वाक्य रचना वर्गों और नेरोड वर्गों की संख्या की तुलना में वृद्धि।

Question

एक भाषा के लिए एल ⊆ Σ ^ * , परिभाषित वाक्यात्मक अनुरूपता ≡ के एल पर कम से कम अनुरूपता के रूप में Σ ^ * कि संतृप्त एल , अर्थात्:

u) v ≡ (, x, y) [xuy ↔ L vy xvy] L]।

अब निम्नलिखित सही बधाई के रूप में नेरोड तुल्यता को परिभाषित करें :

u v ∼ (∀ x) [ux ↔ L x vx] L]।

चलो [u] की समतुल्यता वर्ग यू के संबंध में ≡ और <u> के संबंध में ~ । अब परिभाषित मैं (एन) अलग की संख्या होने के लिए [u] के लिए यू आकार की n , और परिभाषित j (एन) के लिए इसी तरह से ~ ।

अब सवाल यह है कि दोनों कार्य कैसे संबंधित हैं?

उदाहरण के लिए, एक मानक प्रमेय (क्लेने-श्टज़ेनबर्गर, मेरा मानना ​​है) कहता है कि i (n) एक निरंतरता से घिरा होता है जब भी j (n) , और पारस्परिक रूप से होता है।

प्रश्न: क्या इस प्रवृत्ति का कोई अन्य परिणाम है? क्या होगा अगर उनमें से एक बहुपद है, उदाहरण के लिए?

Comments

निश्चित रूप से i (n) हमेशा j (n) पर एक ऊपरी बाउंड होता है, इसलिए संभवतः आप केवल दूसरी दिशा में निहितार्थ के बारे में पूछ रहे हैं, उदाहरण के लिए: यदि j (n) एक बहुपद से ऊपर घिरा है, तो मुझे (n) होना चाहिए भी?

— जोशुआ ग्रूको

अच्छा, दूसरा रास्ता अभी भी समझ में आता है, नहीं? उदाहरण के लिए, मैं पूछ सकता हूं: यदि i (n) घातीय है, तो क्या कोई सरल मानदंड है जिससे मैं निष्कर्ष निकाल सकता हूं कि j (n) भी घातीय है?

— माइकल कैडिलैक

वास्तव में। मैं सिर्फ ऊपरी सीमा के संदर्भ में सोच रहा था, लेकिन निश्चित रूप से आप सही हैं।

— जोशुआ ग्रूको

Answer 1

ऐसा लगता है कि यह पेपर http://arxiv.org/abs/1010.3263 आपके प्रश्न के लिए प्रासंगिक हो सकता है।

सार बताता है:

एक नियमित भाषा की राज्य जटिलता भाषा को स्वीकार करने वाले न्यूनतम निर्धारक ऑटोमेटन में राज्यों की संख्या है। एक नियमित भाषा की वाक्य-रचना जटिलता उसके वाक्य-विन्यास के उपसमूह की कार्डिनैलिटी है। नियमित भाषाओं के एक उपवर्ग की वाक्यविन्यास जटिलता उस वर्ग की भाषाओं की राज्य जटिलता n के कार्य के रूप में ली गई सबसे खराब स्थिति वाली वाक्यगत जटिलता है । हम नियमित रूप से आदर्श भाषाओं और उनके पूरक, बंद भाषाओं के वर्ग की वाक्यात्मक जटिलता का अध्ययन करते हैं। हम यह साबित करते हैं कि n n - 1 सही आदर्शों और उपसर्ग-बंद भाषाओं की जटिलता पर एक ऊपरी ऊपरी सीमा है, और यह कि वाक्यविन्यास जटिलता n n - के बाएं आदर्श और प्रत्यय-बंद भाषा मौजूद हैं$n$$n^{n-1}$, और दो-तरफा आदर्श और वाक्य-रचना की जटिलता की कारक-बंद भाषाएँ n n - 2 +( n - 2 +1।$n^{n-1}+n-1$$n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$

इस प्रकार, जहाँ तक मैं समझता हूँ, यह आपके वाक्य-विन्यास और Myhill-Nerode semigroup के आकारों के बारे में आपके प्रश्न का उत्तर देता है: सामान्य रूप से, वाक्य-विन्यास अनुरूपता में Myhill-Nerode संबंध की तुलना में कई वर्ग हो सकते हैं।

आखिरी टिप्पणी। आमतौर पर नियमित भाषाओं के लिए दोनों सेग्रुप्स के अंतिम साक्षी को एम। राबिन और डी। एसकोट (परिमित ऑटोमेटा और उनके निर्णय की समस्याओं के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। आईबीएम पत्रिकाओं। अप्रैल 1959)। विशेष रूप से, यह राबिन और स्कॉट के पाठ से निम्नानुसार है कि वाक्यात्मक वर्गों की संख्या से अधिक नहीं है , जहां$n^n$ Myhill-Nerode कक्षाओं की संख्या है।$n$

Comments

क्या आप प्रासंगिकता समझाने के लिए अपने उत्तर का विस्तार कर सकते हैं?

— डेव क्लार्क

बस कागज के माध्यम से देखो!

— सेर्गेई

मुझे क्षमा करें, मैंने अमान्य लिंक डाला। वास्तव में मुझे उत्तर नहीं देने का इरादा था (कुछ अर्थों में यह उत्तर उस कागज में निहित है जिसका मैंने उल्लेख किया है) लेकिन एक टिप्पणी है, लेकिन दुर्भाग्य से मैं नहीं जानता कि यह तकनीकी रूप से कैसे किया जाए

— सर्गेई

वैसे, जैसा कि ऊपर सूचीबद्ध कागज से इसका अनुसरण किया जाता है, में Myhill-Nerode कक्षाओं की तुलना में तेजी से अधिक वाक्यात्मक कक्षाएं हो सकती हैं।

— सेर्गेई

यह अच्छा होगा यदि आप उस पेपर के परिणाम को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं जो इस प्रश्न के लिए प्रासंगिक है, और यह यहां एक आदर्श उत्तर में बदल जाएगा। कृपया :) हममें से कुछ (मुझे) लंबे समय से अनुत्तरित प्रश्न का उत्तर देखने के लिए बहुत दिलचस्पी है!

— Hsien-Chih चांग 張顯 '