अंतराल कवर की समस्या की जटिलता

Question

पर विचार करें निम्नलिखित समस्या $Q$ : हम एक पूर्णांक दिया जाता है , और कश्मीर के अंतराल [ एल मैं , r मैं ] के साथ 1 ≤ एल मैं ≤ r मैं ≤ 2 n । हम यह भी दिया जाता है 2 n पूर्णांक d 1 , ... , d 2 n ≥ 0 । कार्य एक न्यूनतम संख्या के अंतराल का चयन करना है [ l i , r i$n$$k$$[l_i,r_i]$$1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$$2n$$d_1,…,d_{2n}\geq 0$$[l_i,r_i]$ऐसा हर , कम से कम d i अंतराल जिसमें पूर्णांक मैं चुना जाता है।$i=1,…,2n$$d_i$$i$

यह देखना कठिन नहीं है कि बहुपद में को हल किया जा सकता है (नीचे देखें)।$Q$

अब विचार करें निम्नलिखित थोड़ा संशोधित समस्या $Q’$ : समस्या के इनपुट पहले की तरह ही है। हालाँकि, अब कार्य न्यूनतम अंतरालों का चयन करना है, जैसे कि प्रत्येक , कम से कम d 2 i - 1 अंतराल जिसमें पूर्णांक 2 i - 1 या कम से कम d 2 i अंतराल पूर्णांक हो। 2 मैं चुना जाता है ("या" हम सामान्य तार्किक या) के साथ।$i=1,…,n$$d_{2i-1}$$2i-1$$d_{2i}$$2i$

मेरा प्रश्न: Can बहुपद समय में हल किया जा?$Q’$

यहाँ कुशलता से को हल करने के दो तरीके हैं :$Q$

एक साधारण लालची एल्गोरिथ्म: बाएं-से-दाएं और चयन के रूप में ही कुछ अंतराल के रूप में "संतुष्ट" के लिए आवश्यक हैं संख्या के अंतराल के माध्यम से स्वीप । जब भी अलग-अलग अंतराल के बीच कोई विकल्प होता है, तो अधिकतम दाएं समापन बिंदु वाला एक चुनें।$d_i$

एक पूर्णांक कार्यक्रम: प्रत्येक अंतराल के लिए परिचय एक निर्णय चर x मैं ∈ { 0 , 1 } के साथ एक्स मैं = 1 iff अंतराल चुना गया है। उद्देश्य कम करने के लिए है एक्स 1 + ... + एक्स कश्मीर , बाधाओं के अधीन Σ जे : मैं ∈ [ एल जे , आर जे ] एक्स जे ≥ घ $[l_i,r_i]$$x_i\in\{0,1\}$$x_i=1$$x_1+…+x_k$$\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$। इस पूर्णांक कार्यक्रम की बाधा मैट्रिक्स में लगातार लोगों की संपत्ति होती है और इसलिए इस कार्यक्रम के रैखिक प्रोग्रामिंग छूट का पूर्णांक इष्टतम समाधान होता है।

किसी भी संकेत के लिए धन्यवाद, और संदर्भ के लिए भी!

Answer 1

क्यू के हर उदाहरण को मल्टीपल सेट कवर प्रॉब्लम के एक उदाहरण में बदला जा सकता है, जहाँ स्थान अंतराल हैं , जो लगातार मांग बिंदुओं के अनुक्रम (= पूर्णांक d i ) को कवर करता है ।$[l_i,r_i]$$d_i$

Comments

क्या आप मल्टीपल सेट कवर प्रॉब्लम (MSCP) की परिभाषा और उत्तर को कम करने के बारे में अधिक विवरण जोड़कर सुधार कर सकते हैं? विशेष रूप से, MSCP का एक उदाहरण (कम से कम "संस्करण" मुझे पता है) एक द्विदलीय ग्राफ और केवल V 1 एक असम्बद्ध सेट का संघ है; किस तरह से कमी V 1 से V 2 तक के किनारों को मैप करती है ? $G = (V_1,V_2,E)$$V_1$$V_1$$V_2$

— मार्जियो डी बियासी