मैट्रिक्स कठोरता और कम कठोरता वाले मैट्रिक्स का उपयोग करता है

Question

मोटे तौर पर रैंक एक मैट्रिक्स को कठोर कहा जाता है, अगर इसकी रैंक को नीचे लाने के लिए $n$ , एक कम से कम बदलने के लिए हैn1+εअपनी प्रविष्टियों में से, कुछ के लिएε>0।$\frac{n}{2}$$n^{1+\epsilon}$$\epsilon > 0$

एक तो मैट्रिक्स एक कठोर है, तो छोटी से छोटी सीधी रेखा कार्यक्रम कंप्यूटिंग एक एक्स ( एक्स आकार का एक वेक्टर है n ) या तो सुपर रेखीय आकार है, या सुपर लघुगणक गहराई है।$n \times n$$A$$Ax$$x$$n$

क्या उपर्युक्त कथन का कोई आक्षेप है?

दूसरे शब्दों में, TCS में पूर्ण रैंक के गैर-तुच्छ और गैर-स्पष्ट कम कठोरता मैट्रिसेस का उपयोग होता है?

क्या निम्न श्रेणी वाले मेट्रिसेस के लिए कठोरता की धारणा है ( कुछ स्थिरc के लिए)?$\frac{n}{c}$$c$

Comments

+1, यहाँ कठोरता पर प्रश्न देखने में अच्छा है, उन्नत विषय, लेकिन यह इतना स्पष्ट नहीं है। स्टेटमेंट ऑफ कॉन्सेप्ट कुछ इस तरह का होगा अगर छोटी सी सीधी लाइन प्रोग्राम कंप्यूटिंग या तो सुपरलाइनर साइज या सुपरलोगरिथमिक डेप्थ है, तो n × n मैट्रिक्स कठोर है। सही? लेकिन यह nontrivial / गैर-स्पष्ट कम कठोरता matrices के बारे में पिछले प्रश्न से अलग प्रतीत होता है। ऐसा लगता है कि अधिकांश मैट्रिसेस की कठोरता या तो कम है या उच्च इतना तुच्छ या स्पष्ट नहीं है ... ऐसे कई उपयोगी मैट्रिसेस हैं जिनकी कठोरता कम है ... उच्च कठोरता के किसी भी गैर-आयामी मैट्रिस का निर्माण नहीं किया गया है! $A x$$n \times n$

— vzn

$A$$A=B+C$$B$$C$$B$$C$$A$

हो सकता है पहले गैर-स्पष्ट रूप से कम कठोरता वाले

— मेट्रिक्स

@vzn का दूसरा तरीका यह है कि "निम्न कठोरता वाले मैट्रिसेस में रैखिक छोटे सर्किट होते हैं" का एक और तरीका है। आपका उत्तर बिल्कुल विपरीत दिशा में है (सॉर्ट के अनुप्रयोगों के बारे में एक शब्द नहीं - कम कठोर - अधिक कुशल), इसलिए -1

— सैशो निकोलेव

@ एमसीएच अच्छा बिंदु। तुच्छ से बेहतर क्या हो सकता है? आप एक दिलचस्प बिंदु बना रहे हैं मैं प्रश्न को थोड़ा बदल दूंगा।

— टी ....

Answer 1

प्रश्न के आगे स्पष्टीकरण की कमी है, एक उत्तर के एक कोशिश / स्केच heres। मैट्रिक्स कठोरता का टीसीएस / जटिलता सिद्धांत में मौलिक प्रश्नों से गहरा संबंध है, जिसमें सर्किट लोअर बाउंड्स, [1] और इससे जटिलता वर्ग अलगाव और कोडिंग सिद्धांत [2] के साथ-साथ अन्य क्षेत्र भी शामिल हैं। [५] एक अच्छा स्लाइड सर्वेक्षण है।

मैट्रिसेस की कठोरता के संदर्भ में "कम" और "उच्च" शब्दों का उपयोग अनौपचारिक रूप से किया जाता है न कि एक सटीक परिभाषित तकनीकी अर्थ में। [हालांकि फ्रीडमैन ने "मजबूत" कठोरता को परिभाषित किया। [६]] यादृच्छिक मेट्रिसेस को उच्च कठोरता के लिए जाना जाता है लेकिन मूल रूप से, इसकी ~ ३.५ दशक पुरानी इस क्षेत्र में खुली समस्या स्पष्ट रूप से "काफी उच्च" कठोरता के साथ किसी भी मैट्रिक्स का निर्माण करने के लिए है ।

सवाल आगे परिभाषित नहीं करता है / व्यक्तिपरक शब्दों "स्पष्ट" या "गैर-स्पष्ट" शब्दों को स्पष्ट करता है और वहां कुछ स्वतंत्रता लेगा।

इस क्षेत्र में हैडमर्ड मैट्रिसेस की कठोरता को देखते हुए शोध की एक पंक्ति है, जिसमें कोडिंग सिद्धांत और अन्य जगहों पर विविध उपयोग / अनुप्रयोग हैं।

यह कहना उचित होगा कि एक उच्च कठोरता का परिणाम "जटिलता सिद्धांत में नए nontrivial कोरोलरीज" के लिए कम से कम अग्रणी होगा, लेकिन हैडमर्ड मैट्रिस पर सबसे अच्छा ज्ञात सीमा पर्याप्त नहीं है। [३] लेकिन न तो यह निर्णायक रूप से साबित करता है कि उनके पास "कम" कठोरता है। इसके मूल रूप से वांडरमोंड मैट्रिस के साथ एक ही कहानी है [लोकम द्वारा माना कोडिंग सिद्धांत में अनुप्रयोग] [4]।

इसलिए सभी के बारे में संक्षेप में कहा जा सकता है कि कुछ कमजोरियों पर "कमजोर निचली कठोरता की सीमा" को साबित किया गया है, जिनमें हदामर्ड / वैंडर्मोंडे मैट्रिस शामिल हैं।

इस क्षेत्र में कोई प्रकाशित संख्यात्मक प्रयोग, अनुमान या एल्गोरिदम भी नहीं दिखाई देते हैं।

[१] स्टेसी जुकना, २०११, द्वारा बूलियन फंक्शन कॉम्प्लेक्सिटी, १२. rig "बड़े परिपथों के लिए कठोर मैट्रेस"

[२] मैट्रिक्स कठोरता और स्थानीय रूप से स्व-सुधार योग्य कोड Zeev Dvir पर

[३] हडामर मेट्रिसेस काशिन / रेज़बोरोव की शिथिलता पर बेहतर सीमाएँ

[४] वन्डरमोंडे मेट्रिसेस लोकम की कठोरता पर

[५] महदी चेरघि मैट्रिक्स कठोरता की बात

[६] जे। फ्रीडमैन। मैट्रिक्स कठोरता पर एक नोट। कॉम्बिनेटरिका, 13 (2); 235-239, 1993