आसान निर्णय समस्या, कठिन खोज समस्या

36

यह तय करना कि क्या नैश संतुलन मौजूद है, यह आसान है (यह हमेशा करता है); हालांकि, वास्तव में किसी को ढूंढना मुश्किल माना जाता है (यह पीपीएडी-पूर्ण है)।

समस्याओं के कुछ अन्य उदाहरण हैं जहां निर्णय संस्करण आसान है, लेकिन खोज संस्करण अपेक्षाकृत कठिन है (निर्णय संस्करण की तुलना में)?

मुझे उन समस्याओं में विशेष रूप से दिलचस्पी होगी जहां निर्णय संस्करण गैर-ट्रिटिंग (नैश संतुलन के साथ मामले के विपरीत) है।

cc.complexity-theory big-list

— ट्रैविस सर्विस
स्रोत

संभवत: सामुदायिक विकि होना चाहिए: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/225/…

— डेव क्लार्क

2

@ सुपरकॉल्डवेव: मैं इस मामले में सीडब्ल्यू के साथ जल्दी नहीं करूंगा। यह पता चल सकता है कि गैर-तुच्छ लेकिन आसान निर्णय संस्करण और कठिन खोज संस्करण के साथ बहुत कम प्राकृतिक समस्याएं हैं। यह जरूरी नहीं कि "बड़ी-सूची" हो।

— जुका सुओमेला

1

मैं उस बड़ी सूची के साथ चला गया = समुदाय विकि।

— डेव क्लार्क

5

तो यह सवाल उठाता है "खोज समस्या से जुड़ा होना स्वाभाविक निर्णय समस्या क्या है?"। मुझे लगता है कि NE का अस्तित्व NE के साथ स्वाभाविक निर्णय समस्या सहयोगी नहीं है।

— केवह

1

@Kaveh: आप नैश के लिए उस निर्णय समस्या को परिभाषित कर सकते हैं (यदि आप नैश के समाधान की एन्कोडिंग निर्दिष्ट करते हैं), लेकिन समस्या यह है कि यह नैश की समान जटिलता है या नहीं, या औपचारिक रूप से, चाहे वह निर्णय समस्या नैश के लिए फिर से हो। । मुझे संदेह है क्योंकि कुछ अतिरिक्त अवरोधों को संतुष्ट करने वाला नैश संतुलन खोजने में अक्सर एनपी-हार्ड होता है।

— १५:५४ पर त्सुयोशी इतो

37

पूर्णांक को देखते हुए, क्या इसमें एक गैर-तुच्छ कारक है? -> गैर-तुच्छ रूप से पी।

पूर्णांक को देखते हुए, एक गैर-तुच्छ कारक ढूंढें, अगर कोई एक है -> एफपी में नहीं जाना जाता है।

— slimton
स्रोत

या आप पूछ सकते हैं, क्या इसका एक प्रमुख कारक है? तो फिर तुम की जरूरत नहीं है अभाज्य पी में है कागज

— ब्योर्न जोस-Hanssen

28

यहां एक और उदाहरण दिया गया है: एक घन ग्राफ जी और एक हैमिल्टनियन चक्र एच को जी में देखते हुए, जी में एक अलग हैमिल्टनियन चक्र का पता लगाएं। ऐसा चक्र मौजूद है (स्मिथ प्रमेय द्वारा) लेकिन, जहां तक मुझे पता है, यह खुला है कि क्या यह हो सकता है बहुपद समय में गणना की।

— मारेक चोबक
स्रोत

20

यदि आप निम्नलिखित "लेवे" देते हैं जो आप नैश संतुलन के लिए करते हैं, तो:

पूर्णांक कारक, जहां निर्णय की समस्या है "क्या इस पूर्णांक का एक कारक है?" (तुच्छ रूप से, हाँ), और खोज समस्या इसका उत्पादन करना है

निर्णय की समस्या को परिभाषित करने के लिए एक ही प्रकार के उदार भत्ते के साथ कई जाली समस्याएँ यहाँ कल्पनीय रूप से फिट हो सकती हैं:

सबसे छोटी वेक्टर समस्या (एसवीपी) - अगर यह खोजने के लिए सबसे छोटा वेक्टर है तो तय करें
निकटतम वेक्टर समस्या (सीवीपी) - यह तय करें कि क्या कोई निकटतम वेक्टर बनाम इसे ढूंढ रहा है

बेशक, ये सभी मामले हैं जहां मैंने जो निर्णय संस्करण का उल्लेख किया है, वह बहुत दिलचस्प नहीं है (क्योंकि यह बहुत ही मामूली मामला है)। एक समस्या जो तुच्छ नहीं है :

Planar ग्राफ -colorability के लिए $k$ $k \ge 4$

प्लानेर ग्राफ 4-कलरबिलिटी की निर्णय समस्या पी। में है लेकिन लेक्सिकोग्राफ़िक रूप से पहला ऐसा समाधान प्राप्त करना एनपी-हार्ड ( खुल्लर / वज़ीरानी ) है।

ध्यान दें कि जिस संपत्ति में आप वास्तव में रुचि रखते हैं, वह स्व-रीड्यूसबिलिटी (या बल्कि, गैर-स्व-रिड्यूसबिलिटी) है। प्लानर ग्राफ रंग समस्या में, आवश्यक मुद्दा यह है कि -colorability के सामान्य मामले को स्वयं-कम करने की विधि एक ग्राफ में planarity को नष्ट कर देगी। $k$

— डैनियल एपोन
स्रोत

18

चलो , पर यादृच्छिक ग्राफ , जिसमें प्रत्येक किनारे संभावना के साथ स्वतंत्र रूप से मौजूद है । चुनें के कोने समान रूप से यादृच्छिक पर और उन दोनों के बीच सभी किनारों को जोड़ने; परिणामी ग्राफ कॉल करें । तब आकार का एक गुट है । $G=G(n,1/2)$ $1,\ldots,n$ $1/2$ $n^{1/3}$ $G$ $H$ $H$ $n^{1/3}$

खोज समस्या: कम से कम आकार का एक समूह खोजें । $10\log n$

— user1624
स्रोत

बहुत साफ़! क्या इस बारे में कोई प्रासंगिक कागज है?

— आंद्र सलाम

1

@ एंड्रस: थोड़ा और पृष्ठभूमि देने के लिए, इसे "छिपी हुई समस्या" कहा जाता है। यदि छिपी हुई गुच्छी को ओमेगा (sqrt (n log n)) वर्टिकल पर लगाया जाता है, तो कोई भी आसानी से देख सकता है कि क्लिच के कोने सबसे अधिक डिग्री वाले हैं, लगभग निश्चित रूप से। [Alon-Krivelevic-Sudakov] ( tau.ac.il/~nogaa/PDFS/clique3.pdf ) वर्णक्रमीय तकनीकों का उपयोग करके इसे ओमेगा (sqrt (n)) में सुधारते हैं । छोटे आकार के छिपे हुए समूहों के लिए, जैसे कि O (log n), कुछ भी गैर-तुच्छ नहीं जाना जाता है।

— अर्नब

एक अन्य संबंधित पेचीदा समस्या, जिसे कार्प द्वारा प्रस्तुत किया गया है, किसी भी निरंतर 0 <c <1 के लिए G (n, 1/2) में आकार (1 + c) लॉग (n) का एक गुच्छ खोजना है। यह ज्ञात है कि जी (एन, 1/2) में लगभग 2 आकार (एन) के एक निश्चित रूप से मौजूद है। ज्ञात केवल बहुपद समय एल्गोरिदम (जैसे लालची एक) आकार (1 + o (1)) लॉग (n) के गुच्छों का पता लगाता है।

— अर्नब

@ जर्नाब: फीगे और रॉन ने हाल ही में एकेएस परिणाम को सरल बनाया (मेरे प्रश्न cstheory.stackexchange.com/questions/1406/… पर संदर्भ देखें )। @ लॉजी के लिए मेरा प्रश्न वास्तव में

प्रश्न के बारे में था : जो विशेष स्थिरांक को प्रेरित करता है, और क्या यह प्रश्न एक पेपर में पूछा गया है?

10 \log n

$10\log n$

— आंद्र सलामॉन

15

एक और उदाहरण; सबसेट-रकम समानता: यह देखते हुए के साथ प्राकृतिक संख्या । कबूतर-छेद सिद्धांत में दो सबसेट के अस्तित्व की गारंटी देता है ऐसा है कि $a_1,a_2,a_3,...,,a_n$ $\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$ $I, J$ ${1,2,..., n}$ (के बाद से संभव रकम की तुलना में अधिक सबसेट हैं)। सेट और खोजने के लिए बहुपद समय एल्गोरिथ्म का अस्तित्वएक प्रसिद्ध खुली समस्या है। $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ $I$ $J$

सबसेट-सम समता (कबूतर संस्करण)

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी को प्रकट किया
स्रोत

13

एक और संख्या सिद्धांत उदाहरण, ऊपर वाले के समान। यह बर्ट्रेंड के अभिधारणा से ज्ञात होता है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक , और बीच एक प्रमुख है । लेकिन हमारे पास वर्तमान में इस तरह के एक प्रधान को खोजने के लिए कोई बहुपद समय एल्गोरिथ्म नहीं है, दिया गया है । (वांछित एल्गोरिथ्म पॉलीग्लॉग ( ) समय में चलना चाहिए ।) प्राइम नंबर प्रमेय के कारण बहुपद समय यादृच्छिक एल्गोरिदम के साथ आसानी से आ सकता है , और कोई उन्हें कुछ मानक संख्या सिद्धांतवाचक अनुमानों (जैसे Cramer के अनुमान) के आधार पर व्युत्पन्न कर सकता है $n$ $n$ $2n$ $n$ $n$ ), लेकिन बिना शर्त बहुपद समय नियतात्मक एल्गोरिथ्म ज्ञात है। संबंधित कार्य हाल ही में पॉलीमैथ 4 परियोजना में किया गया था ; परियोजना पर ताओ का ब्लॉग पोस्ट इसका एक अच्छा सारांश है।

— अर्नाब
स्रोत

1

बर्ट्रेंड के पोस्टऑउट के बिना भी, आपके पास प्राइम नंबर थ्योरीम और एकेएस प्रिमेलिटी टेस्ट के कारण अपेक्षित बहुपद रनटाइम के साथ एक नियतात्मक एल्गोरिथम है।

— जो फिट्जसिमोंस

@JoeFitzsimons, मुझे यकीन नहीं है कि आप "बहुपद रनटाइम के साथ नियतात्मक एल्गोरिथ्म" से क्या मतलब है।

— चन्द्रा चकुरी

@CraraChekuri, "निर्धारक" शायद यह कहने के लिए है कि इसे हमेशा सही उत्तर मिलता है।

— usul

@CraraChekuri: क्षमा करें, मेरी पसंद का शब्द खराब था। मेरा मतलब था कि आप केवल अनुमानित त्रुटि के साथ अपेक्षित बहुपद समय में पूर्ण निश्चितता के साथ एक प्रमुख संख्या पा सकते हैं। कम से कम, मुझे लगता है कि मेरा यही मतलब है। 3 साल पहले की बात है।

— जो फिट्जिमन्स

11

थोड़ा-विषय होने के जोखिम पर, मुझे एक सिद्धांत सी उत्तर का एक सरल और प्राकृतिक उदाहरण देना चाहिए: यूलरियन चक्र और वितरित एल्गोरिदम।

निर्णय समस्या पूरी तरह से तुच्छ नहीं है, इस अर्थ में कि यूलरियन और गैर-युलरियन रेखांकन दोनों हैं।

हालाँकि, एक तेज़ और सरल वितरित एल्गोरिथ्म है जो निर्णय की समस्या को हल करता है (इस अर्थ में कि हाँ-इंस्टेंस के लिए सभी नोड्स आउटपुट "1" और नो-इंस्टेंस के लिए कम से कम एक नोड आउटपुट "0"): प्रत्येक नोड बस जांचता है अपने स्वयं के डिग्री की समानता और उसके अनुसार 0 या 1 आउटपुट।

लेकिन यदि आप एक यूलरियन चक्र (इस अर्थ में कि प्रत्येक नोड अपने पड़ोस में चक्र की संरचना को आउटपुट करता है) खोजना चाहते हैं , तो हमें ग्राफ पर आवश्यक रूप से वैश्विक जानकारी की आवश्यकता है। यह उदाहरण की एक जोड़ी है कि पता चलता है कि इस समस्या की आवश्यकता है के साथ आने के लिए कठिन नहीं होना चाहिए संचार दौर; दूसरी ओर, राउंड किसी भी समस्या (अद्वितीय आईडी मानकर) को हल करने के लिए पर्याप्त है। $\Omega(n)$ $O(n)$

सारांश में: टाइम निर्णय समस्या, टाइम खोज समस्या है, और इस सबसे खराब संभव खाई है। $O(1)$ $\Theta(n)$

संपादित करें: यह स्पष्ट रूप से मानता है कि ग्राफ जुड़ा हुआ है (या, समकक्ष, कि हम प्रत्येक जुड़े घटक में एक यूलरियन चक्र को खोजना चाहते हैं)।

— जुक्का सुओमेला को दिखाया
स्रोत

यह एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न हो सकता है (क्योंकि मैं वितरित कंप्यूटिंग के बारे में लगभग कुछ भी नहीं जानता), लेकिन क्या कोई वादा है कि ग्राफ जुड़ा हुआ है, या क्या वितरित तरीके से कुशलता से जांच करने के लिए कनेक्टिविटी आसान है?

— त्सुओशी इतो

धन्यवाद, बेवकूफ सवाल बिल्कुल नहीं। मैंने अपना उत्तर स्पष्ट कर दिया, मैं इस धारणा को जोड़ना भूल गया था कि हम यहां से जुड़े ग्राफ़ से निपटते हैं। (आमतौर पर वितरित एल्गोरिदम के दृष्टिकोण से डिस्कनेक्ट किए गए ग्राफ़ का अध्ययन करने में कोई मतलब नहीं है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार जुड़े घटकों के बीच जानकारी संचारित करने का कोई तरीका नहीं है, लेकिन निश्चित रूप से यह स्पष्ट किया जाना चाहिए।)

— जुक्का सुकोला

धन्यवाद! आपके उत्तर को पढ़ने के बाद, मुझे लगता है कि यह स्पष्ट होना चाहिए था कि ग्राफ (= नेटवर्क टोपोलॉजी) को जुड़ा हुआ माना गया था। :)

— त्सुयोशी इतो

10

Tverberg विभाजन खोजना अज्ञात जटिलता का है:

$x_1,x_2,\dots, x_m$ $R^d$ $m \ge (r-1)(d+1)+1$ $S_1,S_2,\dots, S_r$ ${1,2,\dots,m}$ $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

नैश इक्विलिब्रिया के साथ की तरह, विभाजन को प्रमेय द्वारा गारंटी दी जाती है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि क्या एक पॉलीटाइम एल्गोरिथम मौजूद है।

गिल कलाई ने इस विषय पर एक अद्भुत श्रृंखला लिखी: वन , टू और थ्री ।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

2

दरअसल, TFNP में आने वाली कोई भी समस्या एक अच्छा उम्मीदवार होगा जो मुझे लगता है। जब एक प्रमेय द्वारा उत्तर देने की गारंटी दी जाती है - तो, इसके साथ संभावित समाधानों पर कुछ स्पष्ट-कठिन-से-पी खोज समस्या को परिभाषित करें।

— डैनियल एपोन

7

निर्णय समस्या के ऊपर के सभी उदाहरणों में P है और खोज समस्या P में नहीं है, लेकिन NP- हार्ड के रूप में ज्ञात नहीं है। मैं इंगित करना चाहता हूं कि एनपी-हार्ड खोज समस्या का होना संभव है जिसका निर्णय संस्करण आसान है।

$R_1,\ldots,R_k$ $\{0,1\}$

R_{i_{1}} (t_{11}, \dots, t_{1 r_{1}}) \land \dots \land R_{i_{m}} (t_{m 1}, \dots, t_{m r_{m}})

$R_{i_1}(t_{11},\ldots,t_{1r_1}) \wedge \cdots \wedge R_{i_m}(t_{m1},\ldots,t_{mr_m})$

t_{i j}

$t_{ij}$

0, 1

${0,1}$

r_{1}, \dots, r_{m}

$r_1,\ldots,r_m$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\ldots,R_k$

$R_1,\ldots,R_k$ $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ $k = 1$ )। एक बार जब संतुष्टि की समस्या बहुपद-समय में हल करने योग्य होती है, तो यह सवाल कि क्या वहाँ एक शाब्दिक रूप से न्यूनतम संतोषजनक कार्य मौजूद है, तुच्छ है।

कोरोलरी 13 और इसके बाद के संस्करण में उदाहरण देखें (कम से कम इस ऑन-लाइन संस्करण में)।

— slimton
स्रोत

6

$k$ $k$
खोज संस्करण एनपी -हार्ड है: पांच कोने के साथ प्रेरित पथ के बिना वर्णक्रम की संख्या का पता लगाना; इस कागज के कारण ।

— प्रकट किया
स्रोत

$k$

4

$e$ $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ $e$

$e$ $(g, h, g^a, h^b)$ $a = b$ $e (g, h^b) = e (h, g^a)$

ऐसे समूहों को "गैप समूहों" के लिए भी सामान्यीकृत किया जाता है।

— क्रिप्टोकैट
स्रोत

2

मुझे लगता है कि इस सूची से प्लेनर परफेक्ट मैचिंग छूट गई।

$\mathsf{NC}$
$\mathsf{NC}$

— Samid
स्रोत

2

चलो जटिलता को थोड़ा ऊपर उठाएं।

वेक्टर जोड़ प्रणाली (VAS) के बारे में कई निर्णय समस्याएं EXPSPACE- पूर्ण हैं, लेकिन बहुत बड़े गवाहों की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह तय करना कि क्या VAS की भाषा नियमित है , EXPSPACE -complete (उदाहरण के लिए Blockelet & Schmitz, 2011 ) है, लेकिन सबसे छोटा समतुल्य परिमित-राज्य ऑटोमेटन एकरमैनियन आकार ( Valk और Vidal-Naquet, 1981 ) हो सकता है। इस भारी अंतर के पीछे स्पष्टीकरण यह है कि गैर- अनियमितता के बहुत छोटे गवाह मौजूद हैं ।

— सिल्वेन
स्रोत