निर्धारक और स्थायी के लिए कम बाध्य

गहराई -3 परिणाम पर हालिया चैस के प्रकाश में (जो अन्य बातों के अलावा गहराई -3 अंकगणित सर्किट के लिए निर्धारक से अधिक के लिए ), मेरे पास निम्नलिखित प्रश्न हैं: ग्रिगोरिएव और करपिंस्की ने साबित किया, जो किसी भी गहराई -3 अंकगणितीय सर्किट के लिए कम बाध्य है, जो परिमित क्षेत्रों के मैट्रिसेस के निर्धारक की गणना करता है (जो मुझे लगता है, भी स्थायी के लिए रखती है)। स्थायी गणना के लिए रेजर का सूत्र आकार की गहराई -3 अंकगणित सर्किट देता है। $2^{\sqrt{n}\log{n}}$ $n \times n$ $\mathbb{C}$ $2^{\Omega{(n)}}$ $n \times n$ $O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$ । इससे पता चलता है कि परिमित क्षेत्र के लिए स्थायी रूप से गहराई -3 सर्किट के लिए परिणाम अनिवार्य रूप से तंग है। मेरे दो सवाल हैं:

1) निर्धारक के लिए Ryser के सूत्र के अनुरूप निर्धारक के लिए एक गहराई -3 सूत्र है?

2) क्या अंकगणितीय बहुपद \ textit {हमेशा} स्थायी अंकगणितीय बहुपद के लिए एक निचली उपज उत्पन्न करने वाले अंकगणित सर्किट के आकार पर एक निचली सीमा होती है? (Over वे एक ही बहुपद हैं)। $\mathbb{F}_2$

यद्यपि मेरा प्रश्न उत्सुकता से परिमित क्षेत्रों पर इन बहुपदों के संबंध में है, मैं मनमाने क्षेत्रों पर इन प्रश्नों की स्थिति जानना भी चाहूंगा।

— निखिल
स्रोत

यह दिलचस्प है .... हाल ही में ( eccc.hpi-web.de/report/2013/026 ) ऊपरी बाउंड जटिल संख्याओं पर सिद्ध हुआ है। तो किसी तरह विशेषता शून्य और परिमित क्षेत्रों में बहुत बड़ा अंतर है ...

2^{O (n^{1 / 2} \log n})

$2^{O(n^{1/2}\log n})$

— रयान विलियम्स

मुझे नए परिणाम का उल्लेख करना चाहिए था। मैं पेपर पढ़ रहा था और मैं जानना चाहता था कि परिमित क्षेत्र मामले के लिए ज्ञात परिणामों से क्या पता लगाया जा सकता है। प्रश्नपत्र को शामिल करने के लिए अद्यतन करेगा।

— निखिल

क्या विशेषता शून्य के क्षेत्रों में गहराई 3 सर्किट के मामले में निर्धारक / स्थायी के लिए ज्ञात समान / कोई कम बाध्य है?

— गोरव जिंदल

एएफएआईके की विशेषता शून्य से अधिक है, शिल्का और विगडरसन के कारण प्रारंभिक सममित समारोह (और यह भी निर्धारक बहुपद) के लिए सबसे अच्छा निचला बाउंड । Cs.technion.ac.il/~shpilka/publications/…

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— निखिल

जवाबों:

किसी भी क्षेत्र की विशेषता पर p- अनुमानों के तहत स्थायी VNP के लिए पूर्ण नहीं है। यह आपके दूसरे प्रश्न का सकारात्मक उत्तर प्रदान करता है। यदि यह कमी रैखिक थी, तो यह आपके पहले प्रश्न का सकारात्मक उत्तर देगा, लेकिन मेरा मानना है कि यह खुला रहता है।

अधिक विवरण में: कुछ बहुपद जैसे कि का एक प्रक्षेपण है , अर्थात प्रत्येक चर को एक चर में भेजने के लिए एक निश्चित प्रतिस्थापन है। या एक स्थिरांक ऐसा है कि इस प्रतिस्थापन के बाद स्थायी निर्धारक की गणना कर रहा है । $q(n)$ $det_n(X)$ $perm_{q(n)}(Y)$ $y_{ij}$ $x_{k\ell}$ $q(n) \times q(n)$ $n \times n$

1) इस प्रकार Ryser का सूत्र 3 डीप सूत्र देता है (अनुमानों के तहत गहराई नहीं बढ़ती है क्योंकि आकार निर्धारक के लिए आकार के प्रतिस्थापन (इनपुट गेट्स पर किए जा सकते हैं । अद्यतन : जैसा कि @ रामप्रसाद टिप्पणियों में बताते हैं, यह केवल nontrivial देता है अगर , क्योंकि एक तुच्छ गहराई है 2 आकार का सूत्र हिरासत के लिए। मैं रामप्रसाद के साथ हूं, मुझे पता है कि एबीपी के माध्यम से कमी आई है, जो कि । $2^{O(q(n))}$ $q(n) = o(n \log n)$ $n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$ $q(n)=O(n^3)$

2) अगर स्थायी की गणना की जा सकती है - फिर से, विशेषता के कुछ क्षेत्र पर नहीं 2 - आकार सर्किट द्वारा , तो निर्धारक का आकार सर्किट द्वारा गणना की जा सकती है । इसलिए लिए सर्किट-आकार पर निचला भाग स्थायी के लिए सर्किट-आकार पर एक निचली सीमा देता है (जो व्युत्क्रम है , न कि )। उपर्युक्त पैदावार से कम निचली सीमा det बाउंड कम। $m \times m$ $s(m)$ $n \times n$ $s(q(n))$ $b(n)$ $det_n$ $b(q^{-1}(n))$ $q$ $1/q(n)$ $q(n)=O(n^3)$ $b(n^{1/3})$ $b(n)$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

बस यह बताना चाहते हैं कि निर्धारक एक बहुपद का स्थायी रूप से बड़ा स्थायी रूप से प्रक्षेपण है, इससे अधिक उपज नहीं मिलती है। पाठ्यक्रम के निर्धारक में एक तुच्छआकार सर्किट। तो यह भी दिखा रहा है कि निर्धारक का एक प्रक्षेपण है स्थायी Ryser के सूत्र के माध्यम से कुछ भी गैर-तुच्छ नहीं निकलता है। मुझे लगता है, आपकी प्रमाण रणनीति के लिए, किसी को यह दिखाने की आवश्यकता है कि , लेकिन मैं यह नहीं देखता कि इसे सामान्य कमी से कैसे प्राप्त किया जाए। AFAIK, कोई गहराई -3 सर्किट से कम asymptotically छोटा हैपरिमित क्षेत्रों पर निर्धारक के लिए जाना जाता है।

n!

$n!$

n \times n

$n\times n$

n^{2} \times n^{2}

$n^2\times n^2$

q (n) = O (n)

$q(n) = O(n)$

n!

$n!$

— रामप्रसाद

@Ramprasad: वहाँ एक का प्रक्षेपण है को सही मनमाना क्षेत्रों पर सामान्य मामले में? तो इस कमी को गहराई -3 में लागू करना बाधा है - क्या आपका मतलब है?

D E T_{n}

$DET_n$

P E R M_{O (n)}

$PERM_{O(n)}$

— निखिल

@ निखिल: क्या ऐसा कोई प्रक्षेपण है ?! अगर यह सच था, तो निश्चित रूप से हम तुरंत राइसर के फार्मूले का उपयोग करके निर्धारक के लिए

गहराई -3 सर्किट होगा (जो कि चैस-एट-डेप्थ -3 परिणाम से पहले ज्ञात नहीं था)। एकमात्र कमी जो मुझे पता है कि एबीपी को निर्धारक (व्हिच

-sized) के लिए लेना है और लिखना है कि

प्रक्षेपण के रूप में स्थायी है। मुझे

-Sized स्थायी होल्ड्स में कमी से बहुत आश्चर्य होगा ।

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n)

$O(n)$

— रामप्रसाद

मुझे पूरा यकीन है कि यह लेख में एक टाइपो / त्रुटि है (लेकिन मैं मणींद्र के साथ जांच करूंगा)। एली विगडरसन की बात (पीपीटी) वैलेंटाइन के 60 वें जन्मदिन के समारोह के दौरान उन जगहों में से एक है जहां यह कहा गया था कि

सुधार

निर्धारक की गहराई -3 जटिलता के लिए अज्ञात था। परिमित क्षेत्रों पर गहराई -3 सर्किट एक जिज्ञासु उदाहरण है जहां स्थायी के लिए सबसे अच्छी ऊपरी सीमा निर्धारक से छोटी होती है!

n!

$n!$

— रामप्रसाद

आइए इस चर्चा को चैट में जारी रखें

— रामप्रसाद

यह बहुत संभव है कि निर्धारक एक तरह से स्थायी से कठिन हो। वे दोनों बहुपद हैं, स्थायी की वार्निंग रैंक (रैखिक रूपों की एन शक्तियों की राशि) लगभग 4 ^ n है, चाउ रैंक (रैखिक रूपों के उत्पादों की राशि) लगभग 2 ^ n है। स्पष्ट रूप से, वार्निंग रैंक \ leq 2 ^ {n-1} चाउ रैंक। निर्धारक के लिए, वे संख्याएं केवल कम सीमा होती हैं। दूसरी ओर, मैंने कुछ समय पहले यह साबित कर दिया कि निर्धारक का वारिंग रैंक ऊपरी (n + 1) से घिरा है! और यह सच्चाई के करीब हो सकता है।

— लियोनिद गुरविट्स
स्रोत

मैंने विज्ञापन निकाल दिया।

— जेफ

क्या आप प्रमाण के लिए संदर्भ दे सकते हैं?

— केवह