3-रंग की एनपी-कठोरता का संदर्भ?

Question

मेरा एक ऐतिहासिक सवाल है।

मैं इस तथ्य के लिए संदर्भ निर्धारित करने के लिए कोशिश कर रहा हूँ कि रेखांकन के 3-colourability (वैकल्पिक रूप से, के लिए -colourability दी ) एनपी कठिन है।$k$$k\geq 3$

लुभावने उत्तर "कार्प का मूल पेपर" है, लेकिन यह गलत है। यहाँ एक स्कैन है: कॉर्डिनेटरियल प्रॉब्लम्स, रेडप (1972) के बीच रिड्यूसबिलिटी । यह साबित करता है कि क्रोमैटिक नंबर (इनपुट: एक ग्राफ। आउटपुट: ) कठिन है। यह एक कठिन समस्या है, और कमी मानक गैजेट निर्माण (3 रंगों, सच, गलत और ग्राउंड) से अलग है जो 3-कोलोराबिलिटी की कठोरता का अर्थ है।$\chi(G)$

गैरी और जॉनसन, कंप्यूटर और इंट्रेक्टेबिलिटी , -colourability को [GT4] और Karp (1972) के रूप में संदर्भित करते हैं।$k$

Comments

पेज 84 पर, गैरी और जॉनसन का दावा है कि 3-कलरबिलिटी एनपी-पूर्ण है जो कि यूरी के जवाब में उपलब्ध स्टॉकमेयेर पेपर का हवाला देकर किया गया था। Theorem 4.2 में, वे Stockmeyer के परिणाम का एक सरल प्रमाण भी प्रदान करते हैं।

— टायसन विलियम्स

Answer 1

László Lovász , हाइपरग्राफ के कवरिंग और रंग , कॉम्बिनेटरिक्स, ग्राफ थ्योरी, और कम्प्यूटिंग, यूटिलिटास मठ पर चौथे दक्षिणपूर्व सम्मेलन की कार्यवाही।, विन्निपेग, मैन।, 1973, पीपी। 3--12, ने साबित किया कि क्रोमेटिक संख्या 3- से कम हो जाती है। colourability।

मुझे लगता है, कि 3-colourability की एनपी-पूर्णता के लिए पहला सबूत है।

यहाँ लोवेज़ का पेपर है; वोवेक च्वातल की लवॉज की कमी के बारे में उत्कृष्ट व्याख्या भी देखें ।

Answer 2

यहां 1973 से एक और पेपर है जो यह साबित करता है कि 3-कलरबिलिटी एनपी-हार्ड है।

लैरी जे स्टॉकमेयर। "Planar 3-colorability बहुपद पूर्ण है।" ACM SIGACT News, vol। 5, नहीं। 3, 1973।

(ऐसा लगता है कि लोवेज़ और स्टॉकमेयर ने स्वतंत्र रूप से अपने परिणाम प्राप्त किए।)

अपडेट: नीचे टिप्पणी देखें

Comments

अगर मैं गलत नहीं हूं, तो स्टॉकमेयेर ने उस पेपर में 3-रंग की एनपी-कठोरता साबित नहीं की। वहाँ, वह 3-रंग को प्लानेर 3-रंग में घटाता है और 3-रंग की कठोरता को कार्प (1972) को संदर्भित करता है। यह गलत है जैसा कि थोरे हसफेल्ट ने बताया है।

— user13136

समझा। धन्यवाद user13136! दुर्भाग्य से, मेरे पास अब इस कागज तक पहुंच नहीं है। मैंने केवल इस पत्र का सार देखा और इसका संदर्भ दिया।

— यूरी

मैंने अब ACM डिजिटल लाइब्रेरी के माध्यम से स्टॉकमेयर्स के पेपर को देखा है, और इसमें 3-colorability की कठोरता का पूर्ण प्रमाण शामिल है। (3-संतुष्टि से कमी।) इस प्रकार ऐसा लगता है जैसे कि यूरी का प्रारंभिक कथन बिल्कुल सही है, और स्टॉकमेयेर और लोवेज़ ने परिणाम को स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया (और अलग-अलग कटौती का उपयोग करते हुए।)

— थोर हसफेल्ट

आउच! मुझे पता नहीं था कि केवल एक चेकमार्क सौंपा जा सकता है। स्टॉकमेयर का उत्तर सही है, इसलिए मैंने यंत्रवत् चेकमार्क पर क्लिक किया। मुझे क्या करना चाहिए, क्योंकि मैं सच के दो परस्पर अनन्य संस्करणों के बीच फटा हुआ हूं?

— थोर हसफेल्ट

ओह, मैं सिर्फ उत्सुक था क्योंकि मुझे लोवेज़ का पेपर काफी सुंदर लगता है। मैं यूरी के उत्तर को नहीं समझना चाहता था और न ही vb le के बारे में बहुत दिल से सोच रहा था;)

— user13136