प्रतिबंधित मोनोटोन 3CNF सूत्र: संतोषजनक कार्य (दोनों मोडुलो) की गिनती

Question

एक मोनोटोन 3CNF सूत्र पर विचार करें, जिसमें दोनों अतिरिक्त प्रतिबंध हैं:

• प्रत्येक चर बिल्कुल खंडों में प्रकट होता है ।$2$
• किसी भी खंडों को देखते हुए , वे अधिकतम चर पर साझा करते हैं ।$2$$1$

मैं जानना चाहूंगा कि इस तरह के फॉर्मूले के संतोषजनक कामों को गिनना कितना कठिन है।

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अपडेट 06/04/2013 12:55

मैं यह भी जानना चाहूंगा कि संतोषजनक कार्य की संख्या की समता कितनी कठिन है।

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अपडेट 11/04/2013 22:40

क्या होगा अगर, ऊपर वर्णित प्रतिबंधों के अलावा, हम निम्नलिखित दोनों प्रतिबंधों को भी लागू करते हैं:

• सूत्र प्लैनर है।
• सूत्र द्विदलीय है।

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अपडेट 16/04/2013 23:00

प्रत्येक संतोषजनक असाइनमेंट ए के किनारे कवर से मेल खाता है $3$अनियमित ग्राफ। व्यापक खोज के बाद, एकमात्र प्रासंगिक पेपर जिसे मैं बढ़त कवर पर गिनने में सक्षम था, वह (3) है जो पहले से ही युवल के उत्तर में उल्लिखित है। इस तरह के पेपर की शुरुआत में, लेखक कहते हैं "हम एक ग्राफ के सभी कवरों के नमूने (और गिनती के संबंधित प्रश्न) का अध्ययन शुरू करते हैं । " मुझे बहुत आश्चर्य है कि इस समस्या पर बहुत कम ध्यान दिया गया है (वर्टिकल कवर की गिनती की तुलना में, जो व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है और बहुत बेहतर समझा जाता है, कई ग्राफ़िक्स के लिए)। हम नहीं जानते कि क्या बढ़त कवर है$\#P$-मुश्किल। हमें पता नहीं है कि एज कवर की संख्या की समता का निर्धारण करना है या नहीं$\oplus P$-हार्ड, या तो।

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अपडेट 09/06/2013 07:38

एज कवर की संख्या की समता का निर्धारण करना है $\oplus P$-हार्ड, नीचे उत्तर की जाँच करें।

Comments

मुझे लगता है कि यह अधिक दिलचस्प है अगर आप इसे चर के बजाय शाब्दिक रूप से प्रतिबंधित करते हैं।

— तैफून पे

@Tayfun चूंकि सूत्र मोनोटोन है, ये समतुल्य हैं।

— टायसन विलियम्स

@TysonWilliams धन्यवाद मुझे नींद में होने पर चीजों पर टिप्पणी नहीं करनी चाहिए।

— तैफुन पे

@ जियोर्जियो मौजूदा कटौती का उपयोग करते हुए, यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि समस्या है $\#P$-मुश्किल। आपको मेरे द्वारा उद्धृत दो अन्य पत्रों के प्रासंगिक भागों को पढ़ने की कोशिश करनी चाहिए।

— युवल फिल्मस

@Downvoter: क्यों?

— जियोर्जियो कैमरानी

Answer 1

किसी भी ग्राफ़ में, वर्टेक्स कवर की संख्या की समता एज कवर की संख्या की समता के बराबर है।

क्यों देखना है, इस उत्तर को देखें और देखें कि किस प्रकार की समता है$|C|$ की समता के बराबर है $\Delta_{|V|} = O_{|V|} - E_{|V|}$, जो बदले में समता के बराबर है $O_{|V|} + E_{|V|}$, जो एज कवर की संख्या है।

वर्टेक्स कवर की संख्या की समता की गणना करना है $\oplus$पी-हार्ड: इसलिए एज कवर की संख्या की समता की गणना करना है $\oplus$साथ ही पी-हार्ड।

कम से कम प्रश्न का उत्तरार्ध निपटा दिया गया है।

Answer 2

आपकी समस्या शायद # पी-पूर्ण है, हालांकि मैं इसे साहित्य में नहीं पा सका हूं।

आपकी समस्या बताते हुए एक और तरीका है "# 3-regular-edge-cover"। एक सूत्र को देखते हुए, एक ग्राफ का निर्माण करें जिसमें प्रत्येक खंड एक शीर्ष से मेल खाता है और प्रत्येक चर एक किनारे से मेल खाता है। चूंकि सूत्र 3CNF है, इसलिए ग्राफ 3-नियमित है (या परिभाषा के आधार पर अधिकतम 3 डिग्री है)। इसके अलावा, ग्राफ सरल है। एक संतोषजनक असाइनमेंट एज कवर के समान है।

यहाँ कुछ संबंधित समस्याएं हैं:

• # 1-Ex3MonoSat # P- पूर्ण है । यह आपकी समस्या के समान है, केवल एक संतोषजनक समाधान के लिए प्रत्येक खंड में एक चर को संतुष्ट करना है।
• 3-नियमित प्लानर ग्राफ़ में वर्टेक्स कवर की संख्या की गणना # पी-पूर्ण है ।
• # 3-नियमित-किनारे कवर के लिए एक FPRAS है । इससे पता चलता है कि लेखक मानते हैं कि समस्या कठिन है।

Comments

मैं नहीं देखता कि उसका # प्रतिबंधित-मोनोटोन 3 सीएनएफ # 1-Ex3MonoSAT के समान कैसे है। कोई बात नहीं, तथ्य यह है कि बाद की समस्या वास्तव में एक शाब्दिक संतुष्ट होना चाहती है। वह मोनोटोन 3 सीएनएफ फार्मूले चाहते हैं कि प्रत्येक चर बिल्कुल दो खंडों में दिखाई दे और प्रत्येक खंड अधिकांश 1 चर पर साझा हो। # 1-Ex3MonoSAT में ऐसा कोई प्रतिबंध नहीं है।

— तैफुन पे

मैंने "केवल" शब्द का उपयोग करके इस अंतर को व्यक्त करने की कोशिश की, लेकिन मैं सहमत हूं कि यह शब्दों का सबसे अच्छा संभव विकल्प नहीं है।

— युवल फिल्मस