टीसीएस में सबसे पुरानी खुली समस्या क्या है?

36

यह समस्या इस एमओ प्रश्न से प्रेरित है , जो मुझे लगा कि यह बहुत दिलचस्प है।

टीसीएस में सबसे पुरानी खुली समस्या क्या है?

स्पष्ट रूप से इस प्रश्न को कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

पहला, टीसीएस क्या है? मुझे लगता है कि विषम पूर्ण संख्याओं का अस्तित्व TCS नहीं है। मैं कहूंगा कि हिल्बर्ट की दसवीं समस्या TCS है। मुझे लगता है कि "क्या हम एक शासक और कम्पास के साथ एक्स का निर्माण कर सकते हैं" जैसी समस्याएं भी टीसीएस हैं, क्योंकि वे गणना के प्रतिबंधित मॉडल में एक एल्गोरिथ्म के लिए पूछ रहे हैं। TCS समस्या क्या है यह परिभाषित करने के लिए कोई कठोर तरीका नहीं हो सकता है, लेकिन अपने निर्णय का उपयोग करें। शायद एक परीक्षण "यदि यह हल हो जाता है, तो क्या यह सबसे अधिक संभावना STOC / FOCS में दिखाई देगा? क्या शोधकर्ता जिसने इसे हल किया है, वह संभवतः एक सैद्धांतिक कंप्यूटर वैज्ञानिक हो सकता है?"

दूसरा, "सबसे पुराना" क्या है? मेरा मतलब सबसे पुराना है। बताई गई तारीख को भी सत्यापित किया जाना चाहिए, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह बहुत कठिन होना चाहिए।

तीसरा, एक "खुली समस्या" क्या है? "ओपन प्रॉब्लम" से मेरा मतलब एक ऐसी समस्या से है जिसे खासतौर पर कुछ समय में ओपन माना जाता था। शायद यह खुली समस्याओं वाले खंड में एक पेपर के अंत में दिखाई दिया, या शायद इस बात का सबूत है कि कुछ लोगों ने इस पर काम किया और असफल रहे, या शायद साहित्य में गलत प्रमाण हैं, जो सुझाव देते हैं कि इसका अध्ययन किया गया है। कुछ ऐसा उदाहरण जो इस मानदंड को फिट नहीं करता है: "ग्रीक्स ने एक्स और वाई जेड वस्तुओं का अध्ययन किया है, यह स्पष्ट रूप से एक मध्यवर्ती वस्तु है, निश्चित रूप से वे सोच रहे थे कि क्या इसका निर्माण किया जा सकता है।" यदि उस समय अवधि से जेड पर कोई साहित्य नहीं है, तो यह उस समय की अवधि से एक खुली समस्या नहीं है।

चौथा, मुझे "समस्या" से क्या मतलब है? मेरा मतलब है कि एक विशिष्ट "हां / नहीं" प्रश्न, और कुछ ऐसा नहीं है "संपत्ति वाई के साथ सभी वस्तुओं को एक्साइज करें", क्योंकि ऐसे प्रश्नों का अक्सर संतोषजनक उत्तर नहीं होता है। अक्सर इस बात पर असहमति होगी कि क्या प्रश्न हल किया गया है। आइए ऐसे सवालों से रूबरू न हों। यदि यह हाँ नहीं है / कोई सवाल नहीं है, लेकिन यह स्पष्ट है कि यह वास्तव में खुला है, यह ठीक भी है। (यदि यह स्पष्ट नहीं है, तो "समस्या" से मेरा मतलब औपचारिक रूप से बताई गई समस्या है। कृपया 16 वीं शताब्दी में बीपीपी और पीएसपीएसी के बारे में एक प्रश्न के बारे में कुछ लोक कथाओं को जुए में न बदलें।)

अंत में, चूंकि यह एक बड़ी सूची वाला प्रश्न नहीं है, कृपया केवल एक उत्तर पोस्ट करें यदि आपको लगता है कि यह पहले से पोस्ट किए गए उत्तरों से अधिक पुराना है (या यदि आपको लगता है कि पोस्ट किए गए उत्तर कुछ अन्य स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं - जैसे कि वे टीसीएस नहीं हैं, या वे खुले नह) ं हैं। यह पुरानी खुली समस्याओं का अंधाधुंध संग्रह नहीं है।

soft-question open-problem ho.history-overview

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

13

"मांस पकाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?" गणना के एक कैम्प फायर मॉडल के तहत, भोजन तैयार करने के लिए सबसे अच्छा एल्गोरिथ्म क्या है? - प्रासंगिक हजारों साल पहले, अभी भी प्रासंगिक है! इसके अलावा समस्या पर साहित्य का एक बड़ा सौदा है! (क्षमा करें, मैं विरोध नहीं कर सकता

— ;;

3

क्या कोई भगवान है? अगर यह कंप्यूटर द्वारा हल किया जा सकता है तो एक TCS समस्या हो सकती है।

— सरील हर-पेलेड

9

@ डैनियल, 'केक काटने का सबसे अच्छा तरीका क्या है' एक वास्तविक TCS प्रश्न है !!!

— सुरेश वेंकट

3

#offtopic: यह देखकर अच्छा लगा कि सुपरकोल्डवे का अब एक नाम है :)

— सुरेश वेंकट

5

मुझे "ए हिस्ट्री ऑफ अल्गोरिद्म: फ्रॉम द पेबल टू द माइक्रोचिप" नाम की एक पुस्तक मिली ( amazon.com/dp/3540633693 )। यह (नए और पुराने) एल्गोरिदम पर एक सभ्य इतिहास खोजने में मददगार हो सकता है।

— बजे एमएस डौस्ती

38

पूर्णांक गुणन की कम्प्यूटेशनल जटिलता क्या है? तर्कपूर्ण रूप से, यह सवाल कम से कम 'द्वैध और मध्यस्थता' एल्गोरिथ्म के लिए है, जो कि रिहंद गणितीय पैपिरस में वर्णित पूर्णांक गुणन के लिए है, जिसे लगभग 1650 ईसा पूर्व लिखा गया था , लेकिन यह काफी पुराने दस्तावेज़ की एक प्रति होने का दावा करता है।

जाहिर है, रिहंद पेपरियस स्पष्ट रूप से एल्गोरिथ्म की जटिलता पर विचार नहीं करते थे। तो शायद एक बेहतर जवाब यह है कि रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने की जटिलता क्या है? रेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए कुशल एल्गोरिदम में अनुसंधान, कम से कम लियू हुई की टिप्पणी के लिए, 263 ईस्वी में प्रकाशित हुआ , द नाइन चैप्टर ऑन द मैथमेटिकल आर्ट । विशेष रूप से, लियू हुई ने गौसियन उन्मूलन के रूप में पहचाने जाने वाले दो रूपों की तुलना की, और अधिक कुशल विधि खोजने के स्पष्ट लक्ष्य के साथ, प्रत्येक द्वारा उपयोग किए जाने वाले अंकगणितीय संचालन की संख्या को गिना।

ये दोनों प्रश्न अभी भी सक्रिय अनुसंधान के लक्ष्य हैं।

— Jeffε
स्रोत

9

रॉबिन के विपरीत, मुझे नहीं लगता कि इस सवाल पर जोर देना वाजिब नहीं है क्योंकि इसे आधुनिक रूप में प्रस्तुत किया गया है। यह ऐतिहासिक प्रमाणों को कठोरता के समकालीन मानकों पर रखने जैसा है। उस मानक के अनुसार, स्वयंसिद्ध ज्यामिति क्लेन के साथ शुरू हुई, और यूक्लिड सिर्फ कुछ हाथ से लहराते ग्रीक दोस्त थे।

— जेफ

6

"कड़ाई के आधुनिक मानकों के अनुसार, यूक्लिड सिर्फ कुछ यूनानी ग्रीक दोस्त था": यही मेरी अगली .sig :) है

— सुरेश वेंकट

2

मुझे लगता है कि ऐसे उदाहरण ठीक हैं। मैं जो बचना चाहता था वह गणित के अतिप्रवाह पर हुआ है: इस बारे में एक तर्क था कि क्या यूनानियों ने कुछ समस्या को सिर्फ इसलिए माना क्योंकि उन्होंने अन्य संबंधित समस्या का अध्ययन किया था। दूसरी बात जो मैं टालना चाहता हूं वह दार्शनिक सवाल है जैसे "क्या ब्रह्मांड निर्धारक है" को P बनाम BPP समस्या में परिवर्तित किया जा रहा है। आपने एक विशिष्ट समस्या बताई है, जिसे एक समस्या के रूप में माना जाता है, जो लोगों ने इसे प्रस्तुत किया है, और यह पूरी तरह से स्वीकार्य है।

— रॉबिन कोठारी

यह प्रश्न आंशिक रूप से ऑनलाइन पूर्णांक गुणन के लिए हल किया गया है। arxiv.org/abs/1101.0768

— felix

23

फैक्टरिंग के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म की खोज कम से कम गॉस को डेट करना प्रतीत होता है। गाऊस डिसक्वाइमेंट्स अरिथमेटिका (1801) के अनुच्छेद 329 में निम्नलिखित उद्धरण ( स्रोत ) था:

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

बेशक, यह सच है कि गॉस ने औपचारिक रूप से फैक्टरिंग एल्गोरिदम से वांछित रूप से परिभाषित नहीं किया था। उन्होंने एक ही लेख में इस तथ्य के बारे में बात की थी कि उस समय ज्ञात सभी प्रायोगिक परीक्षण एल्गोरिदम बहुत "श्रमसाध्य और समर्थक" थे।

— अर्नाब
स्रोत

2

बहुत अच्छी बोली। यह बहुत अच्छा है कि गॉस कैसे स्पष्ट थे कि वर्तमान फैक्टरिंग एल्गोरिदम "श्रमसाध्य और प्रोलिक्स" थे!

— रॉबिन कोठारी

10

निम्नलिखित, से उद्धृत

Goldwasser, S. और Micali, S. 1982। संभाव्य एन्क्रिप्शन और सभी आंशिक जानकारी को गुप्त रखते हुए मानसिक पोकर कैसे खेलें। में कम्प्यूटिंग के सिद्धांत पर चौदहवीं वार्षिक एसीएम संगोष्ठी की कार्यवाही (- 07, 1982 सैन फ्रांसिस्को, कैलिफोर्निया, संयुक्त राज्य अमेरिका, मई 05)। STOC '82। एसीएम, न्यूयॉर्क, एनवाई, 365-377। DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

गॉस की अयोग्यताओं के बारे में एक और समस्या का संदर्भ देता है अंकगणित (1801)

यदि N का गुणनखंड ज्ञात नहीं है और , जहां जैकोबी प्रतीक को दर्शाता है, तो यह तय करने के लिए कोई ज्ञात प्रक्रिया नहीं है कि क्या q है? द्विघातीय अवशेष मॉड एन। यह निर्णय समस्या संख्या सिद्धांत में कठिन होने के लिए अच्छी तरह से जानी जाती है। यह गॉस द्वारा उनके "डिसकविज़न एरीथेमेटिका" (1801) में चर्चा की गई मुख्य चार एल्गोरिथम समस्याओं में से एक है । इसके लिए एक बहुपद समाधान नंबर थ्योरी में अन्य खुली समस्याओं के लिए एक बहुपद समाधान होगा, जैसे कि यह निर्णय लेना कि एक समग्र एन, जिसका कारक ज्ञात नहीं है, 2 या 3 primes का उत्पाद है; Adleman में 9 और 15 को खुली समस्याओं को देखें । $(\frac{q}{N})=1$ $(\frac{q}{N})$

पुनश्च: अब तक, हम चार एल्गोरिथम समस्याओं में से दो जानते हैं :

फैक्टरिंग (अर्नब द्वारा उल्लिखित);
द्विघात अवशिष्ट का निर्णय करना।

गॉस द्वारा वर्णित शेष दो समस्याएं क्या हैं?

— एमएस डौस्ती
स्रोत

9

हमारे देश के साहित्य में, एक कहावत है, जिसका मैं सचमुच अनुवाद करता हूं "हल होने पर पहेली आसान हो जाती है।" हालांकि एक अच्छा अनुवाद नहीं है, यह इस तथ्य को संदर्भित करता है कि जब आपके पास समाधान होता है, तो आप इसे आसानी से सत्यापित कर सकते हैं; उससे पहले, पहेली बहुत कठिन लगती है।

यह अब प्रसिद्ध "एफपी बनाम एफएनपी" समस्या को संदर्भित करता है: यदि एफएनपी = एफपी, पहेली के उत्तर का सत्यापन उतना ही आसान है जितना इसे खोजना। फिर भी अगर एफएनपी ≠ एफपी, तो "पहेलियां" मौजूद हैं जिनके लिए समाधान को सत्यापित करने की तुलना में एक समाधान खोजना बहुत कठिन है।

मेरा मानना है कि यह समस्या सबसे पुरानी टीसीएस की खुली समस्या है, फिर भी यह कठोर सूत्रीकरण लगभग 30 साल पहले की है!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

EDIT: "क्या हम पॉली-टाइम में संख्याओं को कारक कर सकते हैं" एक और TCS ओपन-प्रॉब्लम है, फिर भी मुझे लगता है कि यह ऊपर बताई गई समस्या से छोटी है।

वेब पर TCS की दो समस्याओं की सूची यहाँ दी गई है:

हमारे पास CSTheory पर भी इस तरह की एक सूची है।

— एमएस डौस्ती
स्रोत

1

जब से मैं इसे समस्याओं के कठोर योगों तक सीमित कर रहा हूं, मुझे लगता है कि फैक्टरिंग और एफपी = एफएनपी का प्रश्न केवल एक बार औपचारिक हो सकता है जब हमारे पास ट्यूरिंग मशीन, और बहुपद समय, आदि हैं

— रॉबिन कोठारी

@ रोबिन: आप पुराने, औपचारिक TCS खुली समस्याओं के लिए नहीं पूछ सकते हैं, अगर बुढ़ापे में कंप्यूटर भी नहीं थे! :)

— एमएस डौस्ती

1

@ सादिक: मुझे कोई आपत्ति नहीं अगर सबसे पुराना सवाल 1922 में पूछा गया सवाल हो। मैं सख्ती से कहे गए सवालों पर जोर देता हूं क्योंकि अन्यथा लोग 4000 साल पुराने ग्रंथों का दावा करेंगे कि ब्रह्मांड के बारे में कुछ वाक्य एक कम्प्यूटेशनल सवाल था। भेष में।

— रॉबिन कोठारी

यह समस्या किस वर्ष तैयार की गई थी?

— डेव क्लार्क

3

@Sadeq: सच है, लेकिन यह P बनाम NP प्रश्न नहीं है जब तक कि कोई व्यक्ति मॉडल को औपचारिक रूप से लागू नहीं करता है, आदि, मेरा मतलब है कि यह समान रूप से किसी अन्य प्रश्न का प्रतिनिधित्व कर सकता है (जैसे L बनाम NL, या P / पाली बनाम NP / पाली, या कुछ प्रश्न एक अलग क्षेत्र)। दूसरे, यह एक आम तौर पर आयोजित विश्वास है, न कि एक खुली समस्या माना जाता है। यह ऐसा कुछ नहीं है जिसे प्रमाण की आवश्यकता है, इसके मूल सूत्रीकरण में: यह जीवन के बारे में सिर्फ एक अवलोकन है।

— रॉबिन कोठारी

3

मैं आपके अपवर्जन नंबर थ्योरी पर सवाल उठाता हूं कि क्या TCS के हिस्से के रूप में कुछ संख्या के सिद्धांत सेट परिमित या अनंत हैं और निश्चित रूप से अन्यथा बहस करेंगे। ग्रीक्स ने सवाल किया कि क्या:

क्या कोई विषम संख्या हैं? [संभवतः यूक्लिड द्वारा माना जाता है]
क्या अनंत संख्या में जुड़वां प्राइम हैं?

$TM_x$ $TM_y$

तो यकीनन ये दो प्राचीन एल्गोरिथम समस्याएं हैं और ग्रीक्स ने मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत के रूप में जल्द से जल्द टीसीएस का बीड़ा उठाया है और शुरुआती संख्या सिद्धांत समस्याएँ तुरिंग समस्या के विशेष मामले हैं, और इसकी कठिनाई के लिए प्रारंभिक परिस्थितिजन्य साक्ष्य हैं। और साक्ष्यों और अविवेकी सिद्धांत के बारे में पूछने / खोजने / खोजने के बीच एक करीबी रिश्ता है।

यकीनन नए शोध में कोलजेट अनुमान को दर्शाया जा रहा है, जिसे एक बार एक संख्या सिद्धांत जिज्ञासा माना जाता है, इसमें कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के लिए गहरे झूठ होते हैं , और अनिर्णायक और निर्णायक समस्याओं के बीच सीमा पर सही झूठ हो सकता है। यह भी उदाहरण आप hilberts 10 वीं समस्या का हवाला देते हैं संख्या सिद्धांत और TCS के बीच एक बहुत ही मौलिक लिंक को दर्शाता है।

दो अन्य प्राचीन एल्गोरिथम प्रश्न:

क्या एक कुशल, या सबसे कुशल एल्गोरिथ्म gcd कंप्यूटिंग के लिए, सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है?
कंप्यूटिंग के लिए एक कुशल, या सबसे कुशल एल्गोरिथ्म क्या है?

सहमत दूसरा प्रश्न फैक्टरिंग से काफी निकटता से जुड़ा हुआ है, लेकिन यह बिल्कुल समान नहीं है। इसे एराटोस्थनीज़ की छलनी और यूक्लिड द्वारा माना गया था। बेशक यह हाल ही में AKS द्वारा पी में होना दिखाया गया था, लेकिन फिर भी एल्गोरिथ्म पूरी तरह से इष्टतम साबित नहीं हुआ है।

यूक्लिड जीसीडी एल्गोरिथ्म (यानी 20 वीं शताब्दी) में बहुत आधुनिक टीसीएस अनुसंधान है जिसने दिखाया कि रिट्रेसमेंट नंबर इसे सबसे खराब स्थिति देते हैं। [यकीन नहीं है कि 1 किसने दिखाया]

जब तक यूक्लिड एल्गोरिथ्म इष्टतम साबित नहीं हो जाता, तब तक निश्चित रूप से जीसीडी की कुशल गणना अभी भी खुली है।

— vzn
स्रोत

7

मैं आपके द्वारा कहे जाने वाले अधिकांश से असहमत हूं (तथ्य यह है कि आप सभी प्रकार की ट्यूरिंग मशीनों का निर्माण कर सकते हैं जो रुक जाते हैं यदि कुछ अनुमानित वस्तुएं मौजूद हैं, तो ये अस्तित्व समस्याओं को कम्प्यूटेशनल प्रश्न नहीं बनाते हैं)। लेकिन अंत में आपके पास एक अच्छा बिंदु है: निश्चित रूप से कुछ रेंज में प्राइम जेनरेट करना "प्राइम्स के लिए फॉर्मूला" खोजने के लिए पुरानी खोज का एक उचित आधुनिक संस्करण है। यदि आप इन पंक्तियों के साथ एक केंद्रित उत्तर लिखते हैं, तो मैं उत्थान करूंगा

— साशो निकोलेव

1

मैं उपरोक्त टिप्पणी से सहमत हूं: ट्यूरिंग मशीनों के लिए पॉइंकेयर अनुमान को एक समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है, लेकिन सीएस समुदाय से विशेष रूप से तकनीकों का उपयोग करके कोई प्रगति नहीं की गई है। इस तरह की संख्या सैद्धांतिक समस्याओं के लिए, कम्प्यूटेशनल रूप से प्रासंगिक हो सकती है क्योंकि वे हो सकते हैं।

— कोड़ी

2

यकीन नहीं होता कि यह जवाब कितना गंभीर है, लेकिन ...।

यह वास्तव में निर्भर करता है कि आप अपने प्रश्न को परिभाषित करने के लिए कितने व्यापक रूप से तैयार हैं।

निश्चित रूप से "क्या कोई एक बुद्धिमान मशीन का निर्माण कर सकता है?" CS का सबसे पुराना खुला प्रश्न है जिसने कंप्यूटर विज्ञान की शुरुआत की है, लेकिन शायद यह एक सहस्राब्दी या CS की तुलना में दो पुराना है। नहीं? (यह एक सिद्धांत का सवाल है, क्योंकि यह एक जवाब के लिए पूछता है - मशीन के लिए ही नहीं ...)

एक बुद्धिमान मशीन के लिए एक खोज के लिए एक प्राकृतिक संदर्भ Golem होगा ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golei#istory

— सरियल हर-पेलेड
स्रोत

0

मैं आपके सवाल का जवाब एक समय अवधि के लिए 100% निश्चितता के साथ दे सकता हूं। यदि हम भविष्य में किसी भी बिंदु पर हार्टमैनिस और स्टर्न्स के सेमिनल पेपर से अवधि पर विचार करते हैं, तो टीसीएस में सबसे पुरानी समस्या जो अभी भी खुली है:

निर्धारक टीएम के अनुकरण के लिए न्यूनतम ओवरहेड की क्या आवश्यकता है?

$T^{2}(n)$ $T(n)$ $\log T(n)$

$\log T(n)$

— chazisop
स्रोत

1

\log T (n)

$\log T(n)$

1

P

$\mathbb{P}$

N P

$\mathbb{NP}$

1

यह कुछ स्पष्टीकरण का उपयोग कर सकता है, उन लोगों के लाभ के लिए जो उन पत्रों को विस्तार से नहीं जानते हैं: किस प्रकार के टीएम का अनुकरण किया जा रहा है? अनुकरण किस प्रकार की मशीन कर रही है?

— फंकस्टार

मुझे विश्वास नहीं है कि एक स्पष्टीकरण आवश्यक है। यह कि पहले पेपर में जिस मॉडल का इस्तेमाल किया जा रहा है, वह मल्टीटैप टीएम एक सर्वविदित तथ्य है, क्योंकि इसमें टीसीएस की कुछ मुख्य परिभाषाएँ हैं, साथ ही यह स्पष्ट रूप से हेनी और स्टर्न्स पेपर के शीर्षक में उल्लिखित है।

— चेज़िसोप

1

खुले प्रश्न का आपका निरूपण अभी भी बहुत अस्पष्ट है, मेरी राय में। भले ही यह है अच्छी तरह से टीओसी समुदाय है, जो Hartmanis, Hennie और multitape टीएमएस के साथ स्टर्न्स काम करते हैं, कि केवल अपने जवाब टीसीएस के कई अन्य क्षेत्रों में उन लोगों के लिए बेकार बनाता में जाना जाता है। आपको प्रश्न में कम से कम क्वालीफायर "मल्टीटैप" जोड़ने पर विचार करना चाहिए। (और तब भी, आपको यह समस्या है कि हार्टमैनिस और स्टर्न्स के सिमुलेशन में 1-टेप टीएम का उपयोग किया जाता है, जबकि हेनी और स्टर्न्स के सिमुलेशन में 2-टेप टीएम का उपयोग किया जाता है।)

— फंकस्टार