एक भाषा उत्पन्न करने के लिए सबसे छोटा बूलियन सर्किट

लंबाई के बाइनरी स्ट्रिंग्स की एक गैर-खाली भाषा पर विचार करें । मैं इनपुट के साथ एक बूलियन सर्किट साथ वर्णन कर सकता हूं और एक आउटपुट जैसे कि iff _ सही है : यह अच्छी तरह से जाना जाता है। $L$ $n$ $L$ $C$ $n$ $C(w)$ $w \in L$

हालांकि, मैं आउटपुट के साथ एक बूलियन सर्किट साथ का प्रतिनिधित्व करना चाहता हूं और इनपुट की एक निश्चित संख्या, कहता हूं , जैसे कि संभावित इनपुट में से प्रत्येक के लिए के आउटपुट मान का सेट बिल्कुल । $L$ $C'$ $n$ $m$ $C'$ $2^m$ $L$

को देखते हुए , मैं कम से कम आकार का ऐसा सर्किट कैसे पा सकता हूं , और जटिलता क्या है? क्या पहली तरह के सर्किट ( ) और इस दूसरी तरह ( ) के सर्किट के आकार के बारे में ज्ञात सीमाओं के बीच कोई संबंध है , या उन्हें खोजने की जटिलता है? $L$ $C'$ $C$ $C'$

(निरीक्षण वहाँ निम्नलिखित अर्थ में द्वंद्व के कुछ प्रकार है: दी , मैं आसानी से अगर एक इनपुट शब्द तय कर सकते हैं में है सर्किट का मूल्यांकन करके, लेकिन इसमें कुछ शब्द खोजने के लिए सामान्य रूप में एनपी कठिन है खोज द्वारा एक काम ऐसा है कि उत्पादन सच है। यह देखते हुए यह तय करने के लिए इसी तरह एनपी कठिन है अगर कुछ इनपुट शब्द में है क्योंकि मैं एक काम की पैदावार करता है, तो देखने के लिए आउटपुट के रूप में है, लेकिन यह आसान है में कुछ शब्द खोजने के लिए किसी भी मनमाने इनपुट पर सर्किट का मूल्यांकन करके ।) $C$ $w$ $L$ $L$ $C'$ $w$ $L$ $w$ $L$

fl.formal-languages circuit-complexity

— a3nm
स्रोत

यह प्रश्नपत्र आपके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है लेकिन इस तरह के सर्किटों का अध्ययन करता है जिन्हें आप eccc.hpi-web.de/report/2012/079 के

— मार्कोस विलाग्रा

नीचे आपकी टिप्पणियों से ऐसा लगता है कि आप सर्किट के एक परिवार पर विचार करना चाहते हैं जहां परिमित नहीं है। लगता है कि आपका कार्य भी

L

$L$

— विशेषण

कैसे दिया जाता है? सर्किट द्वारा ?

L

$L$

C

$C$

— usul

जवाबों:

मैं nondeterministic सर्किट के लिए एक सरल कनेक्शन इंगित करूंगा, और क्रिप्टोग्राफिक कठोरता पर संक्षेप में टिप्पणी करूंगा।

के लिए , परिभाषित छवि जटिलता, निरूपित किया , किसी भी (fanin-दो, और / या / नहीं) बूलियन सर्किट में फाटकों की न्यूनतम संख्या के रूप में जिसकी छवि । सवाल कंप्यूटिंग की जटिलता के बारे में पूछता है के एक सच्चाई की मेज प्रतिनिधित्व दिया, (लंबाई के एक स्ट्रिंग )। $S \subseteq \{0, 1\}^n$ $imc(S)$ $C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$ $S$ $imc(S)$ $S$ $2^n$

इसके अलावा परिभाषित nondeterministic सर्किट जटिलता के , जो हम करेंगे निरूपित , छोटी से छोटी nondeterministic सर्किट के रूप में बिल्कुल स्वीकार कर रहा है । यही है, हमें आवश्यकता कि iff । यह एक मानक धारणा है, जिसका उपयोग गैर-समान वर्ग को परिभाषित करने के लिए किया जाता है : यह साथ सभी सेट , ऐसे कि । $S$ $ncc(S)$ $C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$ $S$ $C$ $x \in S$ $\exists y: C(x, y) = 1$ $NP/poly$ $S = \{S_n\}_{n > 0}$ $S_n \subseteq \{0, 1\}^n$ $ncc(S_n) \leq poly(n)$

जो मैं इंगित करना चाहता था, वह है । इस असमानता की दोनों दिशाओं को सत्यापित करना सरल है। $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

चलो नियतात्मक सर्किट जटिलता को निरूपित करते हैं। Razborov-Rudich, कागज कि दाई ली शो (मोटे तौर पर यहाँ बोल) कि कुछ क्रिप्टोग्राफ़िक मान्यताओं के तहत, इसके बारे में सच-टेबल भेद करने के लिए computationally कठिन है का उल्लेख है का उपयोग करते हुए के साथ छोटे, सही मायने में यादृच्छिक की सच्चाई-टेबल से ( साथ के पास अधिक से अधिक)। रैंडम भी लगभग-अधिकतम है, और हमारे पास निश्चित रूप से । तो आपकी समस्या उन्हीं धारणाओं के तहत कठिन है। $dcc(S)$ $S$ $dcc(S)$ $S$ $dcc(S)$ $S$ $ncc(S)$ $ncc(f) \leq dcc(f)$

, या लिए दी गई सत्य-तालिका की गणना करना कठिन है ? क्या कोई कमी है? मुझे नहीं पता। $S$ $dcc(S)$ $ncc(S)$

— एंडी ड्रकर
स्रोत

काबनेट्स और कै से आपको इस पेपर पर एक नजर डालनी चाहिए । मैं कागज के सार को उद्धृत करूंगा:

हम सर्किट न्यूनतम समस्या की जटिलता का अध्ययन: एक बूलियन समारोह की सच्चाई मेज दिया और एक पैरामीटर यह तय करें कि अधिक से अधिक आकार के एक बूलियन सर्किट से महसूस किया जा सकता । हम तर्क देते हैं कि इस तरह की धारणा के कई आश्चर्यजनक परिणाम देकर (या ) होने की संभावना नहीं है । हम यह भी तर्क देते हैं कि इस समस्या को -complete साबित होता है (यदि यह वास्तव में सच है) तो कक्षा लिए मजबूत सर्किट कम सीमा साबित होगा , जो वर्तमान में ज्ञात तकनीकों से परे है। $f$ $s$ $f$ $s$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}/\mathsf{poly}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{E}$

हालांकि सर्किट आप computes उल्लेख एक समारोह , हम इसके बारे में सर्किट के एक दृश्य के रूप में सोच सकते हैं , जहां गणना करता है उत्पादन का सा । चूंकि प्रत्येक एक बूलियन समारोह की गणना करता है $C'$ $F:\{0,1\}^m \rightarrow L$ $C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$ $C'_i$ $i^{\rm th}$ $F$ $C'_i$ , सर्किट को न्यूनतम ऊपर परिणाम के लिए कड़ी मेहनत के अनुसार लगता है। $\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$ $C'_i$

— दाई ले
स्रोत

धन्यवाद! हालांकि, मैं एक एहसास करने की इच्छा नहीं तय समारोह

मेरी सर्किट के साथ

: मैं साकार करने के साथ ठीक कर रहा हूँ किसी भी समारोह

लंबे समय के रूप में अपनी के रूप में छवि है

। इसलिए मैं एक निश्चित कार्य

को साकार करने की उनकी समस्या को हल करने की कोशिश नहीं कर रहा हूं, इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह कठोरता परिणाम अभी भी लागू होगा।

f

$f$

C^{'}

$C'$

f

$f$

L

$L$

f

$f$

— a3nm

मैंने अभी आपकी टिप्पणी का जवाब देने के लिए अपना उत्तर अपडेट किया है।

— दाई ले

मैं अब भी असहमत हूं। प्रत्येक

एक बूलियन समारोह के रूप में आप कहते हैं की गणना करता है, लेकिन अभी भी प्रत्येक के लिए कई संभव विकल्प हैं

, यहां तक कि यह सोचते हैं कि अन्य लोगों को तय कर रहे हैं। उदाहरण के लिए अगर

है

, अगर

तय हो गई है, मैं अभी भी कई विकल्पों के लिए है

। मुझे इस तरह के बूलियन कार्यों के कुछ सुसंगत विकल्पों को प्राप्त करने के लिए एक न्यूनतम सर्किट खोजने की कठोरता में दिलचस्पी है , इसलिए मुझे उनकी समस्या की कमी नहीं दिखती है।

C_{i}^{'}

$C_i'$

C_{i}^{'}

$C_i'$

L

$L$

{000, 001, 010, 011}

$\{000, 001, 010, 011\}$

C_{2}^{'}

$C_2'$

C_{3}^{'}

$C_3'$

— a3nm

मैंने और स्पष्टीकरण जोड़ा है।

— दाई ले

@SashoNikolov आप सही हैं कि

I को मेरे द्वारा बताए गए

गणना करने

आवश्यकता नहीं है । यह किसी भी

गणना कर सकता है जिसकी रेंज

। इसलिए हम contruct को पता नहीं कैसे

कि computes

से

। मैं उस भ्रामक निर्माण को हटा दूंगा।

C^{'}

$C'$

F

$F$

F

$F$

L

$L$

C

$C$

f

$f$

C^{'}

$C'$

— दाई ले