछ का उल्लेख करना चाहिए। उनके प्रायोगिक "tiddlyspace" पर पूरक सामग्री का एक बड़ा हिस्सा है जिसमें एक रूपरेखा और "विश्लेषण पेड़" शामिल है।

— vzn २०'१३

कंप्यूटर विज्ञान और बोरेल की ठीक संरचना

— डुपार्क

Answer 1

मुझे दृष्टिकोण के लिए प्रेरणा की मेरी समझ का सारांश दें। चेतावनी दी है कि मैं बोरेल निर्धारकता की अवधारणा के लिए काफी नया हूं, और सेट सिद्धांत के विशेषज्ञ नहीं। सारी गलती मेरी है। इसके अलावा, मुझे यकीन नहीं है कि यह सब कुछ गोवर्स के पोस्ट पढ़ने से बेहतर है।

मुझे लगता है कि गोवर्स के मन में बोरेल निर्धारक प्रमेय का एक अंतिम एनालॉग नहीं है, लेकिन निम्नलिखित का एक अंतिम एनालॉग: बोरेल निर्धारक ZFC से अनुसरण करता है, जबकि विश्लेषणात्मक खेलों की निर्धारकता के लिए (अनिवार्य रूप से) मापने योग्य कार्डिनल के अस्तित्व की आवश्यकता होती है। मैं बहुत संक्षेप में वर्णन करूंगा कि हम किन खेलों के बारे में बात कर रहे हैं और बोरेल दृढ़ संकल्प क्या है, और फिर मैं निचले सीमा को साबित करने के दृष्टिकोण के साथ इसे टाई करूंगा। बहुत ही उच्च-स्तरीय विचार संपत्ति पर विचार करना है "एक काम के रूप में बोरेल नियतत्व के प्रमाण के एक अंतिम एनालॉग को एक संपत्ति के रूप में अनुमति देता है" जो एनपी से पी \ पॉली को अलग कर सकता है।

हम उन खेलों के बारे में सोचते हैं जहां दो खिलाड़ी I और II एक पूर्णांक "खेल" लेते हैं। खेल हमेशा के लिए चला जाता है, इसलिए वे एक क्रम । खेल एक जीत सेट द्वारा परिभाषित किया गया है एक ⊆ एन एन (यानी एक दृश्यों का सेट)। यदि एक्स ∈ एक तो खिलाड़ी मैं जीतता है, अन्यथा खिलाड़ी द्वितीय जीत।$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

यदि कोई खिलाड़ी I या खिलाड़ी II की जीत की रणनीति है तो एक खेल निर्धारित किया जाता है: एक जीत के लिए अब तक के खेल के आधार पर अगला कदम तय करने का तरीका। क्या सभी गेम निर्धारित किए गए हैं, सेट सिद्धांत की नींव के लिए अंतरंग संबंध हैं (वे पसंद के स्वयंसिद्ध में विश्वास नहीं करते हैं)। किसी भी मामले में, जब वास्तव में खेल निर्धारित कर रहे हैं एक सरल उदाहरण है जब पर उत्पाद टोपोलॉजी में खुला है एन एन , जो कह का एक आधुनिक तरीका है कि सदस्यता एक्स ∈ एक ही के तत्वों की एक सीमित संख्या के आधार पर फैसला किया जा सकता है $A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$। उदाहरण के लिए, जिस खेल में मैं खेलता हूं, अगर वह पहली बार खेलता है, तो वह एक नंबर भी खुला है। निर्धारित खेल का एक और सरल उदाहरण बंद खेल, यानी खेल जहां है की एक निश्चित परिणाम को आधार पर फैसला किया जा सकता है एक्स । बंद खेल उल्टे खिलाड़ियों की भूमिकाओं के साथ खुले खेल हैं।$x \not \in A$$x$

अब हम बोरेल निर्धारकता पर आ सकते हैं, और ठीक इसके बाद मैं इसे सर्किट और जटिलता के साथ जोड़ने की कोशिश करूंगा। बोरेल सेट एक ऐसा सेट है, जिसे एक से अधिक संख्या में यूनियनों और चौराहों पर बार-बार लगाने से खुले और बंद सेट से प्राप्त किया जा सकता है। आपको अपने मूल सेट के रूप में खुले और बंद सेट के बारे में सोचना चाहिए, और बोरेल सेट के रूप में प्रत्येक स्तर में सरल ऑपरेशन के "छोटे" (= गणनीय) संख्या के कई स्तरों का उपयोग करके मूल सेट से प्राप्त होता है। यह पता चला है कि आप ZFC में साबित कर सकते हैं कि बोरेल सेट निर्धारित हैं, और एक सटीक अर्थ है जिसमें यह सबसे अच्छा है जो आप कर सकते हैं।

मुझे लगता है कि गॉवर्स यहां जो सादृश्य देख रहे हैं वह यह है कि बोरेल सेट छोटे सर्किट की तरह हैं। परिमित दुनिया में, हम "ब्रह्मांड" की जगह hypercube द्वारा { 0 , 1 } एन । हमारी बुनियादी सेट घन के पहलुओं बन: { x ∈ { 0 , 1 } n : x मैं = ख } के लिए ख ∈ { 0 , 1 } ; ये शाब्दिक x i और equivalent x i के बराबर हैं$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$। आप ऐसे सेटों के संघों और चौराहों के रूप में AND और OR को लिख सकते हैं। इसलिए, बूलियन फ़ंक्शंस के लिए , मूल सेटों के s यूनियनों और चौराहों में से f - 1 ( 1 ) का उत्पादन करने में सक्षम होने के कारण f के लिए साइज़ s सर्किट होने के बराबर है। ।$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

मुझे विश्लेषणात्मक सेट के बारे में एक शब्द फेंकने दो। एक विश्लेषणात्मक सेट एक बोरेल सेट के एक प्रक्षेपण है: अगर एक बोरेल सेट है, तो टी = { x : ∃ y ( एक्स , वाई ) ∈ एस } विश्लेषणात्मक है। बोरेल सेट और छोटे सर्किट जटिलता के कार्यों के बीच हमारे पत्राचार द्वारा, एनपी / पॉली जैसे विश्लेषणात्मक सेट हैं।$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

अब वह बड़े सर्किट कॉम्प्लेक्सिटी के कार्यों से छोटे सर्किट कॉम्प्लेक्सिटी के कार्यों को अलग करने के लिए एक संपत्ति (रज़ोरोव-रूडीच अर्थ में) के साथ आने के लिए बोरेल दृढ़ संकल्प के प्रमाण से प्रेरणा लेता है। बेशक उम्मीद है कि संपत्ति प्राकृतिक सबूत बाधा से बचती है।

बोरेल determinacy के मार्टिन सबूत एक धारणात्मक बहुत साफ दृष्टिकोण का उपयोग करता: मार्टिन शो है कि हर बोरेल खेल एक नक्शे के तहत एक खुला (वास्तव clopen में) खेल का एक छवि है , ताकि $\pi$$\pi$जीतने की रणनीतियों को संरक्षित करता है - चलो इसे "लिफ्ट" कहते हैं। तो मार्टिन क्या दिखाता है कि प्रत्येक बोरेल खेल एक ऐसे खेल की छवि है जिसमें जीतने वाला सेट एक मूल सेट है। चूंकि खुले खेल आसानी से निर्धारित होते देखे जाते हैं, यह बोरेल निर्धारकता साबित करता है। प्रमाण आगमनात्मक है, आधार मामले से पता चलता है कि बंद गेम को उठाया जा सकता है। महत्वपूर्ण हिस्सा यह है कि प्रेरण का प्रत्येक चरण ब्रह्मांड को "उड़ाता है": बोरेल सेट निर्माण के एक स्तर से छुटकारा पाने के लिए एक गेम को एक ब्रह्मांड पर एक गेम उठाने की आवश्यकता होती है जो मूल रूप से मूल गेम के ब्रह्मांड का पावर सेट है । दिलचस्प बात यह है कि यह अपरिहार्य है: बोरेल सेट जिन्हें परिभाषित करने के लिए अधिक स्तरों की आवश्यकता होती है, उन्हें केवल बहुत बड़े ब्रह्मांडों के खेल के लिए उठाया जा सकता है। विश्लेषणात्मक सेटों को उन ब्रह्मांडों की आवश्यकता होती है जो इतने बड़े होते हैं, कि उनके अस्तित्व के लिए बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।

इससे प्रेरणा लेते हुए, गोवर्स एक खेल तैयार करते हैं जिसमें खिलाड़ी I और खिलाड़ी II को संयुक्त रूप से कुछ निर्दिष्ट करना चाहिए ; खिलाड़ी मैं जीतता है अगर च ( एक्स ) = 1 , अन्यथा खिलाड़ी द्वितीय जीत। प्लेयर I निर्देशांक के पहले छमाही को निर्दिष्ट कर सकता है, और खिलाड़ी द्वितीय को दूसरा आधा। अंतर्ज्ञान अब यह है कि छोटे सर्किट जटिलता के साथ साधारण एफ यानी एफ के समान गेम , मार्टिन की शैली को अपेक्षाकृत छोटे ब्रह्मांड में उठाने की अनुमति देनी चाहिए, जैसे कि बोरेल गेम करते हैं। दूसरी ओर यादृच्छिक एफ को डबल घातीय आकार के ब्रह्मांडों की आवश्यकता होती है, और उम्मीद है कि एनपी-हार्ड एफ को भी चाहिए, क्योंकि वे विश्लेषणात्मक खेलों के अनुरूप होंगे।$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

मार्टिन शैली की लिफ्ट क्या है, इसके बारे में मुझे थोड़ा और ठोस होना चाहिए, लेकिन तकनीकी परिभाषाओं के लिए गोवर्स के पदों की जांच करें। मार्टिन-शैली (गोवर्स की शब्दावली में, "रैमसे") लिफ्ट कुछ समन्वय द्वारा निर्दिष्ट करने के खेल के लिए एक लिफ्ट है , जहां U ब्रह्मांड है और संभवतः 2 n से बड़ा है , लेकिन अब जीतने की स्थिति है बहुत ही सरल: चाहे खिलाड़ी I या II जीतता है, y के एकल समन्वय के आधार पर निर्णय लिया जाता है । मार्टिन के प्रमाण में, एक लिफ्ट को जीतने की रणनीतियों को संरक्षित करना चाहिए।$y \in U$$U$$2^n$$y$

उम्मीद है कि यह प्राकृतिक सबूत बाधा से बच सकता है अंतर्ज्ञान पर आधारित है कि संपत्ति "मार्टिन शैली एक छोटे ब्रह्मांड के लिए लिफ्ट है" शायद गणना करना आसान नहीं है। लेकिन इस बिंदु पर यह स्पष्ट नहीं है कि समता समारोह में एक छोटे ब्रह्मांड के लिए लिफ्ट है या नहीं। मुझे चिंता है कि बोरेल सेट करने के लिए उपयुक्त सादृश्य कार्यों हो सकता है AC0 में: समता आराम कम से कम कि चिंता डाल के लिए एक छोटी सी लिफ्ट खोजने।$f$

Comments

"बोरल सेट्स एंड सर्किट जटिलता" dl.acm.org/citation.cfm?id=808733&dl=ACM&coll=DL , लेख में , Sipser इस विचार का अच्छा उपयोग करता है कि बोरेल सेट का अंतिम एनालॉग । $\mathsf{AC}^0$

— जोशुआ ग्रोको

धन्यवाद @ जोश! स्पष्ट रूप से यह सादृश्य प्रमाण के पीछे एक अंतर्ज्ञान था कि समानता AC0 में नहीं है।

— साशो निकोलेव