सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में प्रमुख अनसुलझी समस्याएं?

Question

विकिपीडिया केवल "कंप्यूटर विज्ञान में अनसुलझी समस्याओं" के तहत दो समस्याओं को सूचीबद्ध करता है :

• पी = एनपी?
• एक तरफ़ा कार्यों का अस्तित्व

अन्य प्रमुख समस्याएं क्या हैं जिन्हें इस सूची में जोड़ा जाना चाहिए?

नियम:

1. प्रति उत्तर केवल एक समस्या
2. एक संक्षिप्त विवरण और किसी भी प्रासंगिक लिंक प्रदान करें

Comments

चूंकि आप एक सूची के लिए पूछ रहे हैं और कोई एकल उत्तर नहीं है, इसलिए यह एक समुदाय विकि के रूप में बेहतर रूप से चिह्नित किया जा सकता है।

— डेनियल अपॉन

प्रति उत्तर एक अनसुलझी समस्या, कृपया; तो हम आसानी से ऊपर / नीचे मतदान करके उत्तरों को रैंक कर सकते हैं!

— जुका सुओमेला

सिर्फ जटिलता क्यों? जटिलता से अधिक TCS है! टाइप थ्योरी में कोई खुली समस्या? प्रोग्रामिंग की भाषाएँ?

— जैक्स केयरटे

उन्हें जैक्स में जोड़ें :)।

— सुरेश वेंकट १k

मुझे लगता है कि हमें मूलभूत खुली समस्याओं के बीच अंतर करना चाहिए , जिन्हें मूलभूत समस्याओं के रूप में देखा जाता है, जैसे , और प्रमुख खुली समस्याएं जो एक तकनीकी सफलता का गठन करेंगी, अगर हल किया जाएगा, लेकिन जरूरी नहीं कि मौलिक, जैसे, पर घातीय कम सीमा सर्किट (यानी, गेट्स)। इसलिए हमें संभवतः "टीसीएस के फ्रंटियर्स में खुली समस्याओं" या इस तरह के एक नए समुदाय विकी को खोलना चाहिए। ए सी 0 ( 6 $P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

— Iddo Tzameret

Answer 1

के गुणन कर सकते हैं द्वारा मैट्रिक्स में किया जा संचालन?एन ओ ( एन 2$n$$n$$O(n^2)$

का सबसे अच्छा ऊपरी बाध्य ज्ञात प्रतिपादक भी एक विशेष प्रतीक, है । वर्तमान में Coppersmith-Winograd एल्गोरिथ्म द्वारा लगभग लगभग 2.376 है । आर्ट ऑफ़ द स्टेट का एक अच्छा अवलोकन है सारा रॉबिन्सन, टुवर्ड इन अ ऑप्टिमल अल्गोरिद्म फ़ॉर मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन , सियाम न्यूज़, 38 (9), 2005।$\omega$$\omega$

अपडेट: एंड्रयू Stothers (अपने 2010 में थीसिस ) है कि पता चला है है, जो (एक जुलाई 2014 के वर्जीनिया Vassilevska विलियम्स द्वारा सुधार किया गया था प्रीप्रिंट ) को । ये सीमाएं बुनियादी कोपरसमिथ-विनोग्राद तकनीक के सावधानीपूर्वक विश्लेषण द्वारा प्राप्त की गई थीं।ω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

आगे का अपडेट (30 जनवरी, 2014): फ्रांस्वा ले गैल ने ISSAC 2014 ( arXiv preprint ) में प्रकाशित एक पेपर में उस को साबित कर दिया है ।$\omega < 2.3728639$

Comments

या और बीच कुछ अन्य फ़ंक्शन के एक मामूली और यथार्थवादी लक्ष्य के बारे में कैसे ? आखिरकार यह उम्मीद की जाती है कि पूर्णांक गुणन में की निचली सीमा होती है । एन 2 + ε एन 2 ओ ( n लॉग इन करें n $O(n^2 \log n)$$n^{2+\epsilon}$$n^2$$O(n \log n)$

— मिच

मुझे यकीन नहीं है कि यहां तक ​​कि से को "मामूली और यथार्थवादी लक्ष्य" माना जाता है, अकेले चलो तो नीचे जा रहा है । लेकिन कुछ प्रगति देखने के लिए बहुत अच्छा होगा, इसलिए इसे एक शॉट दें! 2 + ε 2 + $2+0.376$$2+\epsilon$$2+\epsilon$

— आंद्र सलाम

मैट्रिक्स गुणन घातांक को सबसे छोटी वास्तविक संख्या रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि अंकगणित संचालन सभी लिए पर्याप्त है । संभवतः तरह एक कारक की उम्मीद की जानी चाहिए। हे ( एन ω + ε ) ε > 0 लॉग $\omega$$O(n^{\omega+\epsilon})$$\epsilon>0$$\log n$

— Zeyu

संपूर्णता के लिए केवल वर्तमान ज्ञान को देखते हुए कि सीडब्ल्यू बाउंड वर्जीनिया विलियम्स द्वारा कुछ दिनों पहले बेहतर था। और जैसा कि समुदाय के कई अन्य लोगों ने उल्लेख किया है, एंड्रयू स्ट्रीम्स ने वर्जीनिया के लगभग एक साल पहले अपनी बंधी हुई सीडब्ल्यू को प्राप्त कर लिया था। वर्तमान रिकॉर्ड$O(n^{2.373})$

— आकाश कुमार

मैं सिर्फ यह यहाँ दूँगी research.microsoft.com/en-us/um/people/kannan/papers/...

— रैवेन

Answer 2

क्या पी में ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म है?

ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म (जीआई) की जटिलता कई दशकों से एक खुला प्रश्न है। स्टीफन कुक ने सैट के एनपी-पूर्णता पर अपने 1971 के पेपर में इसका उल्लेख किया ।

यह निर्धारित करना कि क्या दो ग्राफ इस्मोर्फिक हैं आमतौर पर जल्दी से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए जैसे सॉफ्टवेयर nautyऔर saucy। दूसरी ओर, मियाज़ाकी ने ऐसे उदाहरणों के वर्गों का निर्माण किया जिनके लिए nautyनिश्चित रूप से घातीय समय की आवश्यकता होती है।

पढ़ें और कॉर्नील ने उस बिंदु तक जीआई की जटिलता से निपटने के कई प्रयासों की समीक्षा की: द ग्राफ आइसोमोर्फिज्म रोग , जर्नल ऑफ ग्राफ थ्योरी 1 , 339-363, 1977।

जीआई को सह-एनपी में होने के लिए नहीं जाना जाता है, लेकिन ग्राफ नॉन-इसोर्फिज्म (जीएनआई) के लिए एक सरल यादृच्छिक प्रोटोकॉल है। इसलिए जीआई (= सह-जीएनआई) इसलिए माना जाता है कि यह "एनपी " करीब है ।${}\cap{}$

दूसरी ओर, यदि जीआई एनपी-पूर्ण है, तो बहुपद पदानुक्रम का पतन होता है। इसलिए जीआई एनपी-पूर्ण होने की संभावना नहीं है। (बोपाना, हास्टैड, ज़ाचोस, सह-एनपी के पास लघु अंतःक्रियात्मक प्रमाण हैं? आईपीएल 25 , 127-132, 1987)

शिवा किंटाली ने अपने ब्लॉग पर जीआई की जटिलता की अच्छी चर्चा की है।

लास्ज़लो बाबाई ने साबित कर दिया कि ग्राफ आइसोमोर्फिज्म उपसर्गिक समय में है ।

Comments

कृपया इस प्रविष्टि पर भी एक नज़र डालें ।

— 20

मैंने जेनेरिक ब्रूट फोर्स ऑटोमोर्फिज्म डिटेक्शन के लिए एक सटीक निचली सीमा को क्रैंक किया। oeis.org/A186202 से बहुत कम हैलेकिन अभी भी घातीय है। होपिंग मैके इसे समानांतर हार्डवेयर पर चलने के लिए NAUTY के अपने नवीनतम अवतार के लिए शियर-सिम्स में जोड़ेगा। $n!$

— चाड ब्रूबैकर

बाबाई ने क्सिपोलिनोमियल रनटाइम के दावे को वापस ले लिया । स्पष्ट रूप से विश्लेषण में एक त्रुटि थी।

— राफेल

दावा बहाल किया गया: people.cs.uchicago.edu/~laci/update.html

— niting

Answer 3

फैक्टरिंग की जटिलता

क्या फैक्टरिंग इन ?$\mathsf{P}$

• पी में फैक्टरिंग के परिणाम?
• क्या समस्याएं PRIMES, FACTORING पी-हार्ड होने के लिए जानी जाती हैं?
• फैक्टरिंग के परिणाम एनपी-पूर्ण हो रहे हैं?
• P पूर्णांक फैक्टराइजेशन ओरेकल के साथ
• पूर्णांक कारक के लिए प्रमाण P में है ( MO पर )

Comments

आपके द्वारा ज्ञात कोई भी अच्छा प्रकाशन इसके अलावा फैक्टरिंग या प्रायोगिक परीक्षण जटिलता का वर्णन करता है जो कि जोड़ और गुणा के संरचना की दृष्टि से Z_n पर रूपांतरित होता है? उदाहरण के लिए [0,1,2] +0 | X1 परिवर्तन है, [1,2,0] +1 परिवर्तन है ...$Z_3$

— Chad Brewbaker

Answer 4

P = BPP?

Comments

इस जवाब को अब CW भी बनाया जाना चाहिए ...

— शेन

और संबंधित प्रश्न जैसे NP = MA = AM है?

— रॉबिन कोठारी 5

बारीकी से संबंधित प्रश्न देखें cstheory.stackexchange.com/questions/64/…

— András Salamon

Answer 5

क्या सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म के लिए एक निर्णायक नियम है जो सबसे खराब स्थिति वाले बहुपद चल रहे समय की पैदावार देता है? अधिक आम तौर पर, रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए कोई दृढ़ता से बहुपद एल्गोरिथ्म है?

Comments

मैं इस सवाल में जोड़ दूँगा: दृढ़ता से बहुपद एल.पी. के किसी भी वर्ग के किसी भी वर्ग पृथक्करण परिणामों को प्रदर्शित नहीं करेगा?

— आनंद कुलकर्णी

,,, और हिर्श अनुमान ...

— सरियल हर-पेलेड

2011 में, ओलिवर फ्रीडमैन ने कई धुरी नियमों के लिए घातीय कम सीमाएं दिखाईं (वह वास्तव में "अनिवार्य रूप से सभी प्राकृतिक" धुरी नियमों का दावा करता है, जिसमें रैंडम फेस और रैंडम एज शामिल हैं)। 2-खिलाड़ी समता खेलों से प्राप्त एक रेखीय कार्यक्रम को हल करते समय ये सीमाएं लागू होती हैं। फ्रीडमैन की थीसिस edoc.ub.uni-muenchen.de/13294 कुछ गहराई में इतिहास का सर्वेक्षण करती है (जिसमें हिर्श के विभिन्न रूप शामिल हैं, और फ्रांसिस्को सैंटोस द्वारा मजबूत रूप में 2010 का विरोध।)

— आंद्र सलाम

Answer 6

घातीय समय परिकल्पना (ETH) का दावा है कि सुलझाने सैट घातीय, 2 की आवश्यकता है ^{Ω (एन)} समय। ETH का तात्पर्य कई चीजों से है, उदाहरण के लिए कि SAT P में नहीं है, इसलिए ETH का अर्थ P। NP है। इम्पैग्लिआज़ो, पटुरी, ज़ेन को देखें, कौन सी समस्याएं मजबूत रूप से घातीय जटिलता हैं? , JCSS 63, 512-530, 2001।

ईटीएच व्यापक रूप से माना जाता है, लेकिन यह साबित करने में मुश्किल होने की संभावना है, क्योंकि यह कई अन्य जटिलता वर्ग अलगाव का अर्थ है।

Comments

गंभीरता से, मैं ईटीएच को इस समय एक बड़ी खुली समस्या नहीं कहूंगा क्योंकि यह पी and एनपी का अर्थ है और इस प्रकार कम से कम यह साबित करना मुश्किल है।

— होल्गर

नहीं? IMHO, आपके तर्क का अर्थ है कि ETH PvsNP की तुलना में एक बड़ी खुली समस्या है।

— जेफ

तुम क्यों समझा सकते हैं ETH संकेत नहीं करता है? $P \ne NP$

— एमिल

अगर , तो पी ≠ एन पी , लेकिन ETH गलत है। $NP = PTIME(n^{\log n})$$P\ne NP$

— जेफ

आह अच्छा। लेकिन आपका मतलब DTIME ( ) है? $n^{\log n}$

— एमिल

Answer 7

इमरमन और वर्डी बताते हैं कि निश्चित-बिंदु तर्क आदेशित संरचनाओं के वर्ग पर PTIME को पकड़ते हैं । वर्णनात्मक जटिलता सिद्धांत में सबसे बड़ी खुली समस्याओं में से एक यह है कि क्या आदेश पर निर्भरता को हटाया जा सकता है:

क्या कोई तर्क है जो PTIME को पकड़ता है?

सीधे शब्दों में कहें, एक तर्क कैप्चरिंग PTIME ग्राफ़ की समस्याओं के लिए एक प्रोग्रामिंग भाषा है जो सीधे ग्राफ़ संरचना पर काम करती है और इसमें कोने और किनारों की एन्कोडिंग तक पहुंच नहीं होती है, जैसे कि निम्नलिखित पकड़:

1. कोई भी वाक्यात्मक रूप से सही प्रोग्राम मॉडल एक बहुपद-काल कम्प्यूटेशनल ग्राफ समस्या और
2. किसी भी बहुपद-काल गणना योग्य ग्राफ समस्या को एक वाक्यात्मक रूप से सही प्रोग्राम द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

अगर कोई तर्क यह है कि PTIME कब्जा है, तो एन पी के बाद से अस्तित्व दूसरे क्रम तर्क द्वारा कब्जा कर लिया गया है। PTIME पर कब्जा करने वाला एक तर्क P बनाम NP को एक संभावित हमला प्रदान करेगा।$P \neq NP$

अनौपचारिक चर्चा के लिए लिप्टन का ब्लॉग देखें और एम। ग्रोह : द क्वेस्ट फॉर ए लॉजिक कैप्चरिंग PTIME (LICS 2008) अधिक तकनीकी सर्वेक्षण के लिए।

Comments

इमरमन-वर्डी एफओ (एलएफपी) को दर्शाता है <i> ऑर्डर किए गए </ i> संरचनाओं पर तर्क कैप्चर करता है, इसलिए यह मनमाने ढंग से परिमित मॉडल पर PTIME को कैप्चर करने के बारे में एक सवाल है, मैं इसे लेता हूं। अगर मैं आपको सही तरीके से समझता हूं, तो क्या यह प्रश्न यह पूछने का अनुवाद नहीं है कि क्या पी = एनपी है? यह आपके द्वारा लिंक किए जाने वाले सर्वेक्षण में खुली समस्याओं में से एक या अधिक पूछने के लिए इंगित किया जा सकता है। क्षमा याचना अगर मैं यहाँ जा रहा हूँ।

— हारून स्टर्लिंग

धन्यवाद, मैंने स्पष्टीकरण के लिए इमरमन-वर्डी का उल्लेख करने के लिए उत्तर संपादित किया। नहीं, यह खुली समस्या पी बनाम एनपी के समकक्ष होने के लिए ज्ञात नहीं है। सर्वेक्षण में खुली समस्याएं बड़ी खुली समस्या के विशेष मामले हैं और इस थ्रेड में उपयुक्त नहीं हैं। हो सकता है कि यह संदर्भ सहायक भी हो: rjlipton.wordpress.com/2010/04/05/…

— Holger

Answer 8

क्या अनोखा खेल अनुमान सही है?
और: यह देखते हुए कि अद्वितीय खेलों के लिए उप-घातीय समय सन्निकटन एल्गोरिदम हैं , जहां समस्या जटिल परिदृश्य के संदर्भ में अंततः आराम करती है?

Comments

क्या यह कहना अधिक सटीक नहीं होगा कि यदि यूजीसी सही नहीं है (यानी अद्वितीय खेल एनपी-हार्ड नहीं हैं, बस पी की तुलना में कठिन है), तो यूजीसी परिदृश्य में कहां फिट होगा?

— एन्द्रस सलामोन

उफ़। हां, मुझे इसे पुन: प्रस्तुत करना चाहिए। मेरा इरादा स्पष्ट विसंगति को उजागर करना था जो कि उप-घातीय (लेकिन काफी बहुपद) समय में गैर-तुच्छ सन्निकटन एल्गोरिदम वाले अनूठे खेलों के परिणामस्वरूप नहीं होता है। अधिक: यह क्या कहता है, अगर उप-घातीय रन समय अद्वितीय खेलों के लिए इष्टतम है?

— डैनियल एपॉन

पूर्वव्यापी में, मुझे लगा कि मुझे इस प्री-प्रिंट की ओर एक सूचक शामिल करना चाहिए । मेरी राय में, यह उतने ही बड़े विकास के साथ है जितना कि मैंने उत्तर में पेपर को जोड़ा है।

— डैनियल अपॉन

यह ध्यान देने योग्य है कि यूसीजी के कोई ज्ञात कठिन उदाहरण नहीं हैं। वर्तमान सर्वश्रेष्ठ दृष्टिकोण हर परीक्षित मामले में कुशलता से काम करता है। हम सिर्फ यह साबित नहीं कर सकते हैं कि हमें सबसे अधिक पैथोलॉजिकल उदाहरण मिले हैं।

— स्टेला बिडरमैन

Answer 9

स्थायी बनाम निर्धारक

स्थायी बनाम निर्धारक प्रश्न दो तथ्यों के कारण दिलचस्प है। सबसे पहले, एक मैट्रिक्स का स्थायी एक द्विदलीय ग्राफ में सही मिलान की संख्या को गिनता है। इसलिए ऐसे मैट्रिक्स का स्थायी रूप # P-Complete है। उसी समय, स्थायी की परिभाषा निर्धारक के बहुत करीब होती है, अंततः केवल एक सरल संकेत परिवर्तन के कारण अलग होती है। निर्धारक गणनाओं को अच्छी तरह से पी। में जाना जाता है। स्थायी और निर्धारक के बीच के अंतर का अध्ययन करना और पी बनाम # पी के बारे में स्थायी बात की गणना करने के लिए कितने निर्धारक गणनाओं की आवश्यकता होती है।

Comments

मेरे लिए यह एक "प्रमुख खुली समस्या" के रूप में योग्य नहीं है, क्योंकि वास्तविक जटिलता सिद्धांत संबंधी प्रश्न (क्या उनके पास अलग-अलग जटिलताएं हैं) P = NP (क्योंकि #P NP का एक सुपरसेट है) द्वारा निर्धारित किया गया है और उस प्रश्न के साथ अलग सेट यहाँ कोई ठोस समस्या नहीं है।

— डेविड एप्पस्टीन

मैं वास्तव में इससे सहमत हूं।

— रॉस स्नाइडर

@DavidEppstein: प्रति v। Det, GapP v GapL के करीब है, NP v NL का एक गिनती एनालॉग है। यह संभव है कि और इसलिए जी एक पी पी ≠ जी एक पी एल । इसके अलावा, प्रति v det, P v NP की तुलना में बहुत पुराना है, अनिवार्य रूप से [Polya 1913] में वापस जा रहा है, जिसमें वह दिखाता है कि कोई मैट्रिक्स को उसके नियतांक (2x2 को छोड़कर) को बदलने के लिए संकेतों को चिपका नहीं सकता है। वैलेंट ने उन सवालों पर एक वेरिएंट पेश किया (जटिलता के आकार को n से बड़ा होने की अनुमति) जटिलता में इसके महत्व के कारण, लेकिन यहां तक ​​कि पूर्व-वैलेंटाइन कार्य प्रेरणा देते हैं "क्योंकि स्थायी गणना करने के लिए बहुत कठिन है ..." (जैसे गिब्सन 1971)$NL \neq P=NP$$GapP \neq GapL$

— जोशुआ ग्रोचो

0-1 मैट्रिक्स के स्थायी गणना के लिए अब कला एल्गोरिदम की स्थिति क्या है? यानी 1 के सबसेट से उत्पन्न होने वाले कानूनी क्रमिक विवाह की संख्या।

— चाड ब्रूबैकर

@ChadBrewbaker: मार्क जेरुम, एलिस्टेयर सिनक्लेयर, एरिक विगोडा, "ए-पॉलिनोमियल-टाइम अप्रूवल एल्गोरिथम द परमानेंट फॉर ए मेट्रिक्स विद नॉन-नेगेटिव एंट्रीज़", जर्नल ऑफ़ एसीएम 51/4 (2004), 671, citeseerx.ist। psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.141.116

— Zsbán Ambrus

Answer 10

क्या हम FFT की तुलना समय से बहुत कम कर सकते हैं?$O(n \log n)$

समान (बहुत) सामान्य नस में, कई शास्त्रीय समस्याओं या एल्गोरिदम के रन-टाइम में सुधार के कई प्रश्न हैं: उदाहरण के लिए, क्या सभी जोड़े-सबसे छोटे-पथ (APSP) को समय में हल किया जा सकता है ?$O(n^{3-\epsilon})$

संपादित करें: APSP समय में चलता है "जहां अतिरिक्त और reals की तुलना इकाई लागत कर रहे हैं (लेकिन अन्य सभी कार्यों के ठेठ लघुगणक लागत)":http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

Comments

एफएफटी पर एक दिलचस्प विकास: "* एक ओ (के लॉग एन) -टाइम एल्गोरिथ्म उस मामले के लिए जहां इनपुट सिग्नल में सबसे अधिक गैर शून्य शून्य फूरियर गुणांक है, और * एक ओ (के लॉग एन लॉग (एन / के)) सामान्य इनपुट संकेतों के लिए समय एल्गोरिथ्म। " स्रोत: arxiv.org/abs/1201.2501v1

— Shadok

Answer 11

टेढ़ा पेड़ों के लिए गतिशील optimality अनुमान।

या अधिक आम तौर पर: क्या कोई भी ऑनलाइन डायनेमिक बाइनरी सर्च ट्री O (1) -competitive है?

Comments

बहुत ज्यादा है।

— सुरेश वेंकट

अधिक हाल के जिपर के पेड़ भी हैं , जो ओ (एलजी एन) सबसे खराब-पहुंच वाले समय को दिए बिना ओ (एलजी एल एन) प्रतिस्पर्धी हैं।

— जप्‍पल

Answer 12

न्यूनतम फैले हुए पेड़ की समस्या के लिए एक रैखिक समय निर्धारक एल्गोरिथ्म ।

Answer 13

एनपी बनाम सह-एनपी

एनपी बनाम सह-एनपी प्रश्न दिलचस्प है क्योंकि एनपी NP सह-एनपी का मतलब पी ≠ एनपी है (जैसा कि पी पूरक के तहत बंद है)। यह "द्वंद्व" से भी संबंधित है: उदाहरणों को खोजने / सत्यापित करने और काउंटरटेमेंस को खोजने / सत्यापित करने के बीच अलगाव। वास्तव में, यह साबित करना कि एक प्रश्न एनपी और सह-एनपी दोनों में है, हमारा पहला अच्छा सबूत है कि एक समस्या जो पी के बाहर लगती है वह भी एनपी-पूर्ण नहीं है।

Comments

यह प्रपोजल प्रूफ जटिलता से भी संबंधित है। एक बहुपद प्रपोजल प्रूफ सिस्टम है iff , c o N P के बराबर है । $NP$$coNP$

— केवह

Answer 14

क्या ऐसी समस्याएं हैं जो समानांतर कंप्यूटर द्वारा कुशलता से हल नहीं की जा सकती हैं?

P- पूर्ण होने वाली समस्याओं को समांतर नहीं जाना जाता है। पी-पूर्ण समस्याओं में हॉर्न-सैट और रैखिक प्रोग्रामिंग शामिल हैं। लेकिन यह साबित करते हुए कि यह मामला है पी से समानांतर समस्याओं (जैसे NC या LOGCFL) की कुछ धारणा को अलग करने की आवश्यकता होगी।

कंप्यूटर प्रोसेसर डिजाइन प्रसंस्करण इकाइयों की संख्या में वृद्धि कर रहे हैं, इस उम्मीद में कि इससे बेहतर प्रदर्शन मिलेगा। यदि रैखिक प्रोग्रामिंग जैसे मौलिक एल्गोरिदम स्वाभाविक रूप से समानांतर नहीं हैं, तो महत्वपूर्ण परिणाम हैं।

Comments

मुझे पूरा यकीन है कि एलपी एल्गोरिदम, जैसा कि वे आज खड़े हैं, समानांतर नहीं हैं। मेरा मानना ​​है कि वे मुल्मुले के रैम-बिना-बिट-ऑपरेशन मॉडल में फिट होते हैं। में dx.doi.org/10.1137/S0097539794282930 लालकृष्ण Mulmuley। बिट ऑपरेशंस के बिना एक समानांतर मॉडल में कम सीमाएं। स्याम जे। Comput। 28 (4), 1460-1509 (1999) वह पता चलता है कि है कि मॉडल में, दिखा रहा है कि कई प्राकृतिक (आमतौर पर संख्यात्मक) के लिए एल्गोरिदम पी -Complete समस्याओं में चलाने योग्य नहीं हैं। यह बूलियन मामले में सवाल का जवाब नहीं देता है, लेकिन यह प्राकृतिक एल्गोरिदम के एक बड़े वर्ग के लिए इसका जवाब देता है। $P \neq NC$$P$

— जोशुआ ग्रूको

Answer 15

क्या सभी प्रपोजल टॉटोलॉजी में बहुपद-आकार के फ्रीज प्रमाण हैं?

संभवतः प्रूफ जटिलता की प्रमुख खुली समस्या : प्रपोजल प्रूफ़ पर सुपर-पोलिनोमियल साइज़ लोअर बाउंड्स (जिसे फ्रीज प्रूफ भी कहा जाता है) प्रदर्शित करता है।

अनौपचारिक रूप से, एक फ्रीज प्रूफ सिस्टम प्रोपोजल टॉटोलॉजी (एक बुनियादी लॉजिक कोर्स में सीखता है), स्वयंसिद्ध और कटौती नियमों को साबित करने के लिए सिर्फ एक मानक प्रोपोजल प्रूफ सिस्टम है, जहां प्रूफ-लाइनों को सूत्र के रूप में लिखा जाता है। आकार एक फ्रेज सबूत के प्रतीकों की संख्या इसे नीचे सबूत लिखने के लिए ले जाता है।

समस्या तब पूछती है कि क्या कोई परिवार $(F_n)_{n=1}^\infty$ जो प्रपोज़ल टॉटोलॉजिकल फ़ार्मुलों का है, जिसके लिए कोई बहुपद $p$ जैसे कि $F_n$ का न्यूनतम फ़्रीज प्रूफ साइज़ अधिकांश $p(|F_n|)$ , जिसके लिए | सभी $n=1,2,\ldots$ (जहाँ $|F_n|$ सूत्र $F_n$ के आकार को दर्शाता है )।

---

फ्रीज प्रूफ सिस्टम की औपचारिक परिभाषा

परिभाषा (फ्रेज नियम) एक फ्रेज नियम प्रोपोज़िशनल सूत्रों का क्रम है $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$ , के लिए $k \le 0$ , के रूप में लिखा $\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$ । मामले में$k = 0$, फ्रीज नियम को एकस्वयंसिद्ध योजनाकहा जाता है। एक सूत्र$F_0$कहा जाता हैशासन द्वारा प्राप्तसे$F_1,\ldots,F_k$यदि$F_0,\ldots,F_k$के सभी प्रतिस्थापन उदाहरण हैं$A_1,\ldots,A_k$, करने के लिए कुछ काम के लिए$\overline x$चर ( वह है, वहाँ सूत्र $B_1,\ldots,B_n$ ऐसा कि$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$ सभी$i=0,\ldots,k$ । फ्रेज नियम होना कहा जाता हैध्वनिजब भी एक काम ऊपरी ओर में सूत्रों को संतुष्ट करता है, तो $A_1,\ldots,A_k$ है, तो यह भी कम पक्ष में सूत्र को संतुष्ट करता है$A_0$ ।

परिभाषा (फ्रीज प्रूफ) फ्रीज नियमों के एक सेट को देखते हुए, एक फ्रीज प्रमाण ऐसे सूत्रों का एक क्रम है, जैसे कि प्रत्येक प्रूफ-लाइन या तो एक स्वयंसिद्ध है या पिछले प्रूफ-लाइनों से दिए गए फ्रीज नियमों में से एक द्वारा व्युत्पन्न किया गया था। यदि अनुक्रम सूत्र $A$ साथ समाप्त होता है , तो प्रमाण को $A$ प्रमाण कहा जाता है । आकार एक फ्रेज सबूत का सबूत में सभी सूत्रों की कुल आकार है।

सबूत प्रणाली होना कहा जाता है implicationally पूरा करता है, तो सूत्रों के सभी सेट के लिए $T$ , अगर $T$ शब्दार्थ निकलता है $F$ , तब वहाँ का प्रमाण है $F$ (संभवतः) से सूक्तियों का उपयोग कर $T$ । एक प्रूफ सिस्टम को ध्वनि कहा जाता है यदि यह केवल टॉटोलॉजी (जब उपर्युक्त $T$ में जैसे सहायक स्वयंसिद्धों का उपयोग नहीं कर रहा है) के प्रमाण को स्वीकार करता है ।

परिभाषा (फ्रेज सबूत प्रणाली) एक प्रोपोज़िशनल भाषा और एक परिमित सेट को देखते हुए $P$ ध्वनि फ्रेज नियमों का, हम कहते हैं कि $P$ है एक फ्रेज सबूत प्रणाली अगर $P$ implicationally पूरा हो गया है।

ध्यान दें कि एक फ्रीज प्रमाण हमेशा ध्वनि होता है क्योंकि फ्रीज नियमों को ध्वनि माना जाता है। हमें एक विशिष्ट फ्रेज प्रूफ सिस्टम के साथ काम करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रूफ जटिलता में एक मूल परिणाम बताता है कि हर दो फ्रीज प्रूफ सिस्टम, यहां तक ​​कि विभिन्न भाषाओं में, बहुपत्नी समान हैं [रेकहॉ, पीएचडी थीसिस, टोरंटो विश्वविद्यालय, 1976]।

---

फ्रेज सबूत पर स्थापित कर रहा है कम सीमा साबित दिशा में एक कदम के रूप में देखा जा सकता है $NP \neq coNP$ , क्योंकि अगर यह सच है तो (फ्रेज सहित) कोई प्रोपोज़िशनल सबूत प्रणाली सभी tautologies के लिए बहुपद आकार सबूत हो सकता है।

Answer 16

हम गणना कर सकता है अवधि की दो तार के बीच संपादित दूरी उप द्विघात समय में, यानी, समय में हे ( एन 2 - ε ) कुछ के लिए ε > 0 ?$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

Comments

क्या आपके पास इसके लिए संदर्भ हैं? मैंने वास्तव में सोचा था कि यह प्रस्ताव तुच्छ रूप से गलत था, हालांकि मैं अपने सिर के ऊपर से एक सबूत के बारे में नहीं सोच सकता। (हालांकि मुझे पता है कि रनटाइम को त्रुटियों की संख्या पर निर्भर किया जा सकता है।)

— कोनराड रूडोल्फ

अपडेट (STOC 2015): बैकर्स और इंडीक इस बात का सबूत देते हैं कि बेहतर-द्विघात समय संभव नहीं है। Rjlipton.wordpress.com/2015/06/01/puzzling-evidence देखें ।

— नील युवा

Answer 17

वहाँ वास्तव में subquadratic समय एल्गोरिदम (अर्थ हैं कुछ निरंतर के लिए समय δ > 0 ) के लिए 3SUM कठिन समस्याएं ?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

2014 में, Gronlund और Pettie उस समय में चलाता है 3SUM खुद के लिए एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म वर्णित । यद्यपि यह एक प्रमुख परिणाम है, O ( n 2 ) पर सुधार केवल (उप) लघुगणक है। इसके अलावा, कोई भी इसी तरह के सबक्वैड्रैटिक एल्गोरिदम को अन्य 3SUM- हार्ड समस्याओं के लिए नहीं जाना जाता है।$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

Comments

अच्छा प्रश्न। हालाँकि, 3SUM समस्या के लिए उप-द्विघात एल्गोरिदम का अस्तित्व यादृच्छिक एल्गोरिदम के लिए भी खुला है। बेशक, नियतात्मक एल्गोरिथ्म भी अच्छे रहे होंगे ..

— Piotr

क्वांटम मामले में, 3SUM के लिए मेलिंग एन लॉग (n) लोअर और अपर बाउंड्स ज्ञात हैं: 3-सम प्रॉब्लम के लिए लेडी डबरोव्स्की, ओक्साना सेसेगुलंजा-डबरोव्स्का इम्प्रूव्ड क्वांटम लोअर बाउंड्स। बाल्टिक डीबी और आईएस 2004 की कार्यवाही, वॉल्यूम। 2, रीगा, लातविया, पीपी। 40-45।

— मार्टिन श्वार्ज

मैं इस धारणा के तहत था कि हमारे पास एनपी में किसी भी समस्या के लिए n ^ 2 कम नहीं है।

— सरील हर-पेलेड

मेरी स्पष्ट धारणा थी कि यदि आप निर्णय की समस्याओं (कोई आउटपुट तर्क) तक सीमित हैं, तो कुछ भी ज्ञात नहीं है। लेकिन आपको वास्तव में एक जटिलता व्यक्ति से पूछना चाहिए।

— सरियल हर-पेलेड

3-SUM के लिए उप-द्विघात एल्गोरिदम देकर इस अनुमान को हाल ही में अंदाज़ी करने का दावा किया गया है।

— मंगरा

Answer 18

बीक्यूपी = पी?

इसके अलावा: BQP में निहित एनपी?

मुझे पता है कि इसने उत्तर में दो प्रश्न होने से नियमों का उल्लंघन किया है, लेकिन जब पी बनाम एनपी प्रश्न के साथ लिया जाता है, तो वे जरूरी स्वतंत्र प्रश्न नहीं होते हैं।

Answer 19

1. Isomorphism Conjecture। (क्या सभी एनपी-पूर्ण समस्याएं "समान" समस्या हैं?)
2. क्या क्रिप्टोग्राफी एनपी-पूर्ण समस्या पर आधारित हो सकती है?

और, मुख्यधारा से थोड़ा और दूर:


3. EXP के भीतर एनपी का आकार क्या है?

(अनौपचारिक रूप से, अगर आपको एक टेबल पर EXP में सभी समस्याएं हैं, और आप एक समान रूप से यादृच्छिक रूप से उठाते हैं, तो संभावना क्या है कि आपने जो समस्या चुनी है वह भी एनपी में है? इस सवाल को संसाधन-बाध्य उपाय की धारणा द्वारा औपचारिक रूप दिया गया है। यह ज्ञात है कि P ने EXP के भीतर शून्य को माप दिया है, अर्थात, तालिका से आपके द्वारा चुनी गई समस्या लगभग निश्चित रूप से P में नहीं है)

Comments

क्या यह जटिलता चिड़ियाघर में पी-माप के समान है? मैं इसके बारे में अधिक पढ़ने के लिए कहां जाऊंगा?

— एन्द्रस सलामों

पी-माप संसाधन-बाध्य उपाय का एक उदाहरण है: अधिक आम तौर पर, आप एक मशीन को अनुक्रम की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर सकते हैं, और ऐसा करने के लिए उपलब्ध कम्प्यूटेशनल संसाधन माप पर संसाधन-बाध्य प्रदान करते हैं। मैंने एक मेज पर EXP के अपने अनौपचारिक विवरण में पी-माप का उपयोग किया। आगे पढ़ने के लिए, मैं लुत्ज़ द्वारा निम्नलिखित सर्वेक्षण के जर्नल संस्करण की सिफारिश करता हूं (सीजेड इस सर्वेक्षण के सम्मेलन संस्करण का हवाला देता है)। cs.iastate.edu/~lutz/=PAPERS/qset.ps (पोस्टस्क्रिप्ट में, मुझे आशा है कि यह ठीक है)

— हारून स्टर्लिंग

धन्यवाद। यहाँ उन लोगों के लिए उस पत्र का एक पीडीएफ है जो PS नहीं पढ़ सकते हैं: archives.cs.iastate.edu/documents/disk0/00/00/01/28/00000128-01/…

— András Salamon

आपके पहले प्रश्न के लिए हाँ P के पास EXP में 0 माप है, इसलिए यदि NP नहीं है, तो आपको तुरंत P! = NP मिल जाएगा। दूसरे प्रश्न के लिए, मेरा सुझाव है कि आप सर्वेक्षण एंड्रास में पृष्ठ 28 के अंतिम पैराग्राफ को पढ़ें और मैं इससे जुड़ा। (टिप्पणी में पर्याप्त जगह नहीं है कि इसे यहां पेस्ट करें, क्षमा करें।) मूल रूप से, अगर एनपी शून्य को मापता है, तो एक संभव एल्गोरिथ्म मौजूद है जो एनपी-हार्ड समस्या में सदस्यता का अनुमान लगा सकता है "अनुचित रूप से" अच्छी तरह से। इसलिए ऐसा लगता है कि एनपी EXP के भीतर शून्य नहीं है।

— हारून स्टर्लिंग

: @Artem: तुम यहाँ शुरू कर सकता है blog.computationalcomplexity.org/2003/03/...

— हारून स्टर्लिंग

Answer 20

मीट्रिक TSP की अनुमानितता क्या है ? 1975 से क्रिस्टोफ़ाइड्स एल्गोरिथ्म एक बहुपद-समय (3/2) -प्रतिरोधी एल्गोरिथ्म है। क्या बेहतर करना एनपी-कठिन है?

• 220/219 से छोटे कारक के भीतर मेट्रिक टीएसपी का अनुमान एनपी-हार्ड (पापादिमित्रियो और वेम्पला, 2006 [पीएस] ) है। मेरे ज्ञान के लिए यह सबसे अच्छी ज्ञात निचली सीमा है।

• कुछ प्रमाण बताते हैं कि वास्तविक सीमा 4/3 (कैर और वेम्पला, 2004 [मुक्त संस्करण] [अच्छा संस्करण] ) हो सकती है।

• सन्निकटन पर ऊपरी सीमा को हाल ही में 13/9 (Mucha 2011 " ग्राफिक-टीएसपी के लिए -प्रतिरूपता ] [ PDF ] में उतारा गया था$13/9$

Comments

मीट्रिक TSP हाल ही में 3/2 - e से किया गया है जहाँ e स्थिर है (0.002 के पास)

— Saeed

की कुछ चर्चा गोडेल की खो पत्र पर मीट्रिक TSP

— आर्टेम Kaznatcheev

@ सईद, क्या आपका मतलब केवल मीट्रिक टीएसपी के विशेष मामले के लिए एल्गोरिथ्म है: ग्राफिक टीएसपी के लिए? फिर मुचा द्वारा इसे 13/9 तक सुधार दिया गया। ऐसा लगता है कि 3/2 मीट्रिक टीएसपी के लिए सबसे अच्छा ज्ञात ऊपरी सीमा है।

— एलेक्स गोलोवनेव

@AlexGolovnev, हाय एलेक्स, हाँ, लेकिन मेरी टिप्पणी नए पेपर आने से पहले थी;) (मैंने उस समय ओविस घराने का पेपर देखा था)।

— सईद

Answer 21

घातीय सर्किट जटिलता के साथ एक स्पष्ट कार्य दें।

शैनन ने 1949 में साबित कर दिया कि यदि आप यादृच्छिक पर बूलियन फ़ंक्शन को चुनते हैं, तो इसमें घातीय सर्किट जटिलता होती है जिसमें प्रायिकता लगभग होती है।

एक स्पष्ट बूलियन फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा निचला बाउंड हमारे पास अभी तक K. Iwama, O. Lachish, H. Morizumi, और R द्वारा 5 n - o ( n ) है। । रज़।$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

Comments

समस्या को बताने का यह तरीका हमेशा मुझे परेशान करता है, क्योंकि आपको "स्पष्ट" से क्या मतलब है, इस बारे में सावधान रहना होगा। एक फ़ंक्शन का वर्णन लिखना आसान है जिसमें घातीय सर्किट जटिलता है। यदि "स्पष्ट" का अर्थ है "घातीय समय या उससे कम में कम्प्यूटेशनल", तो मैं मानता हूं, यह एक प्रमुख खुली समस्या है।

— रयान विलियम्स

रेयान, तुम सही हो। यह एक अत्यंत महत्वपूर्ण बिंदु है। एक असुविधाजनक फ़ंक्शन का विवरण लिखना भी आसान है। पेपर I में उद्धृत किया गया है, निचली सीमा एक फ़ंक्शन के लिए साबित होती है जो नियतात्मक बहुपद समय में रचनात्मक होती है।

— मार्क

क्या शैनन के काम पर एक अच्छा प्रदर्शन है?

— टी ....

निम्नलिखित व्याख्यान नोट्स में तर्क विस्तृत है: math.tau.ac.il/~zwick/scribe-boolean.html

— Marc

यह एक उत्कृष्ट समस्या है और शानोन के विश्वविद्यालय के दूसरे वर्ष के परिणाम को सौंपे जाने की यादों को वापस लाता है।

— स्टेला बिडरमैन

Answer 22

घने रेखांकन में परीक्षण के त्रिकोण के साहस की क्वेरी जटिलता क्या है (यानी, उन लोगों से विशिष्ठ त्रिकोण मुक्त रेखांकन त्रिकोण से मुक्त किया जा रहा से -far)? जाना जाता ऊपरी सीमा में exponentials के एक टावर है 1 / ε जबकि जाना जाता लोअर बाउंड ही में हल्का superpolynomial है, 1 / ε । यह एक्सट्रीम ग्राफ थ्योरी / एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स में एक बहुत ही मूल प्रश्न है जो लगभग 30 वर्षों से खुला है।$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

Answer 23

बीपीपी से एनईएक्सपी को अलग करें। लोग बीपीपी = पी को मानते हैं, लेकिन कोई भी एनईएक्सपी को बीपीपी से अलग नहीं कर सकता है।

Answer 24

मुझे पता है कि ओपी ने प्रति पोस्ट केवल एक समस्या के लिए कहा था, लेकिन आरटीए ( रिवाइजिंग टेक्नीक्स और उनके एप्लिकेशन) 1 और टीएलसीए (टाइप्ड लैंबडा कैल्सी और उनके एप्लिकेशन) सम्मेलन दोनों अपने क्षेत्रों 2 में खुली समस्याओं की सूची बनाए रखते हैं । ये सूचियाँ काफी उपयोगी हैं, क्योंकि इनमें इन समस्याओं को हल करने के प्रयास पर किए गए पिछले काम के संकेत भी शामिल हैं।

Comments

कोई दिक्कत नहीं है। क्या किसी को अन्य सम्मेलनों से किसी अन्य समान सूची का पता है? वे पढ़ने में काफी दिलचस्प हैं।

— डोमिनिक मुलिगन

Answer 25

बहुपद की पहचान परीक्षण समस्या का व्युत्पन्नकरण

$P$$P$

इस समस्या को यादृच्छिक बहुपद समय में हल किया जा सकता है लेकिन नियतात्मक बहुपद समय में हल करने योग्य नहीं माना जाता है।

$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

$c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Answer 26

क्या एक क्वांटम पीसीपी प्रमेय है?

Comments

इस सवाल का स्कॉट स्कॉटसन के ब्लॉग पर कुछ समय पहले scottaaronson.com/blog/?p=139 पर उल्लेख किया गया था, लेकिन मुझे नहीं पता कि इसके बाद से कोई प्रगति हुई है।

— एंथनी लीवरियर

मुझे लगता है कि इस उत्तर को अद्यतन करने की आवश्यकता है।

— केव

@ केव: क्या आप जोड़ा देखना चाहेंगे?

— रोबिन कोठारी

arxiv.org/abs/1309.7495

— केव

arxiv.org/abs/1201.3387

— केव

Answer 27

लैम्ब्डा कैल्सी (टाइप और अनपेड) में बहुत सारी खुली समस्याएं हैं। विवरण के लिए खुली समस्याओं की टीएलसीए सूची देखें; फ़्रेम के बिना एक अच्छा पीडीएफ संस्करण भी है ।

मुझे विशेष रूप से समस्या # 5 पसंद है:

$F_ω$

Comments

समस्याओं की इस विशेष सूची की ओर इशारा करने के लिए डोमिनिक मुलिगन को धन्यवाद।

— जैक्स केयरटे

Answer 28

P में असतत लघुगणक समस्या है?

$G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$ ?

$g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$ ।

स्पष्ट रूप से डीएलपी कठिन है अगर सीडीएच कठिन है, और डीडीएच कठिन है, तो सीडीएच कठिन है, लेकिन कुछ समूहों को छोड़कर, कोई भी कम कटौती ज्ञात नहीं है। यह धारणा कि डीडीएच कठिन है, कुछ क्रिप्टोकरंसीज की सुरक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, जैसे कि एलगमाल और क्रैमर- शौप ।

Comments

वैसे, हम जानते हैं कि DLP BQP में निहित है।

— जो फिट्जसिमोंस

DLP को हाल ही में समूह अर्ध-पी में रखा गया था$G = \mathbb{F}_{p^n}^\times$

Answer 29

पैरिटी गेम्स दो-खिलाड़ी अनंत-अवधि ग्राफ गेम हैं, जिनकी प्राकृतिक निर्णय समस्या एनपी और सह-एनपी में है, और जिनकी पीपीएडी और पीएलएस में प्राकृतिक खोज समस्या है।

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

क्या समानता के खेल को बहुपद समय में हल किया जा सकता है?

(आम तौर पर, गणितीय प्रोग्रामिंग में एक लंबे समय से प्रमुख खुला प्रश्न है कि क्या पी-मैट्रिक्स रैखिक पूरक कार्यान्वयन समस्याएं बहुपद समय में हल की जा सकती हैं?)

Answer 30

पैरामीटरकृत जटिलता के क्षेत्र में खुली समस्याओं का अपना भार है।

निर्णय की समस्याओं पर विचार करें

• $(G,k)$$k$$G$
• $(F,k)$$k$$F$ ?
• $(G,k)$$k$$G$
• आदि...

$f(k)n^c$$f$$c$$k$$n^{O(k)}$ ।

यह ढांचा उन मामलों को मॉडल करता है जिसमें हम एक छोटे से संयोजन संरचना की तलाश कर रहे हैं और हम समाधान / गवाह के आकार के संबंध में घातीय रन-टाइम का खर्च उठा सकते हैं ।

इस तरह के एक एल्गोरिथ्म (उदाहरण के लिए शीर्ष कवर) के साथ एक समस्या को फिक्स्ड पैरामीटर ट्रैक्टेबल कहा जाता है (एफपीटी) ।

परिमाणबद्ध जटिलता एक परिपक्व सिद्धांत है और व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए मजबूत सैद्धांतिक नींव और अपील दोनों हैं। इस तरह के सिद्धांत के लिए दिलचस्प निर्णय समस्याएं प्राकृतिक पूर्ण समस्याओं के साथ कक्षाओं की एक बहुत अच्छी तरह से संरचित पदानुक्रम बनाती हैं:

$$FPT \subseteq W[1] \subseteq W[2] \subseteq \ldots \subseteq W[i] \subseteq W[i+1] \subseteq \ldots W[P]$$

$FPT=W[1]$$ETH$

$W[1]=FPT$$k$