बहु भाषा डीएफए कम से कम

मुझे DFA के थोड़े सामान्यीकरण में दिलचस्पी है। हमेशा की तरह हमने राज्य-सेट , परिमित वर्णमाला , एक -चुंबकण को द्वारा परिभाषित किया है , और प्रारंभिक अवस्था ; लेकिन सामान्य टर्मिनल सेट के बजाय, हम के सबसेट के एक परिवार । एक बहु-भाषा डीएफए तब टपल है $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

और को iff से पहचाना जाता है लिए । परिभाषित करें यदि आप चाहें तो M द्वारा मान्यता प्राप्त भाषाओं का परिवार हैं। $L \subseteq \Sigma^*$ $M$ $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ $i\in 1..n$ $(L_i(M))_{i\in 1..n}$

ठीक है, अब मेरे सवाल के लिए: नियमित भाषाओं के एक परिवार को देखते हुए , मैं कम से कम बहु भाषा DFA लगाना चाहते हैं के रूप में इस तरह के ऊपर वर्णित है कि के लिए सभी , अर्थात, ऐसाऐसी सभी मशीनों पर कम से कम किया जाता है। मेरा प्रश्न यह है कि क्या ऐसा करने का कोई ज्ञात कुशल तरीका है, शायद मानक DFA न्यूनतमकरण सिद्धांत के अनुरूप? इसके विपरीत, क्या कोई सबूत है कि यह समस्या कठिन हो सकती है? $(L_i)_{i\in 1..n}$ $M$ $L_i = L_i(M)$ $i\in 1..n$ $|Q|$

automata-theory dfa

— gdmclellan
स्रोत

मुझे ऐसा लगता है कि मानक विभाजन-शोधन आधारित एल्गोरिथ्म, केवल संशोधित है कि क्या वे स्वीकार कर रहे हैं / दिया सबसेट से प्रत्येक के लिए nonaccepting द्वारा राज्यों के आरंभिक सेट विभाजन से शुरू करने के लिए एक सेट के लिए के बजाय , बस काम करना चाहिए हाथोंहाथ। क्यों नहीं होगा? यह केवल राज्यों के जोड़े को विभाजित करता है जब उन्हें विभाजित होना चाहिए, इसलिए यह अभी भी राज्यों के सबसे अधिक संभव शोधन को उत्पन्न करता है।

T_{i}

$T_i$

T

$T$

— डेविड एपस्टीन

@DavidEppstein द्वारा टिप्पणी का प्रमाण आसान है यदि आप तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं iff हर , जहां Myhill-Nerode तुल्यता संबंध है। फिर आप मानक न्यूनीकरण एल्गोरिथ्म के समान लाइनों के साथ आगे बढ़ सकते हैं।

x \sim y

$x\sim y$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$

i

$i$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$

— Shaull

काफी समझ में नहीं आता। इस समस्या का उत्तर अलग-अलग अंतिम राज्यों को छोड़कर, एक ही "सेटअप" के साथ डीएफए के संघ का न्यूनतम डीएफए खोजने में है, प्रत्येक डीएफए के लिए । की मान्यता का मान भी बिल्कुल समझ में नहीं आता है, यह मिश्रण तार और राज्य सेट लगता है।

1.. n

$1..n$

L = {. . .}

$L=\{...\}$

— vzn

डेविडएप्पस्टीन और शाल द्वारा किए गए बिंदु सम्मोहक लगते हैं, मुझे कुछ समय के लिए माइहिल-नेरोड प्रमेय पर जाना होगा जब मेरे पास खुद को समझाने का समय होगा कि भागफल अभी भी न्यूनतम ऑटोमेटन का उत्पादन करता है। अड़चन में यह बहुत स्पष्ट लगता है।

— gdmclellan

@vzn: निश्चित रूप से मूल ऑटोमेटन की भाषाओं को एक साथ मिलाना नहीं चाहता है; और ओवरलैप हो सकता है। भाषाओं के साथ एक बहु भाषा DFA और ,, रिपोर्ट में सक्षम होना चाहिए, उदाहरण के लिए है कि है, लेकिन । किसी भाषा की मान्यता को परिभाषित करने में प्रयुक्त संकेतन के लिए, संकेतन को परिभाषित किया गया है कि को a तक पहुंचाने के लिए पर सभी : ।

T_{i}

$T_i$

A

$A$

B

$B$

s \in A

$s\in A$

s \notin B

$s\notin B$

δ

$\delta$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Q

$Q$

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$

— gdmclellan

संक्षिप्त उत्तर । नियमित भाषाओं एक परिमित परिवार को देखते हुए , इस परिवार को मान्यता देने वाला एक अद्वितीय न्यूनतम निर्धारक संपूर्ण बहु- है। $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$

विवरण । मामला मानक निर्माण से मेल खाता है और सामान्य मामला आत्मा में अधिक भिन्न नहीं है। एक भाषा और एक शब्द को देखते हुए , । एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करें पर स्थापना करके के बाद से नियमित कर रहे हैं, इस अनुरूपता परिमित सूचकांक है। इसके अलावा, यह देखना आसान है कि प्रत्येक द्वारा संतृप्त है और प्रत्येक लिए , का अर्थ $n = 1$ $L$ $u$ $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ $\sim$ $A^*$

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

\sim

$\sim$

a \in A

$a \in A$

u \sim v

$u \sim v$

u a \sim v a

$ua \sim va$ । हमारे द्वारा निरूपित करते हैं खाली शब्द और द्वारा एक शब्द के स्तरीय । Let निर्धारक मल्टी- इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

1

$1$

[u]

$[u]$

\sim

$\sim$

u

$u$

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ ,
$[u] \cdot a = [ua]$ ,
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ ।

निर्माण के द्वारा, अगर और केवल अगर और इसलिए परिवार स्वीकार करता है । यह साबित करने के लिए बना हुआ है कि न्यूनतम है। यह वास्तव में एक मजबूत बीजीय अर्थ में न्यूनतम है (जिसका अर्थ है कि इसमें राज्यों की न्यूनतम संख्या है)। Let और दो मल्टी-ऑटोमेटा हो। एक आकारिता से एक surjective नक्शा है पर ऐसा है कि $[1] \cdot u \in F_i$ $u \in L_i$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ $Q$ $Q'$

$f(q_-) = q'_-$ ,
के लिए , , $1 \leqslant i \leqslant n$ $f^{-1}(F'_i) = F_i$
सभी और , । $u \in A^*$ $q \in Q$ $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$

फिर किसी भी सुलभ नियतात्मक मल्टी-ऑटोमेटोन स्वीकार करने के लिए , पर । यह साबित करने के लिए, एक पहले पुष्टि करता है कि यदि , तो । अब को द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोई भी शब्द है जैसे कि । फिर एक दिखा सकता है कि तीन आवश्यक गुणों को संतुष्ट करता है। $\mathcal{A}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ $u_1 \sim u_2$ $f$ $f(q) = [u]$ $u$ $q_- \cdot u = q$ $f$

अंत थोड़ा स्केच है, मुझे बताएं कि क्या आपको अधिक विवरण की आवश्यकता है।

— J.-E. पिन
स्रोत