के-नियमित रेखांकन की हैमिल्टनिटी

Question

यह ज्ञात है कि यह परीक्षण करने के लिए एनपी-पूर्ण है कि क्या एक हैमिल्टनियन चक्र 3-नियमित ग्राफ में मौजूद है, भले ही वह प्लेनर (गैरी, जॉनसन, और टारजन, सियाम जे। कंपट 1976) हो या द्विदलीय (अकीयामा, निसीज़की)। और सैटो, जे। इंफो। प्रोक। 1980) या यह परखने के लिए कि क्या हैमिल्टनियन चक्र 4-नियमित ग्राफ में मौजूद है, तब भी जब यह जॉर्डन वक्रों (इवामोतो और टूसेंट, आईपीएल 1994) की व्यवस्था द्वारा बनाया गया ग्राफ है।

के-नियमित रेखांकन के हैमिल्टनिटी का परीक्षण करने के लिए एनपी-पूर्ण होने के लिए किस अन्य के लिए जाना जाता है?

जिस विशेष मामले में मेरी रुचि है, वह 6-नियमित रेखांकन है, अतिरिक्त शर्त के साथ कि ग्राफ में विषम संख्या है। अगर इस मामले को एनपी-पूर्ण (या बहुपद) दिखाया जा सकता है तो इसका http://arxiv.org/abs/1009.0579 में वर्णित ग्राफ़ ड्राइंग समस्या में प्रभाव पड़ेगा । "विषम संख्या" स्थिति है क्योंकि मैं वास्तव में जो जानना चाहता हूं, वह है 6-नियमित रेखांकन के लिए, चाहे ग्राफ में हैमिल्टनियन चक्र हो या द्विदलीय 2-कारक; लेकिन विषम संख्या में होने से द्विपद 2-कारक की संभावना समाप्त हो जाती है, जिससे केवल हैमिल्टन चक्र की संभावना बच जाती है।

Answer 1

पहला कदम मान लें कि ग्राफ में वर्टिकल की संख्या भी है। दूसरे चरण में, हम निर्माण का विस्तार करेंगे, ताकि यदि k भी हो, तो हम यह दिखाएंगे कि ग्राफ को विषम संख्या में कैसे मोड़ना है।

समाधान अन्य उत्तर में सुझाए गए विचार का परिशोधन है।

पहला भाग

दावा: एक अनियमित ग्राफ G को कई संख्याओं के साथ देखते हुए , एक ग्राफ H की गणना कर सकता है जो कि ( k + 1 ) है , और H हैमिल्टनियन iff $k$$G$$H$$(k+1)$$H$$G$ हैमिल्टनियन है।

प्रमाण: अनियमित ग्राफ G की दो प्रतियां लें , उन्हें G 1 और G 2 कहें । एक शीर्ष के लिए वी ∈ वी ( जी ) , चलो वी 1 और वी 2 इसी प्रतियां हो। V के लिए k + 2 शीर्षकों के साथ एक क्लिक बनाएं । दो कोने उठाओ वी ' और वी " इस गुट में, और उनके बीच बढ़त को हटा दें। इसके बाद, कनेक्ट v 1 करने के लिए वी ' और वी $k$$G$$G_1$$G_2$$v \in V(G)$$v_1$$v_2$$k+2$$v$$v'$$v''$$v_1$$v'$$v_2$to । चलो सी ( v ) के लिए इस घटक निरूपित v ।$v''$$C(v)$$v$

सभी कोने के लिए इसे दोहराएं , और एच को परिणामस्वरूप ग्राफ को निरूपित करें।$G$$H$

जाहिर है, ग्राफ है कश्मीर + 1 नियमित। हम दावा करते हैं कि एच हैमिल्टनियन है और यदि केवल जी हैमिल्टनियन है।$H$$k+1$$H$$G$

एक दिशा स्पष्ट है। में एक हैम्बिल्टनियन चक्र को देखते हुए , हम इसे एच में एक चक्र में अनुवाद कर सकते हैं । वास्तव में, जब भी चक्र एक शीर्ष v पर जाता है , तो हम इसे C 1 ( v ) में सभी चक्करों का दौरा करते हुए v 1 से v 2 (या इसके विपरीत) की ओर बढ़ते हैं । जैसे, एच में यह एक हैमिल्टनियन चक्र का परिणाम है । (ध्यान दें, यह वह जगह है जहां हम इस तथ्य का उपयोग कर रहे हैं कि मूल संख्या सम है - यदि चक्र विषम है तो यह टूट जाएगा।)$G$$H$$v$$v_1$$v_2$$C(v)$$H$

दूसरी दिशा के लिए, में एक हैमिल्टन चक्र पर विचार करें । यह होना चाहिए कि सी ( वी ) चक्र 1 के एक हिस्से से दौरा किया जाता है जो वी 1 में शुरू होता है , सी ( वी ) के सभी कोने का दौरा करता है और वी 2 (या सममित विकल्प) से निकलता है । दरअसल, Hamiltonian चक्र में प्रवेश करने और एक ही से नहीं छोड़ सकते वी मैं । जैसे, एच में एक हैमिल्टनियन चक्र, जी में एक हैमिल्टनियन चक्र के रूप में एक प्राकृतिक व्याख्या । QED।$H$$C(v)$$v_1$$C(v)$$v_2$$v_i$$H$$G$

दूसरा भाग

जैसा कि Tsuyoshi द्वारा नीचे उल्लेख किया गया है कि किसी भी 3-नियमित ग्राफ़ में संख्याओं की संख्या है। इस प्रकार, समस्या अनियमित ग्राफ़ के लिए सम संख्याओं के साथ कठिन है । अर्थात्, ऊपर कमी से पता चलता है समस्या किसी के लिए मुश्किल है कश्मीर , नियमित ग्राफ हालांकि परिणामी ग्राफ़ कोने की समान संख्या है।$3$$k$

हम मानते हैं, कि इसका अर्थ है कि निम्न समस्या एनपी-हार्ड है।

समस्या एक: निर्णय लेना है, तो एक-कश्मीर नियमित ग्राफ कोने की भी संख्या के साथ एक Hamiltonian चक्र के माध्यम से एक विशिष्ट किनारे जा रहा है ई ।$G$$e$

हालांकि, यदि भी है तो एक उदाहरण ( G , e ) दिया जाता है , हम इसे वांछित समस्या को कम कर सकते हैं। दरअसल, हम किनारे की जगह ई के एक गुट द्वारा कश्मीर + 1 कोने, गुट में एक किनारे को हटाने, और के अंतिम बिंदुओं को अपने दो समाप्ति बिंदुओं को जोड़ने से पहले के रूप में ई , और हटाने ई ग्राफ से। स्पष्ट रूप से, नए ग्राफ H के लिए :$k$$(G, e)$$e$$k+1$$e$$e$$H$

• , k- अनियमित है।$H$$k$
• , हैमिल्टनियन iff G है, जिसका उपयोग ई के प्रयोग से हैमिल्टनियन करता है।$H$$G$$e$
• है | वी ( जी ) | + k + 1 कोने => H में विषम संख्याएँ हैं।$H$$|V(G)| + k+1$$H$

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ध्यान दें, कि एक नियमित ग्राफ, के लिए कश्मीर अजीब, कोने की समान संख्या होना आवश्यक है (बस किनारों गिनती), जैसे, वहाँ कोई नहीं है कश्मीर के साथ कोने की विषम संख्या के साथ नियमित रेखांकन, कश्मीर अजीब किया जा रहा है।$k$$k$$k$$k$

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परिणाम

यह एनपी हार्ड अगर एक तय करने के लिए है नियमित ग्राफ के लिए एक Hamiltonian चक्र है कश्मीर ≥ 3 । ग्राफ़ के विषम संख्या में होने पर भी समस्या NP-Hard बनी रहती है।$k$$k\geq 3$

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बेशक, यह हमेशा संभव है कि मैंने कुछ बेवकूफ गलती की ...

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व्यायाम

हम एक ग्राफ है कि से जाना चाहते हैं नियमित करने के लिए एक ग्राफ कि है (माना) 2 कश्मीर नियमित तो ग्राफ ऐसे आकार पर निर्भर करता है तेजी से के साथ एक ग्राफ में ऊपर कमी बार-बार परिणाम को लागू करने से उत्पन्न कश्मीर । दिखाएँ, कि एक k- अनियमित ग्राफ G , और i > 2 दिया गया है , एक एक ग्राफ H का निर्माण कर सकता है जो कि ( k + i ) अनियमित है और इसका आकार k , i और n में बहुपद है , जहाँ n संख्याओं की संख्या है। के जी । इसके अलावा,$k$$2k$$k$$k$$G$$i >2$$H$$(k+i)$$k,i$$n$$n$$G$ हैमिल्टन अगर और केवल अगर एच हैमिल्टन है।$G$$H$

(मैं इसे एक अभ्यास के रूप में पोस्ट कर रहा हूं, एक सवाल नहीं, क्योंकि मुझे पता है कि इसे कैसे हल करना है।)

Comments

महान! मुझे लगता है कि वास्तव में यह उत्तर पहले प्रश्न को सुलझाता है "जिसके लिए k- नियमित रेखांकन की हैमिल्टनिटी का परीक्षण करने के लिए इसे NP- पूर्ण के रूप में जाना जाता है?" क्योंकि 3-नियमित रेखांकन में भी समरूप संख्याएँ होती हैं, और ग्राफ? इस परिवर्तन द्वारा किए गए H में भी वर्टिकल की संख्या सम है यदि G की सम संख्या वर्टिकल है।

— त्सुयोशी इतो

लेकिन जब तक मैं गलत नहीं होता, रॉबिन के सबूत के लिए एक ही काउंटर-उदाहरण इस प्रमाण के लिए एक काउंटर-उदाहरण है। G को 2 कोने पर पथ होने दें। फिर यहां प्रक्रिया एच बनाता है, जो 9 चक्र है, जो हैमिल्टन है।

— एमिल

जैसा कि मैंने रॉबिन के जवाब के संबंध में कहा, समस्या यह है कि जब आप एच से जी तक हैमिल्टन चक्र को "प्रोजेक्ट" करने की कोशिश करते हैं, तो चक्र समाप्त हो सकता है एक चक्र नहीं हो सकता है, क्योंकि यह उस स्थान पर वापस हो जाता है जहां यह हुआ है।

— एमिल

@ ईमिल: मुझे लगता है कि 2 कोने पर रास्ता वास्तव में एक विशेष मामला है क्योंकि इसमें हैमिल्टनियन सर्किट है अगर हमें एक ही किनारे को एक से अधिक बार उपयोग करने की अनुमति है।

— त्सुयोशी इतो

@ सार्इल हर-पेलेड: हर ग्राफ में, विषम संख्या (विषम डिग्री के कोने) की संख्या सम है। इसलिए, सभी 3-नियमित ग्राफ़ में वर्टिकल की संख्या समान होती है। मैंने टिप्पणी के पहले संस्करण में इसे साकार किए बिना एक अनावश्यक रूप से जटिल तर्क लिखा था (जिसे मैंने 5 मिनट से भी कम समय में संशोधित किया था), इसलिए मुझे माफ करना यदि आप मेरी पुरानी टिप्पणी पढ़ते हैं और इसके द्वारा भ्रमित होते हैं।

— त्सुयोशी इतो

Answer 2

संपादित करें: यह प्रमाण गलत है, जैसा कि टिप्पणियों में बताया गया है। (क्या मुझे पोस्ट डिलीट करनी चाहिए?)

यह सहज रूप से महसूस करता है कि यदि हैमिल्टनिटी k- नियमित रेखांकन के लिए NP-कठिन है, तो यह (k + 1)-अनियमित रेखांकन के लिए NP-hard भी होना चाहिए। यहाँ एक बैक-ऑफ़-द-लिफाफा कमी है, जो मुझे ठीक लगता है, लेकिन निश्चित रूप से एक गलती हो सकती है।

आज्ञा देना जी एक नियमित रूप से ग्राफ है। बता दें कि G एक G का ग्राफ कार्टेशियन प्रोडक्ट है और एक किनारे है। दूसरे शब्दों में, G 'वह ग्राफ है जिसमें G की दो प्रतियाँ हैं, और प्रत्येक शीर्ष उसकी प्रति से जुड़ा हुआ है। जी 'अब (k + 1) नियमित है, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष पर 1 अतिरिक्त बढ़त मिली है।

दावा: G का हैमिल्टनियन चक्र है यदि और केवल यदि G के पास हैमिल्टन चक्र है।

प्रमाण: यदि G का हैमिल्टनियन चक्र है, तो यह देखना आसान है कि G 'में भी एक है। कहें (यू, वी) हैमिल्टन चक्र में एक किनारे है। उस किनारे का उपयोग किए बिना यू से वी तक के चक्र को आगे बढ़ाएं, और अब किनारे का उपयोग करने के बजाय, वी से वी पर जाएं, जहां वी 'जी की प्रतिलिपि में वी के अनुरूप वर्टेक्स है। अब रिवर्स ऑर्डर में चक्र को पार करें इस ग्राफ में, जो हमें वापस यू में लाएगा '। अब यू से यू पर जाएं, जो चक्र पूरा करता है।

यदि जी 'में एक हेटिलटोनियन चक्र है जो कि वर्टिकल यू से शुरू होता है, तो जी पर ट्रैवर्सल्स के समान अनुक्रम पर विचार करें। हर बार एक चाल को एक ही ग्राफ में एक निकटवर्ती शीर्ष पर बनाया जाता है, हम जी में एक ही चाल बनाते हैं। हर बार एक चाल बनाई जाती है। दूसरे ग्राफ में संबंधित शीर्ष पर, हम कुछ नहीं करते हैं। चूँकि हर चाल ग्राफ G पर मान्य है, और चक्र वर्टीकल u पर समाप्त होता है, यह एक हैमिल्टन चक्र है।

Comments

मैं यह नहीं देख सकता कि प्रूफ का दूसरा पैराग्राफ कैसे काम करता है। यदि हम इस शर्त को छोड़ देते हैं कि G, k- नियमित है, तो G को एक पथ होने का दावा करने के लिए एक प्रतिरूप देता है कि यदि G ian हैमिल्टनियन है तो G भी हैमिल्टनियन है।

— त्सुयोशी इतो

मैं यहाँ पिछले पैराग्राफ के बारे में थोड़ा चिंतित हूँ। जब G 'के लिए हैमिल्टन चक्र "अनुमानित" है (यदि वह सही शब्द है!) G पर, तो हमारे पास एक ऐसी स्थिति हो सकती है जहां चक्र अपने चरणों को पीछे हटाता है।

— एमिल

@ त्सुयोशी: आपको एक काउंटर-उदाहरण मिला है: बस एक नियमित पथ लें - दो कोने वाला मार्ग।

— एमिल

@ त्सुयोशी: आप सही कह रहे हैं। प्रमाण गलत है। क्या मुझे जवाब डिलीट कर देना चाहिए? क्या हमारे पास इस पर कोई नीति है?

— रोबिन कोठारी

@ रबिन, मुझे लगता है कि आपकी पोस्ट को अभी छोड़ दिया जाना चाहिए कि इसने कुछ चर्चा उत्पन्न की है। यह निश्चित रूप से दिखाता है कि यह एक अजीब समस्या है।

— एमिल