क्या कोई त्रिभुज-मुक्त, तारा-कट-मुक्त, वृत्त ग्राफ, n किनारों से अधिक है?

Question

मैं अपनी पढ़ाई के लिए उन गुणों के साथ एक ग्राफ खोजने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन दुर्भाग्य से मैं ऐसा ग्राफ नहीं पा सकता हूं।

क्या किसी को पता है कि क्या वह ग्राफ है, या उसका अस्तित्व क्यों असंभव है?

Comments

क्या आप अपनी शब्दावली समझा सकते हैं? "स्टार-कटसेट-मुक्त" क्या है और "सर्कल ग्राफ" क्या है?

— युवल फिल्मस

ज़रूर। =) एक सर्कल ग्राफ एक ग्राफ (अप्रत्यक्ष) है, जिसके कोने वृत्त में जीवाओं के साथ जुड़े हो सकते हैं जैसे कि दो कोने सटे हुए हैं यदि संबंधित तार एक दूसरे को पार करते हैं। उदाहरण के लिए (विकिपीडिया से) एक छवि है: en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_graph.svg और हम कह सकते हैं कि एक ग्राफ में एक स्टार-कटसेट होता है जब आपके पास एक वर्टेक्स v होता है जो v और उसके पड़ोसियों को हटा रहा होता है (N [v]) ग्राफ से यह डिस्कनेक्ट हो जाता है।

— राफेल ओलिवेरा लोप्स

ISGCI में त्रिकोण-मुक्त और सर्कल ग्राफ की परिभाषाएं हैं । स्टार-कटसेट एक सबसेट है$S$ रेखांकन जो ग्राफ़ को अलग करता है, जैसे कि एक शीर्ष $S$ में हर दूसरे शीर्ष के निकट है $S$।

— जेफ

यह पेपर प्रासंगिक हो सकता है।

— जेफ

Answer 1

मान लीजिए $G$एक त्रिभुज-मुक्त तारा-कट-मुक्त वृत्त ग्राफ है। मैं वही दिखाऊंगा$G$ 2. डिग्री से अधिक कोई शीर्ष नहीं है। इसलिए, $G$ सबसे ज्यादा है $n$ किनारों।

एक सर्कल प्रतिनिधित्व पर विचार करें $C$ का $G$। जीवा का एक सेट समानांतर है यदि उनमें से कोई दो पार नहीं करते हैं लेकिन सभी जीवाओं को पार करने वाली एक रेखा है।

संपत्ति 1 :$C$ कोई 3 समानांतर chords है।

सबूत । मान लीजिए$C$3 समानांतर chords है। कंडेरा को शीर्ष$v$मध्य राग के अनुरूप। फिर,$N[v]$एक कटसेट है। इससे संपत्ति सिद्ध होती है।

विरोधाभास के लिए, मान लें $G$ एक शीर्ष है $v$ डिग्री कम से कम 3. फिर, कॉर्ड के अनुरूप $v$3 अन्य chords intersects। चूँकि ये 3 छड़ें एक रेखा को काटती हैं, इसलिए वे या तो समानांतर होती हैं या उनमें से दो अंतर करती हैं। संपत्ति 1 के कारण, उनमें से दो प्रतिच्छेद करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनके कोने एक त्रिकोण के साथ बनाते हैं$v$, जो विरोधाभासी है $G$ त्रिभुज रहित होना।

Comments

मुझे नहीं लगता कि प्रोपेलिटी 1 सच है। एक नियमित रूप से पक्षों के गठन पर विचार करें$n$-ऑगन, सर्कल के साथ थोड़ा बड़ा ताकि इसमें शामिल हो $n$-ऑगन लेकिन उन पक्षों के किसी भी अन्य क्रॉसिंग शामिल नहीं है।

— डेविड एपस्टीन

ठीक है, जैसा कि मैंने सोचा था कि यह काम करता है, और मेरे प्रमाण की तुलना में सरल है।

— डेविड एपपस्टीन

Answer 2

नहीं, ऐसा कोई ग्राफ मौजूद नहीं है। यह देखने के लिए कि क्यों नहीं, मान लें कि हमारे पास एक सर्कल ग्राफ है जिसे जीवा के त्रिकोण-मुक्त सेट द्वारा परिभाषित किया गया है। चलो$n$ वृत्त ग्राफ (या जीवा की संख्या) के कोने की संख्या हो, और $m$ग्राफ़ के किनारों की संख्या हो (दो जीवाओं के क्रॉसिंग)। फिर जीवा की संख्या पर एक आसान प्रेरण से पता चलता है कि जीवा की व्यवस्था ठीक है$m+n+1$चेहरे के। हालांकि, वहाँ सबसे अधिक हैं$2n$ सर्कल को छूने वाले चेहरे (कम अगर कुछ चेहरे सर्कल को एक से अधिक बार छूते हैं), इसलिए यदि $m>n$तब व्यवस्था के कम से कम दो आंतरिक चेहरे होने चाहिए। चलो$p$इस तरह के एक चेहरे से दूसरे चेहरे की व्यवस्था (एक चौकोर ) के दोहरे ग्राफ में सबसे छोटा रास्ता हो , और जाने दो$c$ के एक छोर के लिए किसी भी तार दोहरी हो $p$। फिर स्टार-कटसेट ने प्रेरित किया$c$ एक छोर पर चेहरे को बांधने वाली कुछ जीवाओं को अलग करता है $p$ कुछ छोरों से दूसरे छोर पर चेहरा बांधे।