क्या एनपी-पूर्ण समस्याओं के भीतर बहुपत्नी की एक बहुत बड़ी छिपी हुई सबसे बड़ी समस्या हो सकती है?

Question

मान लीजिए पी! = एनपी।

हम जानते हैं कि हम किसी भी समय 3-SAT के आसान उदाहरण बना सकते हैं। हम यह भी उत्पन्न कर सकते हैं कि हम जो मानते हैं वह कठिन उदाहरण है (क्योंकि हमारे एल्गोरिदम उन्हें जल्दी से हल नहीं कर सकते हैं)। क्या सख्त उदाहरणों के सेट को मनमाने ढंग से छोटा होने से रोकने के लिए कुछ भी है, जब तक कि किसी भी दिए गए उदाहरण के आकार (n) के लिए केवल Poly (n) (या यहां तक ​​कि स्थिर) उदाहरण Poly (n) या छोटे हों?

किसी भी हार्ड 3-सैट उदाहरण के लिए, हमें एनपी-कम्प्लीटेंस रिडक्शन चक्र के माध्यम से लूपिंग के माध्यम से कम करने वाले सभी 3-सैट उदाहरणों के सेट को जोड़ना होगा, लेकिन मैं इस कठिन उदाहरणों की संख्या में बहुत ज्यादा बदलाव नहीं करता हूं ।

इस दुनिया में, हम एक एल्गोरिथ्म का निर्माण कर सकते हैं जो एक असाधारण कुछ को छोड़कर, बहुपत्नी सभी एनपी संपूर्ण समस्याओं को हल करता है।

संपादित करें: प्रश्न का एक नरम संस्करण: भले ही हमने पी! = एनपी दिखाया हो, हमें कैसे पता चल सकता है कि क्या आकार एन 3-एसएटी समस्याओं को उत्पन्न करने के लिए दी गई विधि वास्तव में कुछ अपेक्षित संभावना के साथ कठिन उत्पन्न हुई है? यदि पी = एनपी से अकेले जानने का कोई तरीका नहीं है, तो यह दिखाने के लिए क्या आवश्यक है कि हम एक कठिन एनपी-पूर्ण समस्या उत्पन्न कर सकते हैं?

Comments

हाँ। सबसे खराब स्थिति में एनपी-पूर्ण समस्याएं कठिन हैं। यह संभव है कि एनपी-पूर्ण समस्या के अधिकांश उदाहरण कुशलता से हल किए जा सकें। हालांकि, रसेल इम्पेग्लियाज़ो ने एक ऐसी दुनिया (पेसिलैंड) का प्रस्ताव रखा, जहां औसत-एनपी-पूर्ण समस्याएं मौजूद हैं, लेकिन एकतरफा कार्य मौजूद नहीं हैं। इस दुनिया में, हम ज्ञात समाधान के साथ एनपी-पूर्ण समस्या के कठिन उदाहरण उत्पन्न नहीं कर सकते हैं।

— मोहम्मद अल-तुर्कतानी

यदि प्रत्येक लंबाई के कठिन उदाहरणों का सेट बहुपद है तो एनपी पी / पॉली में समाहित है। इसे देखने के अन्य तरीके भी हैं, HeurP की खोज करें।

— केवह

यह प्रश्न आपके संपादन को संबोधित करने के लिए लगता है - हम (निर्धारित रूप से) SAT के कठिन उदाहरण उत्पन्न कर सकते हैं यदि और केवल यदि एकात्मक हो$\mathsf{NP} \neq$ एकल $\mathsf{P}$।

— usul

@ SarielHar-Peled विशेष रूप से, एनपी $\subseteq$पी / पॉली पीएच को दूसरे स्तर तक ढहता है, जो पी! = एनपी के अनुरूप है।

— सुरेश वेंकट

एनपी की सबसे खराब स्थिति और औसत-केस कठोरता को जोड़ने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है। हालांकि "हल्के" औसत-केस कठोरता को "मजबूत" औसत-केस कठोरता से कनेक्ट करने के तरीके हैं। मेरी थीसिस दोनों के लिए एक प्रारंभिक बिंदु है। ccs.neu.edu/home/viola/papers/thesis.pdf

— मनु

Answer 1

1) वास्तव में क्या मतलब था के आधार पर, केव के अवलोकन में निष्कर्ष से मजबूत किया जा सकता है $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ सेवा $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$, अनिवार्य रूप से महाने के प्रमेय का उपयोग करना। यही है, अगर एक एल्गोरिथ्म है जो सैट को हल करता है और समय में चलता है$\leq p(n)$ लंबाई के सभी उदाहरणों पर $n$ संभवतः को छोड़कर $q(n)$ ऐसे उदाहरण, कहाँ $p$ तथा $q$ दोनों बहुपत्नी हैं, तो वास्तव में $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$। देखें, उदाहरण के लिए मेयर और पीटरसन और उसमें संदर्भ, या शॉनिंग का मोनोग्राफ "जटिलता और संरचना" । तो अगर यह "कठिन उदाहरण" की आपकी धारणा को पकड़ता है तो इससे अधिक होना चाहिए$poly(n)$ प्रत्येक के लिए कई कठिन उदाहरण हैं $n$ग्रहण करना $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$।

FYI करें, ऐसे एल्गोरिदम को कभी-कभी "लगभग" बहुपद समय "के लिए" एप्ट "या" APT "एल्गोरिदम के रूप में संदर्भित किया जाता है (अधिक आधुनिक जटिलता वर्ग के साथ भ्रमित नहीं होने के लिए) $\mathsf{almostP}$, जो बराबर होता है $\mathsf{BPP}$)।

2) उपरोक्त को और भी मजबूत किया जा सकता है, निम्नानुसार। मान लीजिये$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$। फिर ऊपर कहा गया है कि किसी भी एल्गोरिथ्म के लिए SAT और किसी भी बहुपद को हल करना$p$, सुपर-बहुपद आकार का एक उदाहरण है, जिस पर एल्गोरिथ्म अधिक से अधिक लेता है $p(n)$समय। लेकिन सेट एल्गोरिथ्म पर निर्भर कर सकता है।

मजबूत परिणाम क्वांटिफ़ायर को स्विच करता है, और निष्कर्ष निकालता है: एक सुपर-बहुपद आकार का सेट एच ("कठिन" के लिए) है जैसे कि किसी भी एल्गोरिथ्म के लिए A हल करने वाला SAT और किसी भी बहुपद p, A से अधिक लेता है। $p(n)$एच। इस तरह के एच के सभी तत्वों को सूक्ष्मता से समय पर एक जटिलता कोर कहा जाता है (आकार धारणा जटिलता कोर की परिभाषा का हिस्सा नहीं है)। लिंच द्वारा जटिलता कोर की परिभाषा और अस्तित्व दिया गया था । परिणाम जो मैंने अभी उद्धृत किया है, वह Orponen और Schoning द्वारा सिद्ध किया गया है ।

Answer 2

किसी ने भी इम्पेग्लियाज़ो के प्रसिद्ध "फाइव वर्ल्ड्स" पेपर का उल्लेख नहीं किया है।

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

Comments

यह पहली ही टिप्पणी से संदर्भित था?

— आंद्र सलाम

Answer 3

इस सवाल पर एक और कोण (महान के प्रमेय के रेफरी के बाहर)। SAT में "ट्रांज़िशन पॉइंट" एक "क्रिटिकल पॉइंट" के आस-पास आसान बनाम हार्ड इंस्टेंस डिस्ट्रीब्यूशन की इस घटना का अध्ययन है जहाँ हार्ड इंस्टेंस की संभावना अधिकतम होती है। विषय पर साहित्य लंबा और जटिल है। इसमें अनुभवजन्य और विश्लेषणात्मक दोनों दृष्टिकोण हैं। इसका भौतिकी / ऊष्मा गतिकी से गहरा संबंध है। [३] दुर्भाग्य से वर्तमान में इस बहुत महत्वपूर्ण और मौलिक जटिलता सिद्धांत विषय पर कोई विकिपीडिया प्रविष्टि नहीं है। इसके अलावा, इस विषय पर कई समग्र या "मानक" सर्वेक्षण नहीं लगते हैं। यहाँ पर हाल ही में SAT [1] और TCS चरण संक्रमणों को सामान्य रूप से शुरू करने के लिए एक रेफरी है। [४] आपका प्रश्न भी "वास्तव में एक अच्छा जवाब होगा" मूल रूप से लगभग एक पी की श्रेणी में आता है$\stackrel{?}{=}$एनपी सबूत। "

क्या सख्त उदाहरणों के सेट को मनमाने ढंग से छोटा होने से रोकने के लिए कुछ भी है, जब तक कि किसी भी दिए गए उदाहरण के आकार (n) के लिए केवल Poly (n) (या यहां तक ​​कि स्थिर) उदाहरण Poly (n) या छोटे हों?

फिर से Mahaney की प्रमेय (थोड़ा अलग तरीके से प्रकाशित) इसका सीधा जवाब देती है। इसे देखने का एक और तरीका यह है कि कुछ महत्वपूर्ण / चारित्रिक तरीकों से उदाहरणों के वितरण को संकीर्ण करने का प्रयास एनपी-पूर्ण कार्यों की ओर जाता है। मोनोटोन सर्किट जटिलता से इसका एक उदाहरण "स्लाइस फ़ंक्शंस" है। [२]

[१] चरण परिवर्तन लिन जू, होल्गर एच। होस, केविन लेटन-ब्राउन में संतुष्टि की भविष्यवाणी करना

[२] पॉल ईएस ड्यून: सेंट्रल स्लाइस फ़ंक्शंस की जटिलता। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 44: 247-257 (1986)

[३] रैंडम सैटिसिबिलिटी प्रॉब्लम का विश्लेषणात्मक और एल्गोरिथम सॉल्यूशन एम। मेज़र्ड, जी। पैरसी, आर। जेचाइना

[४] एनपी-पूर्ण समस्याओं में चरण संक्रमण: मूर द्वारा संभाव्यता, संयोजन और कंप्यूटर विज्ञान के लिए एक चुनौती