हाँ वहाँ है। निम्नलिखित व्याकरण द्वारा उत्पन्न शब्द होने के लिए एक संदर्भ-मुक्त अभिव्यक्ति को परिभाषित करें :
g::=||||||ϵcg⋅g⊥g∨gμα.gαEmpty stringCharacter c in alphabet ΣConcatenationFailing patternDisjunctionRecursive grammar expressionVariable expression
यह क्लेन स्टार को छोड़कर नियमित भाषाओं के लिए सभी निर्माणकर्ता है, जिसे सामान्य फिक्स्ड-पॉइंट ऑपरेटर μ α द्वारा बदल दिया गया है । , और एक चर संदर्भ तंत्र। (क्लीन तारा की जरूरत नहीं है, क्योंकि यह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जी * ≜ μ अल्फा ।μα.g ।)g∗≜μα.ϵ∨g⋅α
एक संदर्भ-मुक्त अभिव्यक्ति की व्याख्या के लिए मुक्त चर की व्याख्या के लिए लेखांकन की आवश्यकता होती है। तो एक परिभाषित पर्यावरण
भाषाओं (यानी, के सबसेट को चर से एक नक्शे के होने की
Σ * ), और [ ρ | α : L ] वह फ़ंक्शन हो , जो α को छोड़कर सभी इनपुट पर ρ की तरह व्यवहार करता है , और जो α के लिए L को भाषा में लौटाता है ।ρΣ∗[ρ|α:L]ραएलα
अब, संदर्भ-मुक्त अभिव्यक्ति की व्याख्या को निम्नानुसार परिभाषित करें:
[[ ϵ ]]ρ[[ ग ]]ρ[[ जी1⋅ जी2]]ρ[[ ⊥ ]]ρ[[ जी1∨ जी2]]ρ[[ α ]]ρ[[ Μ अल्फा ।जी]]ρकहा पेएल0एलएन + १========={ ϵ }{ c }{ डब्ल्यू1⋅ व2∣ |w1∈ [[ जी1]]ρ ∧ w2∈ [[ जी2]]ρ }∅[[ जी1]]∪ एल ∪ [[ जी2]]ρρ ( α )⋃n ∈ एनएलn∅एलn∪ [[ जी]][ ρ | α : एलn]
नस्टर-टार्स्की प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह देखना आसान है कि की व्याख्या । g अभिव्यक्ति का कम से कम निश्चित है।μ α । जी
यह सीधा है (यद्यपि पूरी तरह से तुच्छ नहीं है) यह दिखाने के लिए कि आप एक संदर्भ-मुक्त अभिव्यक्ति दे सकते हैं, जो किसी भी संदर्भ-मुक्त व्याकरण और उसी के विपरीत भाषा हो। गैर-तुच्छता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि संदर्भ-मुक्त अभिव्यक्तियों में निश्चित बिंदु होते हैं, और संदर्भ-मुक्त व्याकरण आपको एक एकल बिंदु पर एक निश्चित बिंदु देता है। इसके लिए बीकिक के लेम्मा के उपयोग की आवश्यकता होती है, जो ठीक कहता है कि एक नेस्टेड निश्चित बिंदुओं को एक उत्पाद (और इसके विपरीत) पर एकल निश्चित बिंदु में परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन यह एकमात्र सूक्ष्मता है।
संपादित करें: नहीं, मैं इसके लिए एक मानक संदर्भ नहीं जानता: मैंने इसे अपने हित के लिए काम किया। हालांकि, यह एक स्पष्ट पर्याप्त निर्माण है जो मुझे विश्वास है कि यह पहले आविष्कार किया गया है। कुछ आकस्मिक Googling ने Joost Winter, Marcello Bonsangue और Jan Rutten के हालिया पेपर
कॉन्सेप्ट-फ्री लैंग्वेजेस, Coalgebraically का खुलासा किया , जहां वे इस परिभाषा का एक संस्करण देते हैं (सभी निश्चित बिंदुओं पर पहरा देने की आवश्यकता होती है, जिसे वे संदर्भ-मुक्त अभिव्यक्ति भी कहते हैं।