जाँच कर रहा है कि क्या मैट्रिसेस के सेट के सभी उत्पाद अंततः शून्य के बराबर हैं

19

मैं निम्नलिखित समस्या में दिलचस्पी रखता हूं: पूर्णांक matrices यह तय कि क्या इन मैट्रिक्स का प्रत्येक अनंत उत्पाद अंततः शून्य मैट्रिक्स के बराबर है। $A_1,A_2, \ldots, A_k$

इसका मतलब है कि आप जैसा सोचते हैं वैसा ही करते हैं: हम कहेंगे matrices का सेट पास वह संपत्ति है जिसके सभी उत्पाद अंततः शून्य के बराबर हैं यदि कोई अनंत अनुक्रम मौजूद नहीं है , सभी में , जैसे कि सभी । $\{A_1, \ldots, A_k\}$ $i_1, i_2, i_3\ldots$ $\{1, \ldots, k\}$

A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{l}} \neq 0

$A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0$

l

$l$

क्या यह निर्णय लेने की समस्या है कि क्या हर उत्पाद अंततः शून्य के बराबर है, इससे पहले अध्ययन किया गया था? क्या यह निर्णायक है?

ऐसा लगता है कि यह मैट्रिक्स मृत्यु दर से संबंधित हो सकता है, जो कि अनिर्दिष्ट है, लेकिन मुझे स्पष्ट संबंध नहीं दिखता है।

linear-algebra decidability

— रॉबिन्सन
स्रोत

आपको यह सुनिश्चित करने के लिए कि अनंत उत्पाद परिभाषित है, मैट्रिसेस के सेट पर किसी प्रकार की अभिसरण संपत्ति की आवश्यकता है।

— एंड्रेस सलामोन

क्या आप एक सीमित क्षेत्र या पूर्ण विकास के साथ पूर्णांक में काम कर रहे हैं? = 1 मामला यह अपने आप में दिलचस्प है। 5x5 मैट्रिक्स में पूर्णांक -100 से 100 तक का उपयोग करते हुए, शून्य से पहले इसे प्राप्त करने के लिए आपको सबसे अधिक शक्ति क्या मिल सकती है?

k

$k$

— चाड ब्रेवबेकर

2

@YuvalFilmus - मेरा मानना है कि यह मृत्यु दर से अलग है। मेट्रिसेस के आयामों को , ताकि हमारे पास संख्याएँ हों, और मान लें कि । नाशवान? हां क्योंकि । हर उत्पाद समान शून्य? नहीं: उत्पाद । दूसरी ओर, यदि तो आपके पास एक अनुक्रम है जो दोनों नश्वर है और प्रत्येक उत्पाद शून्य है।

1

$1$

A_{0} = 0, A_{1} = 1

$A_0 = 0, A_1=1$

A_{0} = 0

$A_0 = 0$

1 \cdot 1 \cdot 1 \dots

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots$

A_{0} = 0, A_{1} = 0

$A_0=0,A_1=0$

— रॉबिन्सन

1

@ChadBrewbaker - मैं सोच रहा था कि मैट्रिसेस की प्रविष्टियाँ अभी पूर्णांक हैं। मुझे लगता है कि

देखने के दृष्टिकोण से दिलचस्प है: बस आपको कितने ऑपरेशनों की जाँच करने की आवश्यकता है कि मैट्रिक्स निस्पोटेंट है? ध्यान दें कि यदि

शून्यवाचक है, तो यह देखना आसान है कि

जहां

का आयाम है, संभवत: आप इसे मैट्रिक्स

बार स्क्वेर करके हल कर सकते हैं । मुझे नहीं पता कि यह सबसे अच्छा है जो आप कर सकते हैं।

k = 1

$k=1$

A

$A$

A^{n} = 0

$A^n = 0$

n

$n$

A

$A$

\log n

$\log n$

— रॉबिन्सन

1

दिलचस्प है, यह सिर्फ में: arxiv.org/abs/1306.0729 । यह पूछने के बजाय कि क्या सभी उत्पाद अंततः शून्य हैं, वे पूछते हैं कि क्या कुछ उत्पाद अंततः सकारात्मक हैं। वे दिखाते हैं कि समस्या एनपी-हार्ड है (या कम से कम जो मैं सार से इकट्ठा करता हूं)।

— जोशुआ ग्रूचो

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आपका सवाल यह है कि के बराबर है एक nilpotent बीजगणित उत्पन्न ~~, जो बारी में से प्रत्येक के बराबर है~~ ~~जा रहा nilpotent~~ । इसलिए न केवल यह डिसाइडेबल है, लेकिन में समय जहां आव्यूह गुणन के प्रतिपादक है। $A_1, \dotsc, A_k$ ~~$A_i$~~ $\tilde O(n^{2 \omega})$ $\omega$

चलो साहचर्य द्वारा उत्पन्न बीजगणित हो : यह है कि, के सभी रैखिक संयोजन लेने के और उसके सभी परिमित उत्पादों। को nilpotent कहा जाता है अगर कुछ ऐसा है जो के तत्वों का प्रत्येक उत्पाद शून्य है। $\mathcal{A}$ $A_i$ $A_i$ $\mathcal{A}$ $N$ $N$ $\mathcal{A}$

पहले, आइए देखें कि आपकी स्थिति यह क्यों कहती है कि शून्यपोषी है। यह कॉनिग के लेम्मा (कॉम्पैक्ट) से इस प्रकार है: लंबाई के हर स्ट्रिंग वर्णमाला से अधिक का एक उत्पाद से मेल खाती है लंबाई की एक स्पष्ट तरीके से। अनंत पर विचार -ary जड़ें पेड़, जिसका नोड पर तार के साथ द्विभाजित पत्राचार में स्वाभाविक रूप से कर रहे हैं । उप-पेड़ पर विचार करें $\mathcal{A}$ $n$ $\{1, \dotsc, k\}$ $A_1, \dotsc, A_k$ $n$ $k$ $\{1, \dotsc, k\}$ $T$ उन नोड्स जहां की इसी उत्पाद से मिलकर अशून्य है। कोनिग के लेम्मा का कहना है कि यदि अनंत है, तो इसका एक अनंत मार्ग है (बिल्कुल आपकी संपत्ति का उल्लंघन), इसलिए परिमित है। हम तब में किसी भी स्ट्रिंग की अधिकतम लंबाई होने के लिए ले सकते हैं । तो आपकी संपत्ति का मतलब है कि निस्पृह है। $A_i$ $T$ $T$ $N$ $T$ $\mathcal{A}$

बातचीत, यह भी सच है के बाद से के प्रत्येक तत्व के उत्पादों की एक रैखिक संयोजन है । $\mathcal{A}$ $A_i$

अगला, ध्यान दें कि , मेट्रिसेस का उप-बीजगणित है , और इसलिए परिमित-आयामी है। $\mathcal{A}$ $n \times n$

अंत में: विशेषता शून्य में एक परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित में nilpotent तत्वों का एक आधार होता है (कम्यूटिंग या नहीं - यह वह हिस्सा है जो Yuval के उत्तर का खंडन करता है) यदि यह nilpotent है (देखें, उदाहरण के लिए, यहाँ )।

इस प्रकार, अपनी समस्या को हल करने के लिए, द्वारा उत्पन्न साहचर्य बीजगणित (चौड़ाई-प्रथम खोज के रैखिक-बीजगणित संस्करण द्वारा) के लिए एक आधार ढूंढें और जांचें कि आधार में प्रत्येक मैट्रिक्स शून्य-सूचक है। ऊपरी बाध्य में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने से आता है चौड़ाई-पहले खोज में चर। के रूप में BFS नहीं पिछले बहुत लंबे, और क्योंकि ये हैं कर सकते हैं मैट्रिक्स जाँच करने के लिए अगर एक मैट्रिक्स nilpotent एक की जरूरत है केवल जाँच है कि $A_i$ $\tilde O(n^{2\omega})$ $n^2$ $\dim \mathcal{A} \leq n^2$ $n \times n$ $A$ । $A^n = 0$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

2

क्या आपको लगता है कि कोई विकल्प सिद्धांतों का उपयोग किए बिना इसे दिखाने का एक तरीका है (यहां तक कि कोनिग के लेम्मा के रूप में भी कमजोर है, जो

बराबर है )?

{AC}_{ω}

$\text{AC}_\omega$

— आंद्रे सलामोन

2

@ भारत: मैं कहूंगा कि क्रिस कोनिडिस के लिए एक सवाल है। उन्होंने उल्टे गणित में (कंप्यूटेबल) जैसे प्रश्नों का अध्ययन किया है। मैं उससे पूछूंगा और उसे यहां बताऊंगा।

— जोशुआ ग्रोको

1

@robinson: 1) हां, समस्या विकट है, वास्तव में

समय में जहां

मैट्रिक्स गुणन का प्रतिपादक है। यह रैखिक बीजीय चौड़ाई-पहले खोज को करते समय

पर रैखिक समीकरणों के समाधान प्रणालियों से आता है । 2) हां,

(या

या

) पर वैक्टर के रूप में मेट्रिसेस को देखते समय आधार की सामान्य धारणा ।

O (n^{2 ω})

$O(n^{2\omega})$

ω

$\omega$

Q

$\mathbb{Q}$

Q^{n^{2}}

$\mathbb{Q}^{n^2}$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— जोशुआ ग्रोचो

1

आप

आधार

से शुरू करते हैं । अब आप पता लगाने की कोशिश मैट्रिक्स

और

ऐसी है कि

या

की अवधि में नहीं है

। यदि आप सफल होते हैं, तो उत्पाद को

जोड़ें और जारी रखें। अन्यथा,

के मैट्रिक्स के किसी भी परिमित उत्पाद द्वारा

की अवधि में किसी भी मैट्रिक्स को गुणा करना हमेशा

की अवधि में समाप्त होता है । चूंकि बीजगणित के आयाम को बाध्य किया जाता है, प्रक्रिया समाप्त हो जाती है (अधिकांश

चरणों में)।

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

A \in A

$A \in \mathcal{A}$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

A B

$AB$

B A

$BA$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

B

$\mathcal{B}$

n^{2}

$n^2$

— युवल फिल्मस

1

@robinson: नहीं। यदि बीजगणित nilpotent है, तो बीजगणित का प्रत्येक तत्व nilpotent है। इसलिए यदि आपको कोई गैर-शून्य तत्व मिल जाता है तो बीजगणित शून्यपद नहीं है (और फिर आपके मेट्रिसेस के अनंत उत्पाद हैं जो कभी शून्य नहीं होते हैं)।

— जोशुआ ग्रोको

6

मुझे इस (बल्कि तुच्छ समस्या) समस्या के लिए एक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म मिला, अर्थात जाँच के लिए कि क्या संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या (JSR) शून्य है या नहीं, 1995 में: http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_spectre_radius

एल्गोरिथ्म के पीछे की कहानी लगभग इस प्रकार है: ब्लोंडेल और सिट्सिक्लिस ने गलत तरीके से कहा कि बूलियन मैट्रिस की जाँच के लिए कि क्या जेएसआर <1 एनपी-हार्ड है। पूर्णांक मैट्रिक्स के किसी भी सेट के लिए जेएसआर शून्य शून्य या उससे अधिक या बराबर है 1. इसलिए उनके बयान का काउंटर उदाहरण मेरा एल्गोरिथ्म था (उनके पेपर के लिए इरेटा देखें)। मुख्य नैतिक: पहले विकिपीडिया से परामर्श करें!

— लियोनिड गुरुविट्स
स्रोत

5

आप जो प्रश्न पूछ रहे हैं, वह यह तय करने के बराबर है कि क्या मैट्रिसेस के सेट का संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या (JSR) कड़ाई से एक से कम है। पिछले कुछ समय से इस सवाल की निर्णायकता बनी हुई है। (नियंत्रण सिद्धांत में, यह मनमाने ढंग से स्विच करने के तहत स्विच किए गए रैखिक प्रणालियों की स्थिरता की निर्णायकता के बराबर है।)

आपके प्रश्न के निम्नलिखित प्रकार को अनिर्दिष्ट माना जाता है: वर्ग मैट्रिसेस के सीमित सेट को देखते हुए, तय करें कि क्या सभी उत्पाद बंधे हुए हैं; यहाँ देखें ।

उपरोक्त की अनिर्वायता वैध है भले ही आपके पास आकार 47x47 के केवल 2 मैट्रिस हों: यहां देखें ।

JSR भाषा में, परीक्षण के सवाल "JSR है ?" अनिर्णायक है (ऊपर संदर्भ देखें), लेकिन परीक्षण की विश्वसनीयता "JSR ?" खुला हैं। उत्तरार्द्ध प्रश्न तथाकथित "तर्कसंगत परिमितता अनुमान" से संबंधित है: यदि तर्कसंगत परिमितता अनुमान सही है, तो आप जो सवाल पूछ रहे हैं वह निर्णायक है। $\le 1$ $< 1$

अंत में, जब तक पी = एनपी, जेएसआर बहुपद समय ( इस पत्र में परिभाषित सटीक अर्थ में ) में अनुमानित नहीं है ।

परिणामस्वरूप, ऊपर दिए गए उत्तरों में से एक जो कि एक कुशल एल्गोरिदम का दावा करता है, गलत होना चाहिए।

सकारात्मक पक्ष पर, जेएसआर को सन्निकट करने के लिए कई एल्गोरिदम (जैसे सेमीफ़ाइनल प्रोग्रामिंग पर आधारित) हैं। विभिन्न एल्गोरिदम विभिन्न प्रदर्शन गारंटी के साथ आते हैं। निम्नलिखित देखें (अपने और मेरे सहयोगियों द्वारा बेशर्मी से - लेकिन इसमें संदर्भ भी देखें )।

कई विशेष मामलों में, आप जो सवाल पूछ रहे हैं, वह बहुपद समय है। उदाहरण के लिए, जब मैट्रिसेस सममित होते हैं, या रैंक एक होते हैं, या यदि वे हंगामा करते हैं।

अंत में, इस विषय पर एक महान पुस्तक निम्नलिखित है ।

— अमीर अली अहमदी
स्रोत

कृपया मेरे द्वारा पूछे गए प्रश्न का औपचारिक विवरण पढ़ें - यह तय करने के बराबर नहीं है कि जेएसआर सख्ती से एक से कम है या नहीं। तुम, शायद, सवाल के शीर्षक से गुमराह कर रहे हैं। संक्षेप में, मैं प्रत्येक उत्पाद के बारे में पूछ रहा हूँ शून्य के बराबर समय में , एक विषम अर्थ की बजाय।

— रॉबिन्सन

2

फिर आप जो सवाल पूछ रहे हैं, वह बहुत सरल है। निम्नलिखित समतुल्य हैं: (i) आपके द्वारा परिभाषित की गई स्थिति (ii) सभी परिमित उत्पाद शून्यपद हैं (iii) JSR = 0 (iv) लंबाई n के सभी उत्पाद शून्य हैं (n आयाम है, यह संख्या की संख्या से स्वतंत्र है) matrices k)। अंतिम स्थिति स्पष्ट रूप से निर्णायकता का अर्थ है, और यदि आप बहुपद समय में स्थिति की जांच कर सकते हैं। मेरी पोस्ट के अंत में जुंगर्स द्वारा पुस्तक की धारा 2.3.1 देखें। यह सोचने के लिए मेरी क्षमा याचना कि आपके पास असममित संस्करण है। (मैं "सभी उत्पादों को अंततः समान शून्य" वाक्यांश से गुमराह किया गया था।)

— अमीर अली अहमदी

किस मामले में, @AmirAliAhmadi जोशुआ ग्रोचो द्वारा इसका उत्तर नहीं दिया गया है?

— सुरेश वेंकट

2

यह मुझे लगता है कि यह मेरे मन में एक अलग एल्गोरिथ्म के साथ करता है। (फिर से, यह सोचकर मेरी क्षमा याचना कि यह सवाल था कि "क्या सभी उत्पाद शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं" (यानी, JSR <1?) जिनकी निर्णायक क्षमता खुली है।) जोशुआ के उत्तर के साथ कुछ मतभेद हैं। (1) मेरी पिछली टिप्पणी में (i) - (iv) के समकक्ष में, मुझे नहीं लगता कि कोनिग के लेम्मा का उपयोग करने की आवश्यकता है। (२) मुझे समझ में नहीं आता कि वह मैट्रिसेस का रैखिक संयोजन क्यों कर रहा है। (३) मैं जंगलों द्वारा पुस्तक की धारा २.३.१ से एक साधारण वैकल्पिक एल्गोरिथ्म की नकल करता हूं, जिसका श्रेय वहां लियोनिद गुरविट्स को जाता है।

— अमीर अली अहमदी

4

[ऊपर से जारी है ...] हम सभी को यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या लंबाई

सभी उत्पाद शून्य हैं, लेकिन

ऐसे मेट्रिसेस हैं। इससे बचने के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स को पुनरावृत्त रूप से परिभाषित करें:

। फिर, एक है

। इस मैट्रिक्स की गणना

द्वारा की जा सकती है

n

$n$

k^{n}

$k^n$

X_{0} = I, X_{j} = \sum_{i = 1}^{k} A_{i}^{T} X_{j - 1} A_{i}

$X_0=I,\ X_j=\sum_{i=1}^k A_i^TX_{j-1}A_i$

X_{n} = \sum_{A product of length n} A^{T} A

$X_n=\sum_{A\mbox{ product of length n}}A^TA$

k n

$kn$ मैट्रिक्स गुणन, और शून्य है यदि और केवल यदि लंबाई

सभी उत्पाद शून्य हैं।

n

$n$

— अमीर अली अहमदी

0

संपादित करें: यह उत्तर दुर्भाग्य से गलत है। त्रुटि को नीचे हाइलाइट किया गया है। तर्क काम करता है अगर हमें मेट्रिसेस को स्थानांतरित करने की अनुमति दी जाती है।

हम एक लेम्मा साबित करके शुरू करते हैं।

लेम्मा। चलो एक हो मैट्रिक्स और जाने हो माध्यमिक विकर्ण पर लोगों के साथ मैट्रिक्स। यदि और सभी के लिए nilpotent हैं तो । सही निष्कर्ष: विकर्ण पर जीरो के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है। (यदि हम के स्थानांतरण की शक्तियों से गुणा करने की अनुमति है, तो मूल निष्कर्ष बरामद किया गया है ।) $A$ $n\times n$ $N$ $n\times n$ $AN^t$ $N^tA$ $t \geq 0$ $A = 0$ $A$ $N$

प्रमाण। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि , और लिखें $n = 3$ हम : गणना करके शुरू करते हैं यह मैट्रिक्स त्रिकोणीय रूप में है, और इसलिए यदि nilpotent है तो । : साथ जारी रखें

A = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}), N = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

A N^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{matrix}) .

$AN^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

g = 0

$g = 0$

A N^{1}

$AN^1$

फिर से मैट्रिक्स त्रिकोणीय रूप में होता है, और इसलिए यदि

तो

। जारी,

पहले की तरह, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

A N^{1} = (\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{matrix}) .

$AN^1 = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix}.$

A N^{1}

$AN^1$

d = h = 0

$d = h = 0$

A N^{0} = (\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{matrix}) .

$AN^0 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}.$

, और इसलिए

विकर्ण पर जीरो के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है।

a = e = i = 0

$a = e = i = 0$

A

$A$

यदि हम अब इसके बजाय करते हैं, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि विकर्ण पर शून्य के साथ कम त्रिकोणीय है। वास्तव में, हमें विचार करने से कुछ नया नहीं मिलता है । इसलिए । $N^2A,N^1A,N^0A$ $A$ $N^tA$ $A = 0$ $\square$

$A_1,\ldots,A_k$ $i_1,\ldots \in [k]$ $A_{i_1} \cdots A_{i_m} = 0$ $m$ $A_i$ $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ . Change basis so that $A_1$ is in Jordan normal form, and let the corresponding decomposition of the vector space be $V_1 \oplus \cdots \oplus V_t$ . Let $V_i$ be a vector space on which $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ ; note that $\dim V_i > 1$ since $0$ commutes with everything. Restricted to $V_i$ , $A_1 = N$ and $A_2 \neq 0$ . Therefore the lemma implies that for some $t \geq 0$ , either $A_2 A_1^t$ or $A_1^t A_2$ is not nilpotent, and therefore property P clearly fails.

Summarizing, property P holds iff all matrices are nilpotent and all of them commute.

— Yuval Filmus
स्रोत

4

The last sentence of your lemma's proof is not correct.

N^{2} A

$N^2 A$ nilpotent implies

g = 0

$g = 0$ ,

N^{1} A

$N^1 A$ nilpotent gives

d = h = 0

$d = h = 0$ , and

N^{0} A

$N^0 A$ nilpotent gives

a = e = i = 0

$a=e=i=0$ . So we only conclude that

A

$A$ is upper triangular with zeros on the diagonal, not that

A

$A$ is diagonal (and hence zero).

— Joshua Grochow

Indeed , this answer is not correct. If no one else does, I'll post a counter example to both the lemma and the final assertion when I get home later today.

— robinson

5

As usual, it is when something is claimed but not proved that the proof fails. Oh well...

— Yuval Filmus

1

So the example I had in mind was:

A_{0} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), A_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ One can verify that every product of sufficient length of these two matrices is zero but they don't commute, and the second one is not zero.

— robinson