अधिकांश व्युत्क्रमों में , कितने क्रमांकन हैं ?

एक क्रमचय पर विचार करें की । एक व्युत्क्रम को सूचकांक की एक जोड़ी के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि और । $\sigma$ $[1..n]$ $(i, j)$ $i < j$ $\sigma(i) > \sigma(j)$

को अधिकांश व्युत्क्रमों के साथ के क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करें । $A_k$ $[1..n]$ $k$

प्रश्न: लिए बाध्य है ? $A_k$

इससे पहले एक संबंधित प्रश्न पूछा गया था: क्रमपरिवर्तन की संख्या जिसमें समान केंडल-ताऊ दूरी है

लेकिन ऊपर प्रश्न कंप्यूटिंग के बारे में था । इसे गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग करके गणना की जा सकती है, क्योंकि यह यहां दिखाए गए पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -sort-स्वैप $A_k$

वास्तव में आक्रमणों के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या का भी अध्ययन किया गया है और इसे एक जनरेटिंग फंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions $k$

लेकिन मैं एक बंद-फॉर्मूला या एक असममित बाध्यता नहीं ढूँढ सकता।

co.combinatorics permutations

— विनायक पाठक
स्रोत

यदि आपके पास एक अनुक्रम के लिए एक बहुपद है, तो आप बहुपद को केवल

बहुपद में जोड़कर उत्पन्न बहुपद प्राप्त कर सकते हैं

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$ । आपके मामले में, आप उस बहुपद का उपयोग करेंगे जिसे आप बिलकुल k-inversions से जोड़ते हैं।

— सुरेश वेंकट

यह वह जगह है oeis.org/A161169

— एंड्रास सालेमन

@ सुरेश वेंकट टिप के लिए धन्यवाद। लेकिन मैं अभी भी

और

संदर्भ में इस वास्तव में जटिल बहुपद में

के गुणांक को खोजने के साथ अटका रहूंगा और मुझे नहीं लगता कि यह कैसे करना है।

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— विनायक पाठक

के गुणांक पाने के लिए

ले

पैदा बहुपद के व्युत्पन्न वें और पर यह मूल्यांकन

।

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— साशो निकोलेव

विकिपीडिया के अनुसार, में क्रमपरिवर्तन की संख्या बिल्कुल साथ व्युत्क्रम का गुणांक है में इसे द्वारा निरूपित करें । इससे पता चलता है कि $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + X) (1 + X + X^{2}) \dots (1 + X + \dots + X^{n - 1}) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

तो में क्रमपरिवर्तन की संख्या

ज्यादा से ज्यादा के साथ

व्युत्क्रम में क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है

वास्तव में साथ

व्युत्क्रम। (: ले संकेत यह एक साफ मिश्रित सबूत के रूप में अच्छी तरह से है

और निकालने

)।

c (n + 1, k) = \sum_{l = 0}^{k} c (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

हम केवल के गुणांक में रुचि रखते हैं , तो कारकों के लिए कोई फर्क नहीं है। तो , के लिए का गुणांक है $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$ इसका मतलब है सूत्र

\begin{aligned} 1 (1 + एक्स) \dots (1 + एक्स + \dots + {एक्स}^{क - 1}) (1 + एक्स + \dots + {एक्स}^{क} + \dots)^{n - क} \\ = & 1 (1 + एक्स) \dots (1 + एक्स + \dots + {एक्स}^{क - 1}) \frac{1}{(1 - एक्स)^{n - क}} \\ = & 1 (1 + एक्स) \dots (1 + एक्स + \dots + {एक्स}^{क - 1}) Σ_{टी = 0}^{\infty} (\binom{टी + n - क - 1}{टी}) {एक्स}^{टी} । \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

c (n, k) = \sum_{t = 0}^{k} (\binom{n + t - k - 1}{t}) c (k, k - t), n > k .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

जब स्थिर है, तो asymptotically सबसे महत्वपूर्ण शब्द अनुरूप है , और हमारे पास $k$ $t = k$

सी (n, क) = (\binom{n - 1}{क}) + {हे}_{क} (n^{क - 1}) = \frac{1}{क!} n^{क} + {हे}_{क} (n^{क - 1}) ।

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

$k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{n - 1}{k}) \leq c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— युवल फिल्मस
स्रोत

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$