एक बूलियन फ़ंक्शन जो बड़े पर्याप्त आयाम के affine subspaces पर स्थिर नहीं है

Question

मैं एक स्पष्ट बूलियन समारोह में दिलचस्पी रहा हूँ $f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$निम्नलिखित संपत्ति के साथ: यदि निरंतर है, तो कुछ परिश्रमी उपसमूह पर$f$ , तो इस उप-स्थान का आयाम o ( n ) है ।$\\{0,1\\}^n$$o(n)$

यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि एक सममित फ़ंक्शन एक उप-विचार ए = पर विचार करके इस संपत्ति को संतुष्ट नहीं करता है$A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$। किसी भी बिल्कुल है n / 2 1 की और इसलिए च निरंतर उपस्पेस है एक आयाम के एन / 2 ।$x \in A$$n/2$ $1$$f$$A$$n/2$

क्रॉस-पोस्ट: /mathpro/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

Comments

क्या f की श्रेणी {0,1} ^ n के बजाय {0,1} है? अन्यथा मुझे लगता है कि जवाब तुच्छ है (एफ पहचान मानचित्रण हो सकता है)।

— त्सुकोशी इतो

ओह, मुझे क्षमा करें, सीमा निश्चित रूप से {0,1} है। फिक्स्ड।

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव

क्योंकि आप एक स्पष्ट निर्माण के लिए पूछते हैं, मुझे लगता है कि एक संभाव्य विधि एक अस्तित्वगत प्रमाण देता है। एक जंगली अनुमान: यदि हम {0,1} ^ n को क्रम 2 के परिमित क्षेत्र के साथ पहचानते हैं तो क्या होता है n और let f (x) = 1 यदि और केवल x परिमित क्षेत्र में एक वर्ग से मेल खाता है? द्विघात अवशिष्टों के समुच्चय के माप में एक प्राइमरी अक्सर यादृच्छिक दिखता है, और अब हमें वैक्टर के एक सेट की आवश्यकता होती है, जो यादृच्छिक दिखता है, इसलिए एक प्राकृतिक क्षेत्र की तरह एक परिमित क्षेत्र में चौकों के सेट का उपयोग करना। (मैंने इसे बिल्कुल भी काम नहीं किया है, और यह निशान से दूर हो सकता है।)

— त्सुयोशी इतो

मो पर तैनात क्रॉस । जब आप क्रॉस पोस्टिंग कर रहे हों तो कृपया अपने प्रश्न का लिंक जोड़ें।

— कवच

यह भी ध्यान दें कि एक साथ क्रॉसपोस्टिंग को हतोत्साहित किया जाता है ।

— त्सुकोशी इतो

Answer 1

जिन वस्तुओं को आप खोज रहे हैं, उन्हें एक आउटपुट बिट के साथ सीडलेस एफाइन डिस्पर्स कहा जाता है । आम तौर पर, एक परिवार के लिए एक उत्पादन बिट के साथ एक बीजरहित disperser के सबसेट के { 0 , 1 } n एक समारोह है च : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } ऐसी है कि किसी भी सबसेट पर एस ∈ एफ , function f स्थिर नहीं है। यहाँ, आप एफ में रुचि रखते हैं परिवार के सदस्य हैं$\mathcal{F}$$\{0,1\}^n$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$S \in \mathcal{F}$$f$$\mathcal{F}$

बेन-सैसन और "उपस्पेस बहुपदों से Affine dispersers" में Kopparty स्पष्ट रूप से आयाम की subspaces कम से कम के लिए बीजरहित affine dispersers का निर्माण । यहां वर्णन करने के लिए डिस्पेंसर का पूरा विवरण थोड़ा जटिल है। $6n^{4/5}$

कागज पर एक सरल मामला भी चर्चा में है, जब हम आयाम उप-स्थानों के लिए एक एफाइन डिस्पेंसर चाहते हैं । फिर, उनके निर्माण विचार एफ एन 2 के रूप में एफ 2 n और निर्दिष्ट disperser होने के लिए च ( एक्स ) = टी आर ( एक्स 7 ) , जहां टी आर : एफ 2 n → एफ 2 को दर्शाता है का पता लगाने नक्शा: टी आर ( एक्स ) = ∑ $2n/5+10$${\mathbb{F}}_2^n$${\mathbb{F}}_{2^n}$$f(x) = Tr(x^7)$$Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$। ट्रेस मैपकी एक प्रमुख संपत्तियह है किTr(x+y)=Tr(x)+Tr(y)। $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$$Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

Comments

बहुत बहुत धन्यवाद, अर्नब! ऐसा लगता है कि यह वही है जो मुझे चाहिए, लेकिन जाहिर है मुझे कागज के माध्यम से जाने के लिए समय चाहिए। =)

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव

कागज पर स्वस्तिक द्वारा एक बात की वीडियो रिकॉर्डिंग यहाँ है: video.ias.edu/csdm/affinedispersers

— arnab

धन्यवाद फिर से, अर्नब! मुझे उम्मीद है कि वीडियो मुझे इस पेपर को समझने में मदद करेगा (पहले कई पन्नों को पढ़ने के बाद मुझे लगता है कि यह काफी जटिल है)।

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव

Answer 2

एक फ़ंक्शन जो कुछ के समान (लेकिन उससे भी कमज़ोर) चीज़ को संतुष्ट करता है जो आप चाहते हैं कि पर एक मैट्रिक्स का निर्धारक हो । यह दिखाया जा सकता है कि n × n मैट्रिक्स का निर्धारक कम से कम n 2 - n आयाम के किसी भी कमीन उप-स्थान पर अ-स्थिर है ।$\mathbb{F}_2$$n\times n$$n^2 - n$

Comments

धन्यवाद, रामप्रसाद! यह वास्तव में मैं चाहता हूँ की तुलना में बहुत कमजोर है। लेकिन फिर भी, क्या आप कृपया एक लिंक दे सकते हैं?

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव

मैं ऐसी जगह के बारे में नहीं जानता, जहाँ यह लिखा गया हो, लेकिन प्रमाण कठिन नहीं है। उपरोक्त दावे को साबित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि यदि आप प्रत्येक प्रविष्टि में चर के साथ मैट्रिक्स के निर्धारक को लेते हैं , तो बहुपद गैर-शून्य modulo n - 1 रैखिक कार्य है। ध्यान दें कि मोडुलो एक रैखिक फ़ंक्शन जा रहा है, बस प्रविष्टियों में से एक को दूसरे वेरिएबल के रैखिक फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसलिए, हम यह दिखाना चाहते हैं कि सिर्फ n - 1 प्रविष्टियों की जगह निर्धारक को नहीं मार सकती है। यह देखना आसान होना चाहिए कि केवल क्रमपरिवर्तन द्वारा, हम इन सभी n - 1 प्रविष्टियों को विकर्ण से ऊपर ले जा सकते हैं । [cntd]$n\times n$$n-1$$n-1$$n-1$

— रामप्रसाद

एक बार जब इन सभी प्रविष्टियों को विकर्ण से ऊपर स्थानांतरित कर दिया जाता है, तो निश्चित रूप से यह मामला है कि निर्धारक अभी भी गैर-शून्य रहता है (चूंकि नीचे और तिरछे सहित सभी प्रविष्टियां स्वतंत्र हैं, हम निम्न विकर्ण को पूरी तरह से शून्य बना सकते हैं और विकर्ण हो सकते हैं) गैर-शून्य तत्व एक गैर-शून्य निर्धारक देने के लिए)। यहाँ केवल चाल यह है कि सभी प्रविष्टियों को विकर्ण से ऊपर स्थानांतरित किया जा सकता है। $n-1$

— रामप्रसाद

धन्यवाद, रामप्रसाद! यह वास्तव में देखने के लिए मुश्किल नहीं है।

— अलेक्जेंडर एस। कुलिकोव