उनके बीच यात्रा के समय को अधिकतम करने के लिए ओवरलैपिंग सर्कल की स्थिति का एक खेल

Question

मैंने निम्नलिखित गेम का सामना किया। मैं अनुरोध के अनुसार इसे स्थानांतरित करूँगा।

• एक बग हलकों का दौरा कर रहा है, और एक विरोधी अपनी यात्रा के समय को अधिकतम करने की इच्छा रखता है।

• विपक्षी हर मोड़ पर एक वृत्त रखता है।

• बग यह वर्तमान स्थिति से सीधे नवीनतम सर्कल के केंद्र की ओर चलता है, तब रुक जाता है जब यह सर्कल के इंटीरियर का सामना करता है (इस प्रकार: यह चलता नहीं है यदि कोई सर्कल अपने स्थान को कवर करता है)। यह बग की बारी है।

• कर रहे हैं हलकों विरोधी के लिए उपलब्ध।$N$

• प्रत्येक बाद वाले सर्कल में पिछले सर्कल की तुलना में त्रिज्या कम है।

• प्रत्येक सर्कल को पहले से खेले गए सभी सर्कल के चौराहे को काटना चाहिए। यानी सभी सर्कल एक बार खेलने के बाद एक सामान्य चौराहा होना चाहिए।

EDIT: परिधि की त्रिज्या का चयन करने के लिए विरोधी स्वतंत्र है, बाधा के अधीन है कि मौलिक रूप से घटता है।

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प्रश्न एवं उत्तर:

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1. के रूप में दूरी है घिरा? $N\to\infty$A: नहीं, इस उत्तर द्वारा एक प्रतिकूल रणनीति का उदाहरण दिया जाता है
2. बग को मंडलियों के खेलने पर अधिकतम दूरी कितनी होनी चाहिए । $N$एक: यह कम से बढ़ता है , एक ही जवाब से।$\Theta(\log(N))$

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वेरिएंट 2 : बग दो सबसे हाल ही में खेले गए सर्कल के चौराहे की ओर सीधे चलता है ।

अद्यतन: इस संस्करण को इस धारणा के तहत संबोधित किया गया था कि बग केवल यहां खेले गए अंतिम 2 हलकों को याद रख सकता है । नतीजा फिर से एक निर्बाध दूरी थी।

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अनलिमिटेड मेमोरी का क्या प्रभाव पड़ता है ? यानी, बग सभी पहले से खेले गए सर्कल के चौराहे पर जाता है । इसने एक "ढीला" बाउंड उत्पन्न किया , जहाँ d पहले सर्कल का व्यास है। जाहिर है कि यह इससे कम नहीं हो सकता। देखें यहाँ । वर्तमान ऊपरी सीमा 1000 × $O(d)$$d$$1000\times d$ । यह उत्तरोत्तर छोटे हलकों के आसपास के दौरे के रूप में सबसे खराब स्थिति पथ का अनुमान लगाकर प्राप्त किया गया था। यह दिखाया गया था कि बग हमेशा अंतिम चौराहे की ओर प्रगति करता है, इस प्रकार यह अगले चरण की दूरी को कम करना चाहिए।

मुझे संदेह है कि यात्रा की गई दूरी पहले सर्कल की परिधि का एक छोटा स्थिर समय है, लेकिन मैं वर्तमान में एक अच्छा प्रमाण प्रदान करने में सक्षम नहीं हूं।

Comments

क्या परिधि द्वारा चुने गए वृत्तों की त्रिज्या है? क्या उसे एक समारोह के रूप में radii लेने की अनुमति है ? (इसके अलावा, मुझे नहीं लगता कि यह गेम थ्योरी में है)$N$

— HdM

यह निश्चित रूप से एक खेल है ..

— सुरेश वेंकट

यह मुझे थोड़ा अजीब लगता है कि एक प्रतिबंध है कि हलकों में एक सामान्य चौराहा है लेकिन यह कि बग की गति जरूरी नहीं है कि इसे आम चौराहे में लाया जा सके। हो सकता है कि उत्तर अलग-अलग होगा यदि बग सीधे नए चौराहे के केंद्र की बजाय वर्तमान चौराहे के निकटतम बिंदु पर चला गया?

— डेविड एप्पस्टीन

@DavidEppstein: मुझे लगता है कि आपका सुझाव सही है। आपके द्वारा सुझाए गए वेरिएंट में, कुल दूरी की यात्रा जहाँ r , बग से पहली सर्कल के केंद्र तक की प्रारंभिक दूरी है। मैं नीचे एक दूसरे उत्तर में एक सबूत स्केच जोड़ूंगा। $O(r)$$r$

— नील यंग

@vzn और mods आमतौर पर अनुरोधों को समायोजित करते हैं।

— जोश वेंडर हुक

Answer 1

इस उत्तर के दो भाग हैं, एक साथ दिखा रहा है कि सही बाध्य है :$\Theta(\log N)$

1. की निचली सीमा (पहले सर्कल के त्रिज्या से गुना)।$\Omega(\log N)$
2. का एक ऊपरी ऊपरी मिलान ।$O(\log N)$

के लिए बाध्य कम $\Omega(\log N)$

एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली दो इकाई मंडलियों पर विचार करें । (नीचे देखें; पी दाईं ओर है, बाईं ओर बग शुरू होता है।) एक सर्कल और दूसरे के बीच वैकल्पिक। बग दो सर्किलों के बीच क्रेविस के पार ऊपर-नीचे ज़िग-ज़गिंग की यात्रा करेगा, जो ज्यादातर ऊपर और नीचे बढ़ता है लेकिन धीरे-धीरे दाईं ओर बढ़ता है। मैं त्रिकोणमिति सही ढंग से किया गया है, के बाद एन कदम, आम बिंदु से दूरी हो जाएगा Θ ( 1 / $p$$p$$N$, औरएनवें कदम बग चलने के लिए कारण होगाΘ(1/एन), की कुल दूरी के लिएΘ(लॉग ऑनएन)।$\Theta(1/\sqrt N)$$N$$\Theta(1/N)$$\Theta(\log N)$

यहाँ गणना का एक स्केच है। कुछ दो लगातार चरणों पर विचार करें जो बग बनाता है। वह कुछ बिंदु , बी से , सी तक जाता है । अंक एक और सी एक ही सर्कल पर हैं; बिंदु b दूसरे सर्कल पर है। आज्ञा देना ओ केंद्र चक्र है कि एक पर है। आकार में कमी के क्रम में निम्नलिखित तीन त्रिकोणों पर विचार करें:$a$$b$$c$$a$$c$$b$$o$$a$

1. Isoceles त्रिकोण (याद पी आम बात है)।$\triangle oap$$p$
2. त्रिकोण ।$\triangle abp$
3. छोटा त्रिभुज $\triangle abc$

ये त्रिभुज लगभग समान हैं (यानी, अनुरूप मोड्यूलो स्केलिंग)। अधिक सटीक, , तीनों के पास निम्नलिखित संपत्ति है: छोटे पैर की लंबाई से लंबे पैर का अनुपात Θ ( following ) है । (मैं किसी भी अधिक विस्तार यहाँ में यह साबित नहीं है, लेकिन ध्यान दें कि ε → 0 के रूप में बग चलता है, और एक नगण्य राशि से प्रत्येक त्रिकोण में एक शीर्ष perturbing द्वारा, त्रिभुज समरूप बनाया जा सकता है।)$\epsilon = |ap|$$\Theta(\epsilon)$$\epsilon\rightarrow 0$

पहले त्रिकोण के लंबे पैर और p o की लंबाई 1 है। इसका छोटा पैर | a पी | लंबाई ϵ है । सेगमेंट एक पी ताकि त्रिकोण का शॉर्ट लेग, दूसरी त्रिकोण का एक लंबा पैर है एक ख लंबाई है Θ ( ε 2 ) । सेगमेंट एक ख ताकि त्रिकोण का शॉर्ट लेग, तीसरे त्रिकोण का एक लंबा पैर है एक सी लंबाई है Θ ( ε 3 ) । इस प्रकार, इन दो चरणों में बग लेता है:$co$$po$$|ap|$$\epsilon$$ap$$ab$$\Theta(\epsilon^2)$$ab$$ac$$\Theta(\epsilon^3)$

1. की दूरी बग यात्रा है Θ ( ε 2 ) ।$|ab|+|bc|$$\Theta(\epsilon^2)$
2. आम बात करने के लिए बग से दूरी से कम हो जाती है ε के लिए ε - Θ ( ε 3 ) ।$p$$\epsilon$$\epsilon-\Theta(\epsilon^3)$

परिभाषित समय से पहले चरणों की संख्या होने के लिए ε टी ≈ 1 / 2 कश्मीर । (2) ऊपर, द्वारा ε एक निरंतर पहलू से के बारे में के बाद कमी Θ ( 1 / ε 2 ) कदम, तो टी कश्मीर + 1 = टी कश्मीर + Θ ( 2 2 कश्मीर ) = टी कश्मीर + Θ ( 4 कश्मीर ) । इस प्रकार, t k = Θ ( 4 $t_k$$\epsilon_t \approx 1/2^k$$\epsilon$$\Theta(1/\epsilon^2)$$t_{k+1} = t_k + \Theta(2^{2k}) = t_k + \Theta(4^k)$ । यह है कि, के बाद Θ ( 4 कश्मीर ) कदम, आम बात करने के लिए बग से दूरी पी के बारे में हो जाएगा 1 / 2 कश्मीर । बदल रहा है चर, के बाद एन कदम, आम बात करने के लिए बग से दूरी हो जाएगा ε = Θ ( 1 / $t_k = \Theta(4^k)$$\Theta(4^k)$$p$$1/2^k$$N$। और, मेंएनवें कदम, बग यात्राΘ(ε2)=Θ(1/एन)। तो कुल दूरी पहले में यात्रा कीएनकदम दूर हैΘ(1+1/2+1/3+।।।+1/एन)=Θ(लॉग ऑनएन)।$\epsilon = \Theta(1/\sqrt N)$$N$$\Theta(\epsilon^2) = \Theta(1/N)$$N$$\Theta(1+1/2+1/3+...+1/N) = \Theta(\log N)$

यह निचली सीमा है।

यह प्रस्तावित वेरिएंट 2 तक फैला है (जैसा कि मैं इसे समझता हूं), निम्नानुसार है:

प्रतिबंध को जोड़ना कि बग को सबसे हाल ही में रखे गए दो हलकों के चौराहे में निकटतम बिंदु पर जाना चाहिए, मदद नहीं करता है। है यही कारण है, के निचले हिस्से के ऊपर बंधे अभी भी लागू होता है। यह देखने के लिए कि, हम ऊपर दिए गए उदाहरण को संशोधित करते हुए एक एकल बाहरी वृत्त को जोड़ते हैं जो बग को प्रतिबंध को पूरा करने की अनुमति देता है जबकि अभी भी उसी रास्ते से यात्रा कर रहा है:$\Omega(\log N)$

हरे और नीले वृत्त ऊपर के उदाहरण से दो वृत्त हैं। चौराहा अंक और बी एक ही है और बी ऊपर उदाहरण के रूप में हैं। लाल सर्कल नया "एक्सट्रॉनिक" सर्कल है। पिछला अनुक्रम नीले और हरे रंग के हलकों के बीच बारी-बारी से होता है। नया अनुक्रम यह अनुक्रम होगा, लेकिन पुराने अनुक्रम में हर सर्कल से पहले जोड़े गए लाल वृत्त के साथ: लाल, नीला, लाल, हरा, लाल, नीला, लाल, हरा, लाल, नीला, ...$a$$b$$a$$b$

मान लीजिए बग पर बैठा है के बाद नीला रखा गया है। अगला सर्कल लाल रखा गया है। लाल में बग होता है, इसलिए बग हिलता नहीं है। अगला सर्कल हरा है। अब बग बी पर चला जाता है (जो हरे और लाल हलकों के चौराहे पर निकटतम बिंदु है)। इसे दोहराते हुए, बग पहले की तरह यात्रा करता है।$a$$b$

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ऊपरी सीमा $O(\log N)$

मैं केवल प्रमाण को स्केच करता हूं।

हलकों के किसी भी क्रम को ठीक करें। हम लोगों का तर्क होगा कि के रूप में , कुल दूरी बग द्वारा पहले में यात्रा की एन कदम दूर है हे ( लॉग ऑन एन ) । सामान्यता के नुकसान के बिना मान लें कि पहले सर्कल में त्रिज्या 1 है।$N\rightarrow \infty$$N$$O(\log N)$

एक मनमाने ढंग से बड़े ठीक करें । पहले एन सर्कल के चौराहे पर किसी भी बिंदु से पी चलो । ध्यान दें कि जिस तरह से बग चलता है, प्रत्येक चरण में बग चलता है, यह p के करीब हो जाता है ।$N$$p$$N$$p$

पहले, उन चरणों पर विचार करें जहां निम्न अनुपात कम से कम : पी के $1/\log N$ ऐसे चरणों में यात्रा की गई कुल दूरीO(logN) है, क्योंकि ऐसे चरणों में यात्रा की गई कुल दूरीPकी प्रारंभिक दूरीO(logN) है। इसलिए हमें केवल अन्य चरणों में यात्रा की गई कुल दूरी को बांधने की आवश्यकता है --- जिन में यह अनुपात अधिकतम1/लॉगएन है।

$$\frac{\mbox{the reduction in the distance to } p}{\mbox{the distance traveled in the step}}.$$ $O(\log N)$$O(\log N)$$p$$1 / \log N$

सबसे पहले, हम थोड़ा कमजोर कुछ तर्क है: कि कुल दूरी इस तरह के कदम में यात्रा की पहले वृत्त की त्रिज्या 1/2 करने के लिए कम हो जाती है या उससे कम है । (हम बाद में दिखाते हैं कि यह बाउंड देने के लिए पर्याप्त है।)$O(\log N)$

ऐसे किसी भी कदम पर विचार करें। चलो और ख , क्रमश: पहले और कदम के बाद बग के स्थानों को दर्शाते हैं। चलो o वर्तमान वृत्त के केंद्र को निरूपित करते हैं। चलो ख ' रे पर बिंदु को निरूपित → पी बी ऐसा है कि | पी ए | = | पी बी | :$a$$b$$o$$b'$$\overrightarrow{pb}$$|pa| = |pb|$

निम्नलिखित त्रिकोणों पर विचार करें:

1. $\triangle opb$
2. $\triangle pba$
3. $\triangle abb'$

बाध्य कम कुछ के लिए, में उन लोगों के समान ज्यामितीय तर्क करके , इन त्रिकोण के प्रत्येक लंबे पैर लंबाई करने के लिए शॉर्ट लेग लंबाई के दो लंबे पैर और एक शॉर्ट लेग, और अनुपात (प्रत्येक त्रिकोण के लिए) है Θ ( ε ) : | b b ′ $\epsilon$$\Theta(\epsilon)$

$$\frac{|bb'|}{|ab|} = \Theta\big(\frac{|ab|}{|pa|}\big) = \Theta\big(\frac{|pa|}{|bo|}\big) = \Theta(\epsilon).$$

$|bo|$$[1/2,1]$$|ab| = \Theta(|pa|^2/|bo|) = \Theta(|pa|^2)$$|bb'| = \Theta(|ab||pa|/|bo|) = \Theta(|pa|^3)$

$p$$d$$d'$$d=|pa|$$d'=|pb|$$d-d' = |bb'|$

$d$$|bb'|$$\Omega(d^3)$

$d/2$$O(1/d^2)$$d=1/2^k$$1/2^{k+1}$$O(4^k)$$1/2^{k}$$O(1/4^k)$$n$$p$$O(1/\sqrt n)$

$n$$|ab|$$O((\mbox{the current distance to } p)^2) = O(1/n)$$N$$[1/2,1]$

$$\sum_{n=1}^N O(1/n) = O(\log N).$$

$k$$[1/2^k, 1/2^{k+1}]$$O(\log(N)/2^k)$$k$$O(\log N)$

Comments

बहुत साफ निर्माण!

— सुरेश वेंकट

मुझे यह उत्तर पसंद आएगा लेकिन मुझे आपके ट्रिगर पर भरोसा नहीं है। कुछ और विवरणों का कोई मौका?

— जोश वेंडर हुक

ठीक है, मैंने विवरण जोड़ा।

— नील यंग

$\sum_{i=0}^\infty 0.99^i = 100$

यह शर्म की बात है कि हम जवाब को पसंदीदा के रूप में चिह्नित नहीं कर सकते हैं !

— जेफ

Answer 2

डेविड ई। ने अनुमान लगाया

"शायद जवाब अलग होगा अगर बग नए चौराहे के केंद्र की बजाय, वर्तमान चौराहे के निकटतम बिंदु पर सीधे चला गया?"

(EDIT: ध्यान दें कि यह मूल पोस्टर प्रश्न के अंत में "वैरिएंट 2" के समान नहीं है)

यहाँ उनके अनुमान के (अधिक या कम) प्रमाण हैं (यह इस मामले में बंधे हुए हैं)।

$O(d_0)$$d_0$

$o$$o$$0$

$o$$1, 0.99, 0.99^2, 0.99^3, \ldots$

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$d$$10 d$

$t$$\alpha(t)$

$\alpha(t)$

$\alpha(t)$$1/100$$1/100$$\alpha(t) < 89$$9$$\alpha(t)$$t$$\alpha(t) \in [89,90]$$1/100$

$p$$p$$p$

$\alpha(t) \in [89,90]$$1/100$$1$$10$$8$$2\pi< 7$, आधा रिंग बग के शुरू होते ही मर जाता है, और बग किसी भी मृत बिंदु पर वापस नहीं आ सकता है, इसलिए यह असंभव है। यह दावा साबित करता है (कम या ज्यादा; शायद कोई और अधिक सटीक तर्क दे सकता है)।

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$$\sum_{i=0}^\infty 10 (0.99)^i ~=~ 1000.$$

जाहिर है यहां स्थिर कारक ढीला है। उदाहरण के लिए, यदि बग 89 डिग्री या उससे अधिक के कोण पर पहली अंगूठी में यात्रा करता है, तो यह तुरंत त्रिज्या 1 के संदर्भ में लगभग आधा अंक मारता है (न कि केवल एक अंगूठी में अंक)।

Comments

$2\pi r_0$

$O(1)$$\Omega(\log N)$$N$

हम्म। हाँ, मैं "स्पष्ट" के बारे में उस बिट को वापस लेता हूं, जो खराब स्वाद में था। यह तुरंत स्पष्ट नहीं है। क्या यह सच है कि समस्या 2 में ऊपरी सीमा समस्या 1 में ऊपरी सीमा से कम होनी चाहिए?

— जोश वेंडर हुक

$O(d_0)$$N$$\Omega(d_0 \log N)$$d_0$