परीक्षक की समस्या (एसएटी निर्णय उदाहरण / उत्तर की एक समान पीढ़ी)

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एक पाठ्यक्रम के शिक्षण सहायक एक कार्यक्रम लिखने में कामयाब रहे हैं जो (निर्धारक रूप से) कठिन परीक्षा प्रश्न उत्पन्न करता है। अब, वह एक प्रोग्राम लिखना चाहती है जो संबंधित उत्तर उत्पन्न करे। परीक्षक समस्या पूछता है कि क्या यह हमेशा संभव है; परीक्षक अनुमान कहा गया है कि,, यह मानते हुए , यह है नहीं $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ : समस्याओं के साथ आ उनके समाधान के साथ आ की तुलना में आसान है।

अधिक औपचारिक रूप से, एक नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन है, जो इनपुट , बहुपद समय में आकार बूलियन फार्मूले को उत्पन्न करता है । मुझे पता है कि अगर, ऐसे सभी के लिए करना चाहते हैं , वहाँ एक नियतात्मक बहुपद समय ट्यूरिंग मशीन मौजूद है है कि, पर इनपुट , आउटपुट " " यदि एक संतोषजनक काम और "है " अन्यथा । $M$ $1^n$ $n$ $M$ $M'$ $1^n$ $1$ $M(1^n)$ $0$

मान लिया जाये कि , इस सवाल का पहले से ही पूछा या उत्तर दिया गया है? यदि उत्तर नहीं दिया गया है, तो किस प्रकार की अतिरिक्त धारणाएँ ( उदाहरण के लिए) $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ एक तरफ़ा कार्य) हो सकती हैं? उपरोक्त में से किसी को छोड़कर, मेरा "अनुमान" यह है कि "उत्तर देने वाला" TM हमेशा मौजूद नहीं होता है, लेकिन आपका अंतर्ज्ञान क्या है?

धन्यवाद!

cc.complexity-theory uniformity

— usul
स्रोत

मुझे यह सुनिश्चित करने दें कि मेरे पास क्वांटिफायर सही है। आप पूछ रहे हैं कि "सभी के लिए

, वहाँ एक से मौजूद है

, ऐसी है कि

कुशलता से हल कर सकते हैं के उत्पादन में

" सही है?

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

M

$M$

— टायसन विलियम्स

@TysonWilliams: हाँ, मैंने उस स्पष्ट को बनाने की कोशिश करने के लिए शब्दांकन को थोड़ा संपादित किया है। आपका कथन होना चाहिए, मुझे लगता है, मेरे बराबर!

— usul

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जैसा कि एमानुएल बताते हैं कि यह वह नहीं है जिसे आप वास्तव में तलाश रहे हैं, आप शायद उदाहरण-समाधान जोड़े उत्पन्न करना चाहते हैं जहां उदाहरण को हल करना "कठिन" है। 1. दाऊद का जवाब: शायद आप के लिए क्या देख रहे से संबंधित यहाँ और 2. स्टीफन ए कुक और डेविड जी मिशेल, "की धारा 6 satisfiability समस्या का ढूँढना मुश्किल उदाहरण: एक सर्वेक्षण ", 1997

— कावेह

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आप जो सवाल पूछ रहे हैं, वह यूआरपी एनपी = यूनिरी पी के बराबर है, जो बदले में पैडिंग करके एनई = ई के बराबर है।

शीर्षक से, शायद आप यह पूछना चाहते हैं कि क्या इनपुट / आउटपुट जोड़े उत्पन्न करना संभव है, ताकि इनपुट पर वितरण "कठिन" हो। पी के बीच इस झूठ कहीं करने की संभावना एनपी और एक तरह से कार्यों मौजूद हैं। $\ne$

प्रतिबंधित कम्प्यूटेशनल मॉडल में, यह ज्ञात है कि यह संभव है। उदाहरण के लिए, कोई एसी या उससे नीचे की समता या बहुमत कार्यों के लिए इनपुट / आउटपुट जोड़े उत्पन्न कर सकता है । वितरण की जटिलता देखें । $^0$

— मनु
स्रोत

1

क्या आप बता सकते हैं कि यह बराबर क्यों है? ... "वर्दी", मेरा मतलब है "गणना की वर्दी मॉडल" से - अगर हम सर्किटों के लिए प्रश्न पूछा, जवाब तुच्छता से होगा हाँ : प्रत्येक

या तो एक या एक शून्य को हार्डकोड होता है, जो इस पर निर्भर

संतोषजनक है या नहीं।

M_{n}^{'}

$M'_n$

M_{n}

$M_n$

— usul

4

प्रत्येक

NP में एक टैली भाषा देता है:

। तो अगर एकल-एनपी एकल-पी के बराबर है, तो

मशीन है कि फैसला करता है

। दूसरी दिशा में, एनपी में कोई भी टैली लैंग्वेज लें और

को वह मशीन लें जो इसे SAT तक घटाती है। अगर

मौजूद है, तो मिलान भाषा भी पी में है, इसलिए एकल पी = एकल एनपी है। दूसरी तुल्यता के लिए आप हार्टमैनिस एट अल की जांच कर सकते हैं। (लेकिन एक दिशा बहुत आसान है) dl.acm.org/citation.cfm?id=808769

M

$M$

L_{M} = {1^{n} : M (1^{n}) is satisfiable.}

$L_M =\{1^n: M(1^n) \text{ is satisfiable.}\}$

M^{'}

$M'$

L_{M}

$L_M$

M

$M$

M^{'}

$M'$

— साशो निकोलेव

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प्रश्न: Let सूत्रों उत्पन्न करते हैं। क्या संबंधित करने के लिए ? $M\in \mathsf{PF}$ $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ हाँ:

से बहुपद समय में सूत्रों की पीढ़ी के बारे में धारणा का मतलब है कि सूत्र को सफलतापूर्वक दिया जा सकता है। आप समय में उनकी संतुष्टि तय करना चाहते हैं । $1^n$ $n^{O(1)}$

यह देखते हुए हम एक पा सकते हैं में बहुपद समय में । तब में संक्षेप कहा जा सकता है बिट्स के प्रयोग और । हम समय में यह तय करने के लिए में हमारे एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं। $\varphi = M(1^n)$ $n$ $|\varphi|$ $\varphi$ $\lg n+O(1)$ $M$ $n$ $succintSAT$ $\mathsf{E}$ । $2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

हाँ : $\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

चलो सेंट एक सर्किट दी में एकल , स्ट्रिंग संक्षेप द्वारा इनकोडिंग गणना करता है , और परिणाम देता है अगर यह एक सूत्र है और अन्यथा। $M \in \mathsf{PF}$ $C$ $M$ $C$ $\bot$

मान लें कि से संबंधित । हल करने के लिए हम एकल में दी गई संक्षिप्त सूत्र लिखना और फिर इसे हल करने के लिए हमारे इस धारणा का उपयोग करें। $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$ $\mathsf{P}$ $succinctSAT$

प्रश्न: क्या हम लिए बहुपद-काल-उदाहरण-समाधान युग्मों में उत्पन्न कर सकते हैं कि यह उदाहरण कठिन है? $SAT$

हमें स्पष्ट करना होगा कि उदाहरण से हमारा क्या अभिप्राय है, जैसा कि किसी भी उदाहरण से कठिन है (सैद्धांतिक रूप से) यह आसान है क्योंकि इसे या तो एल्गोरिथ्म द्वारा हल किया जा सकता है जो हमेशा हाँ कहता है या एल्गोरिथ्म जो हमेशा कहता है कि नहीं। मुझे ऐसा लगता है कि आपने एकरूपता लादकर इस मुद्दे को सुलझाने की कोशिश की। क्रिप्टोग्राफिक शब्दों में सोचें, कुछ जानकारी के बिना जो प्रतिकूल के लिए प्रकट नहीं होती है, बाकी गणना को छिपाने का कोई मतलब नहीं है क्योंकि प्रतिकूल प्रोटोकॉल को अनुकरण कर सकता है।

मान लें कि हमारे पास एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है जो उदाहरण-समाधान जोड़े उत्पन्न करता है। विरोधी एक ही एल्गोरिथ्म का उपयोग करता है, तो यह जानता है जवाब खोजने के लिए कर सकते हैं और खोजने सूत्र से मुश्किल नहीं है। अधिक उचित तरीका यह है कि इसको प्राप्त करने के लिए एक बेतरतीब ढंग से चुनी गई गुप्त कुंजी का उपयोग किया जाए और संभाव्यता होने के लिए कठोरता की स्थिति को आराम दिया जाए: कोई भी बहुपद-काल एल्गोरिथ्म उच्च संभावना (गुप्त कुंजी को जाने बिना) के साथ एक समाधान पा सकता है। $n$ $n$

वहाँ है एक कुशल (नियतात्मक) एल्गोरिथ्म ऐसी है कि एक अनियमित रूप से चुने दी , एक सैट उदाहरणों की एक जोड़ी उत्पन्न और उसके जवाब ऐसी है कि कोई कुशल (संभाव्य / असमान) विरोधी एल्गोरिथ्म गैर-नगण्य संभाव्यता के साथ द्वारा उत्पन्न SAT उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकता है ? $A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$ $w_k$
$D$
$A$

या अधिक औपचारिक रूप से,

वहाँ है ऐसा है कि सभी के लिए , ऐसी है कि सभी के लिए और $A\in \mathsf{PF}$ $D \in \mathsf{P/poly}$ $SAT(A(k)_1) = A(k)_2$ $k$
${पी आर}_{क \in {0, 1}^{n}} {डी (ए (क)_{1}) = एस ए टी (ए (क)_{1})} < \frac{1}{पी ओ एल y (n)}$ $\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$

यह देखने के लिए कि इस तरह के एक समारोह में वन-वे समारोह में बदल सकता है जैसे कि यह आसान था खोजने के लिए आसान है से तो हम कंप्यूटिंग द्वारा उत्तर मिल सकता है । $k$ $\varphi_k$ $A(k)_2$

दूसरी ओर, चलो एक तरह से कार्य करते हैं। हम को बहुपद-आकार के सर्किट के रूप में व्यक्त कर सकते हैं क्योंकि बहुपद-काल में संगणक है (और हम इसे सभी फाटकों के लिए नए चर का सूत्र बनाकर स्थानीय रूप से गणना की शुद्धता के लिए स्थिति को लागू कर सकते हैं। के रूप में Tsien के अनुवाद में)। के विचार करें पैरामीटर के रूप में और के रूप में जिसके परिणामस्वरूप सूत्र निरूपित । अगर कोई है हम पूछ सकते हैं जो संतुष्ट $f$ $f(x)=y$ $f$ $y$ $\varphi_{f,y}(x)$ $x$ $\varphi_{f,y}(x)$ । किसी भी बहुपद समय एल्गोरिथ्म इन सुलझाने गैर नगण्य संभावना के साथ उदाहरणों एक तरह से समारोह टूट जाएगा । हालांकि इस तथ्य यह है कि विरोधी एक गवाह न सिर्फ तथ्य सूत्र संतुष्टि योग्य है या नहीं है कि खोजने के लिए की जरूरत है का उपयोग करता है (लेकिन मुझे लगता है कि हम की कड़ी-बिट का उपयोग करके इस समस्या के समाधान प्राप्त कर सकते हैं )। $SAT$ $f$ $f$

प्रूफ कॉम्प्लेक्स जनरेटर पर 2011, जन क्राजिस्क की पुस्तक "रैंडम वेरिएबल्स के साथ जबरदस्ती" के अध्याय 29 और 30 भी देखें ।

— कावेह
स्रोत

उत्तर के लिए बहुत बहुत धन्यवाद, यह वास्तव में अच्छा है! मैं वास्तव में कठिन उदाहरणों के बारे में सब पर सोच मूल रूप से नहीं किया गया था, बस के बारे में एक नियतात्मक कि क्या

अस्तित्व के लिए गारंटी है। लेकिन मुझे लगता है कि इस औसत-मामले की कठोरता पर विचार करके हमें एक और अधिक दिलचस्प सवाल मिलता है और एक तरफ़ा कार्यों के साथ निर्माण वास्तव में अच्छा है। एक बार फिर धन्यवाद।

M^{'}

$M'$

— usul

परीक्षक की समस्या (एसएटी निर्णय उदाहरण / उत्तर की एक समान पीढ़ी)

प्रश्न: क्या हम लिए बहुपद-काल-उदाहरण-समाधान युग्मों में उत्पन्न कर सकते हैं कि यह उदाहरण कठिन है?एसए टीएसएटीSAT

प्रश्न: क्या हम लिए बहुपद-काल-उदाहरण-समाधान युग्मों में उत्पन्न कर सकते हैं कि यह उदाहरण कठिन है? $SAT$