क्या यह निर्धारित करने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है कि क्या मैट्रिसेस के सेट की अवधि में क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स शामिल है?

मैं एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म खोजना चाहता हूं जो यह निर्धारित करता है कि किसी दिए गए सेट के अंतराल में मैटरूट्स मैट्रिक्स का क्रम है।

यदि किसी को पता है कि क्या यह समस्या एक अलग जटिलता वर्ग की है, तो यह उतना ही सहायक होगा।

संपादित करें: मैंने इस सवाल को रैखिक प्रोग्रामिंग के साथ टैग किया है, क्योंकि मुझे एक मजबूत संदेह है कि यदि ऐसा कोई समाधान मौजूद था, तो यह एक प्रकार का रैखिक प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम होगा। मेरा मानना है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि बिरखॉफ पोलीटोप के चरम बिंदु ठीक क्रमचय मैट्रिसेस हैं। यदि आप एक वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन पा सकते हैं, जो या तो अधिकतम या केवल बिरखॉफ़ पॉलीटोप के कोने पर कम से कम है, तो आप अपने फ़ंक्शन को पॉलीटोप और अपने वेक्टर उप-स्थान के चौराहे पर रोक सकते हैं, फिर इसे बहुपद समय में अधिकतम कर सकते हैं। यदि यह मान एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स था, तो आपको पता होगा कि सेट में एक क्रमचय था। इस विषय पर मेरे विचार हैं।

संपादित करें 2: कुछ और सोचा के बाद, मुझे लगता है कि क्रमचय मैट्रिक्स ठीक इयूक्लिडियन आदर्श के साथ Birkhoff Polytope के तत्व हैं , हम उत्तल पतवार पर विचार Birkhoff polytope क्रमपरिवर्तन मैट्रीस। शायद यह भी महत्वपूर्ण हो सकता है। $\sqrt{n}$ $n \times n$

EDIT 3: मैंने सेमीफाइनल प्रोग्रामिंग टैग को जोड़ा, क्योंकि मेरी पिछली टिप्पणी के बाद, मैं सोचने लगा हूं कि एक सेमीफाइनल प्रोग्रामिंग समाधान संभव हो सकता है क्योंकि यह अब एक रैखिक रूप से विवश द्विघात अनुकूलन एल्गोरिथ्म है।

— छेद
स्रोत

इनपुट मैट्रिसेस में किस प्रकार की प्रविष्टियाँ होंगी?

$\;$

प्रविष्टियाँ किसी भी क्षेत्र में हो सकती हैं, मेट्रिसेस को सेट करने की कुछ आज़ादी है; हालाँकि, आप पर्याप्त रूप से बड़ा क्षेत्र चाहते हैं (इसलिए विशेषता 2 का क्षेत्र उदाहरण के लिए अच्छा नहीं होगा)।

— निक

समझा सकते हैं कि मैट्रिसेस के सेट की अवधि क्या है?

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

मोहम्मद: मुझे लगता है कि यह मैट्रिस के सेट का एक रैखिक संयोजन है।

— विवेक बागरिया

@DavidRicherby मुझे लगता है कि मोहम्मद का भ्रम इस तथ्य से है कि आमतौर पर हम मैट्रिसेस को रेखीय मानचित्रों का प्रतिनिधित्व करने के बारे में सोचते हैं, और रैखिक मानचित्र का उपयोग कभी-कभी इसकी सीमा के लिए एक और शब्द के रूप में किया जाता है। लेकिन यह यहाँ समझ में नहीं आता है, इसलिए मुझे लगता है कि हम एक वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के रूप में मेट्रिसेस के बारे में सोचते हैं

— साशो निकोलेव

जवाबों:

प्रमेय। सबसेट-सम से घटाकर पोस्ट में समस्या एनपी-हार्ड है।

बेशक यह निम्नानुसार है कि समस्या पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म होने की संभावना नहीं है, जैसा कि ऑप द्वारा अनुरोध किया गया है।

यहाँ अंतर्ज्ञान है। पोस्ट में समस्या है

क्या मैट्रिसेस के दिए गए सेट की अवधि में एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है?

यह अनिवार्य रूप से के रूप में ही है

क्या एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है जो (वेक्टर के रूप में मैट्रिक्स की सोच) कुछ दिए गए रैखिक बाधाओं को संतुष्ट करता है?

यह बदले में के रूप में ही है

क्या एक पूर्ण मिलान (एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ में) है जिसकी घटना वेक्टर कुछ दिए गए रैखिक बाधाओं को संतुष्ट करता है?

बाद की समस्या के लिए सबसेट-सम को कम करना एक मानक व्यायाम है।

इसका विस्तृत प्रमाण यहाँ प्रस्तुत है।

निम्नलिखित मध्यवर्ती समस्या को परिभाषित करें:

मिलता-जुलता-सम:

इनपुट: पूर्ण, द्विदलीय ग्राफ साथ गैर-नकारात्मक पूर्णांक बढ़त भार और गैर-नकारात्मक पूर्णांक लक्ष्य $G=(U,V,E)$ $T$ ।

आउटपुट: क्या में का सही मिलान होता है ? $G$ $T$

लेम्मा 1 । सबसेट-सम पॉली-टाइम मैचिंग-सम तक कम हो जाता है।

यह साबित करना एक मानक होमवर्क व्यायाम है। प्रमाण अंत में है।

लेम्मा 2. मैचिंग-सम पॉली-टाइम पोस्ट में समस्या को कम करता है।

लेम्मा 2. का प्रमाण फिक्स एक मिलान-योग इनपुट: एक द्विपक्षीय ग्राफ की पूरी गैर नकारात्मक पूर्णांक बढ़त वजन के साथ , और लक्ष्य , जहां और । प्रत्येक के लिए $G=(U,V,E)$ $w:U\times V\rightarrow \mathbb{N}_+$ $T\in \mathbb{N}_+$ $U=\{u_1,\ldots,u_n\}$ $V=\{v_1, \ldots, v_n\}$ , परिभाषित में मैट्रिक्स होने के लिए जहां , और $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ $M^{(ij)}$ $\mathbb{R}^{(n+1)\times (n+1)}$ $M^{(ij)}_{ij} = T$ यह कमी को परिभाषित करता है। , और अन्य सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं। कमी मैट्रिक्स के निम्नलिखित सेट आउटपुट: $M^{(ij)}_{n+1,n+1}=w(u_i, v_j)$

{M^{(i j)} : i, j \in {1, \dots, n}} .

$\big\{M^{(ij)} : i,j\in\{1,\ldots,n\}\big\}.$

दावा। मैट्रिक्स के इस सेट की अवधि उन मैट्रिक्स के होते संतोषजनक रैखिक कमी सभी के लिए और रेखीय बाधा $M \in\mathbb{R}^{(n+1)\times(n+1)}$ $M_{h,n+1} = M_{n+1,h} = 0$ $h\le n$

Σ_{मैं = 1}^{n} Σ_{j = 1}^{n} {एम}_{मैं j} w ({यू}_{मैं}, v_{j}) = टी {एम}_{n + 1, n + 1} ।

$\textstyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij}\,w(u_i, v_j) = T\, M_{n+1,n+1}.$

( दावे के सबूत। निरीक्षण प्रत्येक मैट्रिक्स द्वारा सेट को संतुष्ट करता है में इन बाधाओं, इसलिए उन मैट्रिक्स के हर रैखिक संयोजन करता है। इसके विपरीत, यदि को संतुष्ट करता है की कमी , तो रैखिक संयोजन के बराबर होती है $M^{(ij)}$ $M\in\mathbb{R}^{(n+1) \times (n+1)}$ $M$ $M'=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} M^{(ij)}$ मैट्रिक्स, जहां की । विशेष रूप से ध्यान दें कि, विभिन्न परिभाषाओं और रैखिक बाधाओं, द्वारा $\alpha_{ij} = M_{ij}/M^{(ij)}_{ij} = M_{ij}/T$

M_{n + 1, n + 1}^{'} = \sum_{i j} α_{i j} w (u_{i}, v_{j}) = \sum_{i j} M_{i j} w (u_{i}, v_{j}) / T = (T M_{n + 1, n + 1}) / T = M_{n + 1, n + 1} .

$\textstyle M'_{n+1,n+1} = \sum_{ij} \alpha_{ij} w(u_i, v_j) = \sum_{ij} M_{ij} w(u_i, v_j)/T = (T\, M_{n+1,n+1})/T = M_{n+1,n+1}.$ यह दावा साबित करता है।)

अब हम दिखाते हैं कि कटौती सही है। अर्थात्, दिए गए ग्राफ का भार है- $G$ $T$ मिलान यदि और केवल यदि मैट्रिसेस का सेट एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स तक फैला हो।

( केवल अगर। ) पहले लगता दिए गए ग्राफ एक वजन के कारण है सही मिलान । चलो होना इसी क्रमचय मैट्रिक्स, एक अतिरिक्त पंक्ति और स्तंभ के साथ इस तरह कहा कि और $G$ $T$ $M'$ $M\in\{0,1\}^{(n+1)\times (n+1)}$ $n\times n$ $M_{n+1,n+1} = 1$ सभी के लिए । तब का वजन है , कि है, , और $M_{h,n+1}=M_{n+1,h}=0$ $h\le n$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $M'$ $T$ $M_{n+1,n+1}=1$ , इसलिए दावा होल्ड में रैखिक बाधाएं, और मैट्रिसेस के दिए गए सेट की अवधि में क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स । $M$

( यदि। ) इसके विपरीत, मान लें कि स्पान में कोई क्रमचय मैट्रिक्स । दावा, केवल गैर शून्य पंक्ति में प्रवेश करके या स्तंभ है , तो (के रूप में क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है) यह होना चाहिए कि । इसलिए अंतिम पंक्ति और कॉलम को हटाने से एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स मिलता है। चलो $M$ $n+1$ $n+1$ $M_{n+1,n+1}$ $M$ $M_{n+1,n+1} = 1$ $n\times n$ $M'$ का सही मिलान होना $G$ उस क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के अनुरूप । का वजन है , जो (दावा) के द्वारा है । तो दिए गए ग्राफ का वजन मिलान, जो लेम्मा को साबित करता है 2. $n\times n$ $M'$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n M_{ij} w(u_i, v_j)$ $T M_{n+1,n+1} = T$ $T$ $~~\Box$

यहाँ लेम्मा 1 का विलंबित प्रमाण दिया गया है:

लेम्मा 1. का सबूत को देखते हुए सबसेट-योग उदाहरण , मिलान-योग उदाहरण आउटपुट में कमी जहां , $(w,T)\in\mathbb{N}^n_+ \times \mathbb{N}_+$ $(G=(U,V,E), T)$ $U=\{u_1, u_2, \ldots, u_{2n}\}$ , प्रत्येक के लिए , धार वजन है , और सभी शेष किनारों वजन शून्य है। $V=\{v_1, v_2, \ldots, v_{2n}\}$ $i\in\{1,\ldots,n\}$ $(u_i, v_i)$ $w_i$

योग के किनारे वजन के साथ किसी भी सही मिलान के लिए , सेट दिया सबसेट-योग उदाहरण के लिए एक समाधान है (इसलिए उन्हें ही गैर हैं में शून्य भार का किनारा )। $T$ $S=\{i : (u_i, v_i)\in M, i\le n\}$ $M$

Conversely, given any solution to the Subset-Sum instance, say $S\subseteq\{1,\ldots,n\}$ with $\sum_{i\in S} w_i = T$ , the set of edges $\{(u_i, v_i) : i \in S\}$ is a partial matching with weight $T$ , and it extends easily to a weight- $T$ perfect matching by adding, for example, the following set of (zero-weight) edges:

{(u_{i + n}, v_{i + n}) : i \in S} \cup ⋃_{i \in {1, \dots, n} ∖ S} {(u_{i}, v_{i + n}), (u_{i + n}, v_{i})} .

$\{(u_{i+n}, v_{i+n}) : i\in S\} \cup \bigcup_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus S}\{(u_i, v_{i+n}), (u_{i+n}, v_{i})\}.$

यह लेम्मा 1 को सिद्ध करता है। प्रमेय 1 और 2. $~~~\Box$

p.s. As an aside, according to this answer, the restriction of Matching-Sum to instances with polynomially-bounded edge weights is in P. But I'm sure that the restriction of the problem in the post to matrices with polynomially-bounded (integer) entries remains NP hard.

— Neal Young
स्रोत

It seems like you take the convex hull of the matrices rather than the span. The span of the matrices you described is the full space of matrices. Or am I missing something?

— Vanessa

@Squark, you are correct - I misinterpreted "span". Thanks. I corrected the proof to use the correct definition of span (as any linear combination of the matrices.)

— Neal Young

Nice! I think it would be better to multiply the definition of

M^{(i j)}

$M^{(ij)}$ by

w (u_{i}, v_{j})

$w(u_i,v_j)$ , so that we don't have to divide by something which might be 0? Also, it seems like the proof can be somewhat simplified by combining the two reductions without the intermediate problem.

— Vanessa

Good point about dividing by zero. I'll fix that. I'll leave the two reductions separate though, for me it's more intuitive that way.

— Neal Young

Regarding the problem of computing the diameter of a polytope presented as the intersection of halfspaces, the problem is NP-hard in general, and also NP-hard to approximate within any constant factor, see Brieden's paper and references therein. I think for centrally symmetric polytopes, an SDP gives an $O(\sqrt{\log m})$ approximation where $m$ is the number of inequalities defining the polytope. I sketch this below the line.

In your case the Birkhoff polytope $P$ is not centrally symmetric, but working with the convex hull of $P$ and $-P$ suffices for your purposes. I think this "symmetric Birkhoff" polytope can be represented as the set of all square matrices $M$ that satisfy:

\forall i^{*}, j^{*} : \sum_{i} M_{i j^{*}} = \sum_{j} M_{i^{*} j} = c

$\forall i^*, j^*: \sum_{i}{M_{ij^*}} = \sum_j{M_{i^*j}} = c$

\forall i, j : - 1 \leq M_{i j} \leq 1

$\forall i,j: -1 \leq M_{ij} \leq 1$

- 1 \leq c \leq 1

$-1 \leq c \leq 1$

If this is a correct representation (not sure), then you can just add the constraints that restrict this polytope to your given subspace. It is not hard to adapt the SDP below the line to this representation, but I choose not to go through it in order to keep notation managable.

I am not sure what approximate diameter does for your problem: it probably lets you decide if the given subspace is close to a permutation matrix or far from all of them, but I have not worked out the calculations.

Let me finish with a sketch of the SDP rounding (which is fairly standard fare). Let $P = \{x: -b \leq Ax \leq b\}$ be a centrally symmetric polytope, where $A$ is $m \times n$ . Define the vector program:

$\alpha^2 = \max \sum_{i = 1}^n{\|v_i\|_2^2}$

subject to:

$\forall 1 \leq i \leq m: \|\sum_{j = 1}^n{A_{ij} v_j}\|_2^2 \leq b_i^2$

Above the $v_i$ range over $n$ -dimensional vectors. This can be written as an SDP in the standard way and is a relaxation of the diameter of $P$ , i.e $\alpha$ is at least the euclidean diameter of $P$ .

I now claim that $\alpha \leq O(\sqrt{\log m})\cdot \text{diam}(P)$ . To show this, I will give you an algorithm that, given $(v_i)_{i=1}^n$ of value $\alpha$ , outputs $x \in P$ of length at least $\frac{\alpha}{O(\sqrt{\log m})}$ . The algorithm is just a random projection: pick a random $n$ -dimensional vector $g$ where each $g_i$ is a standard gaussian. Set $\tilde{x}_i = g^T v_i$ . By standard properties of gaussians:

E ‖ \tilde{x} ‖_{2}^{2} = α^{2}

$\mathbb{E}\ \|\tilde{x}\|_2^2 = \alpha^2$

\forall i \leq m : E | (A \tilde{x})_{i} |^{2} \leq b_{i}^{2} \Rightarrow E {max}_{i = 1}^{m} \frac{| (A \tilde{x})_{i} |}{b_{i}} \leq C \sqrt{\log m} .

$\forall i \leq m: \mathbb{E}\ |(A\tilde{x})_i|^2 \leq b_i^2 \ \ \Rightarrow \ \ \mathbb{E}\ \max_{i=1}^m{\frac{|(A\tilde{x})_i|}{b_i}} \leq C\sqrt{\log m}.$ where the last bound holds for large enough

C

$C$ (this is a standard fact about the maximum of

m

$m$ subguassian random variables, and can be proven using the Chernoff bound).

The two equations already imply there exists an $x$ such that $x \in P$ and $\|x\|_2^2 \geq \frac{1}{C\sqrt{\log m}}\alpha$ . Or, using concentration bounds, you can show that with constant probability $\frac{1}{2C\sqrt{\log m}}\tilde{x} \in P$ and $\|\tilde{x}\|_2\geq \frac{1}{2}\alpha$ .

— Sasho Nikolov
स्रोत