सबसेट राशि बनाम सबसेट उत्पाद (मजबूत बनाम कमजोर एनपी कठोरता)

मैं उम्मीद कर रहा था कि कोई मुझे समझाने में सक्षम हो सकता है कि क्यों सबसेट उत्पाद समस्या दृढ़ता से एनपी-हार्ड है जबकि सबसेट समस्या एनपी-हार्ड कमजोर है।

सबसेट सम: $X = \{x_1,...,x_n\}$ और , करता है वहाँ मौजूद एक सबसेट ऐसा है कि । $T$ $X'$ $\sum_{i\in X'}x_i = T$

सबसेट उत्पाद: और को देखते हुए , क्या एक उपसमुच्चय मौजूद है जैसे कि । $X = \{x_1,...,x_n\}$ $T$ $X'$ $\prod_{i\in X'}x_i = T$

मैंने हमेशा सोचा था कि दो समस्याएं समतुल्य थीं - एसएस का एक उदाहरण एसपी के एक उदाहरण के लिए प्रतिरूपण के माध्यम से और एसपी के एक उदाहरण के लिए लघुगणक के माध्यम से एसएस में बदल सकता है। इसने मुझे यह निष्कर्ष निकालने के लिए प्रेरित किया कि वे दोनों एनपी-हार्ड के एक ही वर्ग के थे - यानी, वे दोनों कमजोर एनपी-हार्ड थे।

इसके अलावा, ऐसा प्रतीत होता है कि एक ही पुनरावृत्ति का उपयोग बहुत कम परिवर्तन (एसपी में विभाजन के साथ एसएस में घटाव की जगह) के साथ गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग करके दोनों समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।

जब तक मैं बर्नार्ड मोरेट द्वारा "कम्प्यूटेशन के सिद्धांत" के अध्याय 8 को नहीं पढ़ता, (पुस्तक के बिना उन लोगों के लिए, इसके पास X3C के माध्यम से सबसेट उत्पाद की कठोरता का प्रमाण है - एक जोरदार एनपी-कठिन समस्या)।

मैं कमी को समझता हूं, लेकिन यह नहीं जान सकता कि मेरे पहले के निष्कर्ष (दो समस्याओं के समतुल्य) के साथ क्या गलत था।

अद्यतन : पता चलता है कि सबसेट उत्पाद केवल कमजोर एनपी-पूर्ण है (लक्ष्य उत्पाद में घातीय है )। गैरी और जॉनसन ने 1981 में अपने एनपी-पूर्णता कॉलम में इसे प्रकाशित किया था , लेकिन मुझे लगता है कि यह उनकी पुस्तक में उनके पहले के दावे से कम दिखाई दे रहा था। $\Omega (n)$

— RDN
स्रोत

संभवतः यह कल्पना करना अच्छा होगा कि आप अपने गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम को कैसे लागू करेंगे। फिर, आप पाएंगे कि क्या गलत था।

— योशियो ओकामोटो

@ मोहम्मदअल-तुर्कस्टनी: इस स्तंभ

— RDN

जवाबों:

सबसेट सम और सबसेट प्रोडक्ट की समतुल्यता की समस्या के बारे में सबसेट प्रोडक्ट के बारे में एक तकनीकीता है। यदि एक्स घातांक नहीं है तो x = T का उत्पाद वास्तव में Psuedopolynomial है! इसलिए सबसेट प्रोडक्ट के सबूत एनपी हार्ड नहीं हैं (तकनीकी कारणों से !!!) काफी सही नहीं हैं!

हालाँकि यह वादा किया गया है कि T बड़ा है फिर Logarithms के माध्यम से Subset Sum में कमी एक NONSTANDARD SUBSET SUM देता है जो कि वास्तविक से अधिक है! इसका मतलब यह है कि सबसेट सम के लिए Psuedopolynomial एल्गोरिथ्म लागू नहीं होता है! हालाँकि, लघुगणक छोटे हैं, दशमलव स्थानों में Psuedopolynomial डायनामिक प्रोग्रामिंग गड़बड़ करती है!

आशा है कि ये आपकी मदद करेगा

Zelah

— ज़ेलह 02
स्रोत

आपको लगता है कि गलतियां कम होने के बारे में आप सभी सही थे (यानी, दावा करते हैं कि वे मजबूत एनपी-पूर्णता दिखाते हैं, जब वे नहीं करते हैं)। धन्यवाद!

— RDN

सबसे पहले, एसएस से एसपी काम करने के लिए घातांक का उपयोग करना काम करता है (बेस बजाय बेस 2 का उपयोग करके ), लेकिन इसमें शामिल संख्याओं के आकार को उड़ा देता है। कमजोर एनपी-कठोरता का मतलब है कि यदि संख्याएं छोटी हैं (या अधिक सटीक रूप से, असमान में चिह्नित), तो समस्या अब कठिन नहीं है। इसलिए, एसपी के आसान उदाहरणों के लिए, जहां एसपी में अंक लिखे जाते हैं, एक्सप्रैसिएशन का उपयोग एसपी के घातीय आकार के उदाहरण भी बनाता है। $e$

दूसरे, एसपी से एसएस तक जाने के लिए लॉगरिदम का उपयोग करना काम नहीं करता है, क्योंकि लॉगरिदम आमतौर पर गैर-पूर्णांक मान उत्पन्न करता है। एसएस और एसपी को पूर्णांक संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, और लघुगणक अक्सर ट्रान्सेंडैंटल मानों का परिणाम देते हैं, जिन पर गणित का प्रतिनिधित्व करना या करना कठिन होता है।

<edit>

चलो एक पूर्णांक होना, $A$ , तो तर्कसंगत है यदि और केवल 2 की शक्ति है, और ट्रान्सेंडैंटल अन्यथा। सबसे पहले, यदि $A > 0$ $\log_2 A$ $A$ अशून्य पूर्णांकों के लिएऔर, तो $\log_2 A = \frac{p}{q}$ $p$ $q$ ,। इसलिए हमारे पासमुख्य अपघटन द्वाराहै। इसके अलावा $A = 2^{\frac{p}{q}}$ $A^q = 2^p$ $A = 2^r$ , इसलिए हम साबित करने के लिए और चुन सकते हैं, तर्कसंगत है। $A^{rq} = 2^p$ $A$ $q=1$ $p=r$ $\log_2 A$

हमें बस यह दिखाने की जरूरत है कि कभी भी पारलौकिक नहीं है। यह Gelfond-Schneider theorem से इस प्रकार है , एक समतुल्य सूत्रीकरण के लिए (जैसा कि विकी पृष्ठ पर पाया जा सकता है) है "यदि और गैर-बीजीय बीजीय संख्याएं हैं, और हम किसी भी गैर-शून्य लॉगजीथ को लेते हैं , तब $\log_2 A$ $\alpha$ $\gamma$ $\alpha$ या तो तर्कसंगत या पारलौकिक है। " यह भी आसान प्रमेय बातचीत लेने और सेटिंग के द्वारा सत्यापित करने के लिए है और इसलिए $(\log \gamma)/(\log \alpha) = \log_\alpha \gamma$ $\alpha^\beta = \gamma$ । $\beta = \log_\alpha \gamma$

</edit>

अंत में, विचार करें कि जब हम एसपी पर एसएस से गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म की कोशिश करते हैं तो क्या होता है। क्योंकि हम रकम के बजाए उत्पादों का उपयोग करते हैं, इसमें शामिल संख्या बहुत अधिक बढ़ जाती है, और आवश्यक रूप से आवश्यक सटीक गणित अचानक चलने वाले समय में एक कारक बन जाता है। यही कारण है कि एल्गोरिथ्म एसपी उदाहरणों को जल्दी से हल नहीं कर सकता है, भले ही संख्याएं एकात्मक हों।

— एलेक्स दस कगार
स्रोत

यह कुछ दिलचस्प विशेष मामले की ओर जाता है। लॉग की अभिव्यक्तियों को तर्क के रूप में किस संख्या के वर्ग के लिए और अनंत परिशुद्धता की आवश्यकता नहीं है? इस मामले में समस्याएं वास्तव में एक-दूसरे के लिए लगभग बराबर और कम करने योग्य होंगी। यह भी एक "प्राकृतिक" सन्निकटन एल्गोरिथ्म की ओर ले जाने लगता है।

— vzn

शानदार जवाब के लिए धन्यवाद! मेरे पास बस एक ही मुद्दा है - मुझे लगता है कि लॉग्स लेना क्यों गैरकानूनी है (शायद इस मामले को छोड़कर जहां लॉग्स लंबाई में पॉली हैं - जैसा कि vzn बताते हैं), लेकिन मैं अभी भी एसएस से एसपी तक जाने की वैधता के बारे में अनिश्चित हूं। घातांक के माध्यम से। WRT, सपा के लिए एस एस से जा रहा के रूप में आप का उल्लेख (घातांक के माध्यम से) हम निम्नलिखित समस्या में पड़ नहीं है: के इनपुट उदाहरण में बिट्स की संख्या

है

और में बिट्स की संख्या

का उदाहरण

। यह एक घातीय प्रहार है। तो क्या यह अभी भी कानूनी है? अगर है, तो क्यों?

I_{S S}

$I_{SS}$

O (n \log x)

$O(n\log x)$

I_{S P}

$I_{SP}$

O (n x)

$O(nx)$

— RDN

@vzn, RDN: मैं एक लक्षण वर्णन में संपादित करता हूं जब लॉगरिदम ट्रान्सेंडैंटल होता है। कटौती में झटका-अप के बारे में, यह 'कानूनी' की आपकी परिभाषा पर निर्भर करता है: कमी सही है , फिर भी इसकी दक्षता बहुपद नहीं है, और इसलिए एनपी-कठोरता के बारे में कुछ भी नहीं कहा गया है। इसलिए यह एक सही पॉली-टाइम कटौती नहीं है, बल्कि यह एक सही कमी है (बिना क्वालीफायर के)।

— एलेक्स दस ब्रिंक

यह भी एक विशेष मामला है जहाँ सभी संख्याएँ

, प्रत्येक

तर्कसंगत, किसी भी

, न कि केवल

। सन्निकटन एल्गोरिथ्म मैं सोच रहा था कि एक

ऐसा हो सकता है कि मूल "में" मूल्यों का रूपांतरण "आधार" है।

c^{n_{i}}

$c^{n_i}$

n_{i}

$n_i$

c

$c$

c = 2

$c=2$

c

$c$

— vzn

शाब्दिक व्याख्या यह है कि सबसेट उत्पाद समस्या एनपी-पूरी तरह से एनपी-पूर्ण समस्या से कमी से होती है, जैसे कि 3-सेट द्वारा सटीक कवर। इस तरह के "मजबूत" कमी में, इनपुट पूर्णांकों को सबसेट उत्पाद समस्या के परिणामस्वरूप उदाहरण में पूर्णांक की संख्या में कुछ बहुपद समारोह द्वारा बाध्य किया जाता है।

ऐसी "मजबूत" कमी किसी भी एनपी-पूर्ण समस्या से सबसेट सम समस्या तक असंभव है जब तक कि । यदि बहुपद एक बहुपद द्वारा बाध्य किया जाता है, तो सबसेट सम समस्या को हल करने के लिए हमारे पास बहुपद-काल गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिथ्म है। $P=NP$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

हां मैं समझता हूं। मेरा प्रश्न इस बारे में था कि मैंने पहले जो निष्कर्ष निकाला था, वह गलत था (यानी, एसएस और एसपी की समानता)।

— RDN

@rdn जब तक P = NP नहीं होगा तब तक उस अर्थ में समान नहीं हैं।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

हां, मुझे वह मिल गया। लेकिन मैं यह जानना चाहता हूं कि दोनों दिशाओं में मेरी कटौती में क्या गलत था।

— आरडीएन

क्या आप कटौती को रेखांकित कर सकते हैं?

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

चलो

एस एस और का एक उदाहरण हो सकता है

सपा का एक उदाहरण हो सकता है। बदलने

में

करते हैं:

और

। बदलने

I (S S) = ⟨ X, S ⟩

$I(SS)=\langle X, S \rangle$

I (S P) = ⟨ Y, P ⟩

$I(SP)=\langle Y, P \rangle$

I (S S)

$I(SS)$

I (S P)

$I(SP)$

P = e^{S}

$P = e^S$

Y_{i} = e^{X_{i}}

$Y_i = e^{X_i}$ । योग का एक एसएस मौजूद

iff वहां मौजूद उत्पाद के एक सपा

S

$S$

P = e^{S}

$P = e^S$

में

: Let

और

। एस

का कोई उत्पादमौजूद है अगर वहां

का एसएस मौजूद है।

I (S P)

$I(SP)$

I (S S)

$I(SS)$

S = l o g (P)

$S = log(P)$

X_{i} = \log (Y_{i})

$X_i = \log(Y_i)$

P

$P$

S = \log (P)

$S = \log(P)$

— आरडीएन