अंतर अनुक्रम के साथ क्रमचय के अस्तित्व के लिए कुशल एल्गोरिथ्म?

यह प्रश्न इस पोस्ट से प्रेरित है, क्या आप बहुपद समय में दो क्रमपरिवर्तन के योग की पहचान कर सकते हैं? , और क्रमपरिवर्तन के कम्प्यूटेशनल गुणों में मेरी रुचि।

एक मतभेद अनुक्रम क्रमपरिवर्तन की संख्या के क्रमचय में हर दो आसन्न संख्या के बीच अंतर का पता द्वारा बनाई है । दूसरे शब्दों में, के लिए $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\pi$ $1, 2, \ldots n+1$ $\pi$ $a_i= |\pi(i+1)-\pi(i)|$ $1 \le i \le n$

उदाहरण के लिए, अनुक्रम $1, 1, 3$ क्रमचय का अंतर अनुक्रम है $2 3 4 1$ । जबकि, क्रम $2, 2, 3$ और $3, 1, 2$ संख्या के किसी भी क्रमचय के अंतर अनुक्रम नहीं हैं $1, 2, 3, 4$ ।

क्या यह निर्धारित करने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है कि क्या किसी दिए गए अनुक्रम में कुछ क्रमपरिवर्तन लिए अंतर अनुक्रम है $\pi$ , या क्या यह NP- हार्ड है?

संपादित करें : यदि हम परिपत्र क्रमपरिवर्तन का उपयोग करके समस्या को तैयार करते हैं, तो हम कम्प्यूटेशनल रूप से समकक्ष समस्या प्राप्त करते हैं।

EDIT2 : MathOverflow पर पोस्ट किया गया क्रॉस, अपने अंतर क्रम से क्रमचय को कैसे पुन: निर्मित कर रहा है?

EDIT3 ने प्रूफ स्केच के लिए इनाम दिया और पूर्ण औपचारिक प्रमाण मिलने के बाद मैं इसका उत्तर दूंगा।

EDIT 4 : इलेक्ट्रॉनिक जर्नल ऑफ कॉम्बिनेटर में Marzio का अच्छा $NP$ -compleessess प्रूफ प्रकाशित किया गया है ।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

शायद एक और तुच्छ (लेकिन और अधिक ध्वनि?) टिप्पणी करता है, तो वह यह है कि का क्रमपरिवर्तन हैं तो समस्या की पुष्टि है कि अनुक्रम की लाइन का एक सुंदर लेबलिंग है (सभी मूल्यों अलग हैं) नोड्स जो बहुपद समय में विलेय है।

a_{i}

$a_i$

[1.. n]

$[1..n]$

n + 1

$n+1$

— मार्जियो डी बियासी

@MarzioDeBiasi यह लगता है कि आप क्रमचय समस्याओं के लिए मेरे जुनून को साझा करते हैं। मुझे आशा है कि मैं सबसे सरल कम्प्यूटेशनल रूप से दिलचस्प क्रमचय समस्या के साथ आया था :)

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

:-) ... मैं यह कहना चाहूंगा कि मेरी टिप्पणी सीधे उन घंटों से आती है, जो मैंने शालीन पेड़ लेबलिंग समस्या पर व्यर्थ में बिताए हैं ... लेकिन मैंने आपकी समस्या के लिए एक संभावित एनपी-पूर्ण कटौती का एक फजी विचार किया है; अगर मैं इसे औपचारिक रूप देने में सफल रहा तो मैं इसका उत्तर दूंगा।

— मार्जियो डी बियासी जूल

@MarzioDeBiasi मैंने शोर के इस दिलचस्प कमेंट को यह कहते हुए पाया कि आपकी समस्या, जॉब एक अड़चन समस्या के साथ शेड्यूल करना , मेरी समस्या के एक विशेष मामले के बराबर है। यहाँ शोर की टिप्पणी है: यदि , समस्या क्रमचय को खोजने के बराबर है ताकि

K = 2 N

$K=2N$

1...2 N

$1...2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a−1}−i_{2a}=A_i$

। यह मेरी समस्या का -completeness का एक और प्रमाण प्रदान करता है।

N P

$NP$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

यह साबित करने के लिए एक संभावित कमी का स्केच है कि यह एनपी-हार्ड है:

1) 1s (जैसे कि ) से बना (मैं उन्हें 1SEQ कहता हूं) क्रमपरिवर्तन में संख्या को बढ़ाने या घटाने की शक्ति को बल देता है; $a_i$ $...11111...$

2) यदि का मान 1SEQ में डाला जाता है, तो यह एक छेद (एक लापता संख्या) को बल देता है और 1SEQ की दिशा नहीं बदलता है । उदाहरण के लिए: दो छेदों को बल देता है: $2$ $1112112111$

 a_i seq.:     1 1 1  2  1 1  2   1  1  1  forces
 permutation: 1 2 3 4 _ 6 7 8 _ 10 11 12 13 (or its decreasing equivalent)
 (from 4 you cannot go back to 2,
 from 8 you cannot go back to 6)

छेद को बाकी क्रमपरिवर्तन में भरा जाना चाहिए ।

3) एक बड़े पर्याप्त 1SEQ का उपयोग करते हुए, कुछ छेदों के साथ 1SEQ द्वारा पीछा किया जाता है, इसके बाद एक और बड़े 1SEQ द्वारा आप एक मजबूर लाइन का निर्माण कर सकते हैं ;

4) कई मजबूर लाइनों को एक साथ रखकर आप एक क्रमचय ग्रिड ग्राफ बना सकते हैं जिसमें नोड्स अंतर्निहित मजबूर क्रमांकन में लापता संख्याओं के अनुरूप होते हैं।

उदाहरण के लिए अनुक्रम 111111111211111111111112111111111, निम्नलिखित 5x7 क्रमचय ग्रिड ग्राफ को बाध्य करता है:

29 30 31 32 33 34 35
22 23 24    26 27 28
15 16 17 18 19 20 21
 8  9 10    12 13 14   
 1  2  3  4  5  6  7

(या इसका सममित संस्करण)। ध्यान दें कि ग्रिड आकार की है, तो और एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में दो लापता संख्या तो कर रहे हैं । $w \times w$ $a,b$ $|a-b|=kw$

5) ग्रिड रेखांकन समस्या पर हैमिल्टनियन चक्र एनपी-पूर्ण है; इतना ग्रिड ग्राफ (छेद के साथ) दिया गया है तो आप बराबर क्रमचय ग्रिड ग्राफ बना सकते हैं; $G$

6) क्रमपरिवर्तन की अंतिम संख्या से आप एक छेद ( में एक नोड ) के अनुरूप संख्या पर "कूद" सकते हैं , और चाल के एक निश्चित अनुक्रम के साथ आप के ट्रैवर्सल को अनुकरण कर सकते हैं ; इसके लिए एक जटिल गैजेट की आवश्यकता होती है - "चयन गैजेट" - जिसे क्रमपरिवर्तन ग्रिड ग्राफ के दूसरे भाग में बनाया जाना चाहिए; $G$ $G$

7) आप सभी छेद भर सकते हैं (यानी क्रमपरिवर्तन पूरा करें) यदि और केवल मूल ग्रिड ग्राफ में हैमिलियन चक्र हो तो

EDIT: जुलाई, 27 2013

मैंने समस्या की एनपी पूर्णता को औपचारिक रूप से साबित करने की कोशिश की: मैंने एक नई समस्या ( क्रेजी फ्रॉग समस्या ) पेश की है जो एनपीसी है। अंतर समस्या से क्रमचय पुनर्निर्माण "अवरुद्ध कोशिकाओं के बिना 1-डी क्रेजी फ्रॉग समस्या" (जो एनपीसी भी है) के बराबर है।

कमी के विवरण के लिए cstheory पर मेरा प्रश्न / उत्तर "दो हैमिल्टनियन मार्ग संस्करण" देखें या प्रमाण का एक प्रारूप डाउनलोड करें "जब एक मेंढक एक क्रमपरिवर्तन से मिलता है" :)) (मैं अभी भी इसे जाँच / पूरा कर रहा हूं)

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

अच्छा, मुझे यकीन है कि इससे समाधान हो जाएगा, चयन गैजेट निश्चित रूप से साकार होगा।

— डोमटोटर

@domotorp: मैंने इसे पोस्ट किया (मैं अगले दिनों में चयन / सिंक भाग विवरण पोस्ट करूँगा); शायद इसमें एक त्रुटि है जो मुझे दिखाई नहीं देती है, लेकिन मैंने $ 1 को शर्त लगाई है कि पूरी कमी को बहुत सरल किया जा सकता है :-)

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi अच्छा दृश्य। ऐसा लगता है कि आप सही रास्ते पर हैं। क्या आप MathOverflow पर अपना जवाब पोस्ट कर सकते हैं क्योंकि समस्या में काफी रुचि है?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@MarzioDeBiasi बाउंटी समाप्त होने से पहले क्या आप अपना अंतिम उत्तर (औपचारिक) पोस्ट कर सकते हैं?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@ MohammadAl-Turkistany: मैं अभी एक यात्रा से लौटा हूं, अगले दिनों में गैजेट्स को औपचारिक रूप देने (और सीएसपी के साथ जांचने) की कोशिश करूंगा।

— मारजियो डी बियासी