के पतन को

बहुपद पदानुक्रम के प्रत्येक स्तर के बीच में निहित विभिन्न जटिलता वर्ग हैं, जिनमें , , , और । बेहतर शब्दावली की कमी के लिए, मैं इन और किसी भी अन्य को बहुपद पदानुक्रम में स्तरों और बीच मध्यवर्ती कक्षाओं के रूप में संदर्भित करूंगा । इस प्रश्न के प्रयोजनों के लिए, मान लें कि वे समाहित हैं, लेकिन और / या । हम शामिल से बचना चाहते हैं $\Delta_i^{\text{P}}$ $\text{DP}$ $\text{BH}_k$ $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ $i$ $i+1$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ , यदि संभव हो, तो यह तुच्छ रूप से बराबर है अगर यह ढह जाता है स्तर। $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

इसके अतिरिक्त, निम्न निर्धारित करें:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

उपरोक्त $\text{DP}$ ( भी लिखा जाता है) का सामान्यीकरण है $\text{D}^\text{P}$ । इस परिभाषा में, $\text{DP}$ बराबर है । यह एक और cstheory.se प्रश्न में माना जाता है । यह देखना आसान है कि और दोनों शामिल और । $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

संदर्भ आरेख:

PH का आरेख

प्रश्न:
मान लीजिए कि बहुपद hierachy स्तर तक गिर जाता है, लेकिन स्तर तक नहीं गिरता है। यही कारण है, और । ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

हम नीचे किसी भी स्तर में इन मध्यवर्ती खुद को कक्षाओं और अन्य लोगों के बीच संबंधों के बारे में अधिक कुछ भी कह सकते हैं ? क्या जटिलता वर्गों के संग्रह के लिए एक स्कीमा है जहां, हर संग्रह के लिए, कक्षाएं समान हैं यदि और केवल अगर एक मनमाने ढंग से चुने गए स्तर तक गिरता है? $i+1$ $\text{PH}$

बस एक अनुवर्ती के रूप में, मान लीजिए कि पदानुक्रम (जैसे इन मध्यवर्ती वर्गों में से किसी विशेष एक के लिए ढह )। चयनित वर्ग के आधार पर, क्या हम जानते हैं कि क्या इस पतन को नीचे की ओर विस्तारित करना जारी रखना चाहिए, शायद यहां तक कि स्तर तक? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

उपरोक्त प्रश्न का हेमासपंड्रा एट द्वारा एक पेपर में आंशिक रूप से पता लगाया गया था और इसका उत्तर दिया गया था। अल:
बहुपत्नी पदानुक्रम के भीतर एक नीचे की गिरावट
किसी को इस पेपर में उल्लिखित अतिरिक्त उदाहरणों के बारे में नहीं पता है या इसे पूरा करने के लिए एक वर्ग के लिए क्या होने की आवश्यकता है?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
स्रोत

मेरे पास एक अच्छा उत्तर नहीं है, लेकिन जटिलता की भावना में, मेरे पास कुछ उत्तर हैं जो बताते हैं कि एक अच्छा उत्तर मुश्किल हो सकता है :)।

नोट Ladner की प्रमेय का सामान्यीकरण संस्करण का तात्पर्य है कि असीम कई पाली समय सख्ती से बीच में डिग्री देखते हैं कि और सख्ती से यह ऊपर किसी भी पाली समय डिग्री। विशेष रूप से, पदानुक्रम यह संक्षिप्त हो अगर -ST स्तर नहीं बल्कि वें, तो असीम कई के बीच पी डिग्री और । $\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
अगर मुझे सही ढंग से याद है, तो एक ओरेकल का निर्माण करना जिसके लिए दिखता है जैसे अंकगणितीय पदानुक्रम अभी भी एक खुली समस्या है। द्वारा "अंकगणित पदानुक्रम की तरह दिखता है," मेरा मतलब है कि पतन नहीं होता है, और सभी के लिए । यह कम से कम सुझाव देता है कि आपके प्रश्न का उत्तर ज्ञात नहीं हो सकता है। $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
केर-मैं Ko देववाणी जिसमें उन्होंने के स्तर को अलग करती है देता के उन लोगों से । जैसा कि ये दोनों पदानुक्रम एक दूसरे को परस्पर जोड़ते हैं, इससे आपको के स्तरों के बीच समस्याओं के सापेक्ष पतन के बारे में कम से कम कुछ जानकारी मिलती है । $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
यह अगला संदर्भ गलत दिशा है, लेकिन आपको परिणाम और इसकी तकनीकों में भी रुचि हो सकती है। चांग और कडिन ने दिखाया कि यदि बूलियन पदानुक्रम (जो पूरी तरह से के दूसरे स्तर से नीचे रहता है , लेकिन को पूरी पदानुक्रम तक बढ़ाता है ) अपने -th स्तर तक गिर जाता है, तो , Boolean के -th स्तर तक ढह जाता है अधिक पदानुक्रम । $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$