अंकगणित सर्किट ,

एक सर्किट पर विचार करें जो इनपुट संख्याओं के रूप में होता है $[0,1]$ , और इसमें ऐसे गेट होते हैं जिनमें फ़ंक्शंस $\max(x, y)$ , $\min(x, y)$ , $1 - x$ और $\frac{x+y}{2}$ । सर्किट का आउटपुट तब में भी एक संख्या है $[0,1]$ ।

क्या किसी को पता है कि यह मॉडल, या बारीकी से संबंधित मॉडल का अध्ययन किया गया है?

विशेष रूप से, मैं इस सर्किट के लिए संतुष्टि की समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा हूं, अर्थात् इस सर्किट द्वारा प्राप्त अधिकतम मूल्य की गणना कर सकता है (यह वास्तव में अधिकतम प्राप्त करता है, क्योंकि यह एक कॉम्पैक्ट डोमेन में एक निरंतर फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है)।

टिप्पणी: इस मॉडल का मेरा अध्ययन भारित लौकिक लॉगिक्स के माध्यम से है, इसलिए बाद से संबंधित कोई भी मॉडल भी काम आ सकता है।

arithmetic-circuits

— Shaull
स्रोत

निश्चित रूप से यह समस्या एनपी-हार्ड है। (वाया संतोषजनकता: आपके पास

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$ और

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$ , जिसके साथ आप AND, OR, और NOT कर सकते हैं।) तो, क्या आपका प्रश्न है। या नहीं यह समस्या एनपी में है? इस तरह के सर्किट के इनपुट का निर्णय निर्णय मान देता है कि 1 का मान एनपी में है, क्योंकि यदि ऐसा कोई इनपुट है, तो 0/1 है।

— नील युवा

यदि हम nondeterministically के लिए संभावित सत्य मानों में से एक को चुनते हैं , जहाँ सभी नोड्स के जोड़े हैं जैसे कि a या नोड दिखाई देते हैं सर्किट, यह एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में बदल जाता है, जो पी। में हल करने योग्य है। इस प्रकार, एनपी में मूल अधिकतमकरण समस्या का निर्णय संस्करण है। (यह iewukasiewicz तर्क में संतोषजनक समस्या का एक प्रकार है, इसलिए आप संबंधित जानकारी के लिए गणितीय फ़ज़ी लॉजिक की हैंडबुक में हानीकोवा के अध्याय को देखना चाह सकते हैं।)

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— एमिल जेबाबेक्स

@ शॉल: मुझे और अधिक विस्तार से इसका वर्णन करने दें। चलो कि न्यूनतम या अधिकतम फाटकों (यहाँ हैं सर्किट के नोड्स होना सर्किट के आकार से घिरा है), और जाने और फाटक के इनपुट नोड्स हो । प्रत्येक , एक अतिरिक्त बाधा या । कर रहे हैं इस तरह के विकल्प। जब इस तरह के एक विकल्प तय हो गई है, तो आप को बदल कर सर्किट को आसान बनाने में कर सकते हैं साथ या

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$ उपयुक्त के रूप में, इसलिए यह रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में बदल जाता है, जिनके चर समस्या के मूल चर हैं, और इसके अतिरिक्त चर ...

— Emil Jeřábek

... सर्किट में नोड्स। असमानताओं को यह कहते हुए शामिल करें कि अतिरिक्त बाधाएँ संतुष्ट हैं, मूल चर को बाध्य करने वाली असमानताएं , और एक असमानता बताते हुए कि आउटपुट नोड में value । फिर यह अतिरिक्त बाधाओं की पसंद के आधार पर एक रैखिक कार्यक्रम है, और सर्किट वैल्यू प्राप्त करता है iff वहाँ बाधाओं का एक विकल्प मौजूद है जैसे कि संबंधित रैखिक कार्यक्रम में एक समाधान है।

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

— एमिल जेकब

यह भी ध्यान दें कि एक रैखिक कार्यक्रम का इष्टतम मूल्य पॉलीटॉप के शीर्ष पर प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि इष्टतम समाधान के हर को एक आयाम मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनकी प्रविष्टियाँ निरंतर आकार के पूर्णांक हैं, और प्रत्येक पंक्ति में केवल नॉनज़ेरो प्रविष्टियाँ हैं, और इस तरह से द्वारा बाउंड किया गया है ।

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— एमिल जेबाबेक

जवाबों:

इन सर्किटों के लिए संतुष्टि की समस्या (अर्थात, एक सर्किट और , यह तय करें कि क्या कोई इनपुट जैसे ) NP में है, और इसलिए NP-complete द्वारा नील यंग की टिप्पणी और पीटर शोर का जवाब। $C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

हम निम्नलिखित तरीके से रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए समस्या की एक nondeterministic कमी का निर्माण कर सकते हैं। चलो के सभी नोड्स हो कि न्यूनतम या अधिकतम फाटकों (यहाँ हैं , जहां सर्किट के आकार है), और जाने और फाटक के इनपुट नोड्स हो । हर , दो अतिरिक्त बाधाओं में से एक का चयन करें या ( कुल में संभावित विकल्प हैं)। जब इस तरह के एक विकल्प तय हो गई है, हम हर जगह से सर्किट को आसान बनाने में कर सकते हैं साथ या $\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ उपयुक्त के रूप में, और परिणामी सर्किट को रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिनके चर सर्किट के मूल इनपुट चर हैं, और सर्किट के नोड्स के अनुरूप अतिरिक्त चर हैं। $n$

हम यह भी कहते हैं कि अतिरिक्त बाधाओं को संतुष्ट करते हुए असमानताएं शामिल हैं, मूल इनपुट चर को बाध्य करने वाली असमानताएं , और एक असमानता बताते हुए कि आउटपुट नोड में value । फिर यह अतिरिक्त बाधाओं की पसंद के आधार पर आकार का एक रेखीय कार्यक्रम है , और सर्किट में वैल्यू iff मौजूद है क्योंकि बाधाओं का एक विकल्प मौजूद है जैसे कि संबंधित रैखिक कार्यक्रम का एक समाधान है। चूंकि रैखिक प्रोग्रामिंग पी में है, यह दर्शाता है कि समस्या एनपी में है। $m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

यह भी ध्यान दें कि एक रैखिक कार्यक्रम का इष्टतम मूल्य पॉलीटॉप के शीर्ष पर प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि इष्टतम समाधान के हर को एक आयाम वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनकी प्रविष्टियां निरंतर आकार पूर्णांक हैं, और प्रत्येक पंक्ति में केवल गैर-अक्षीय प्रविष्टियां हैं, और इस तरह से यह से घिरा है । $O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

इस तरह की कटौती अक्सर प्रोपोज़ल फ़ज़ी लॉजिक (जैसे suchukasiewicz लॉजिक) और संबंधित प्रणालियों में संतुष्टि की जटिलता पर ऊपरी सीमा देने के लिए उपयोगी होती है। (वास्तव में, मूल समस्या iewukasiewicz में संतोषजनकता का एक मामूली रूप है, जो कि बजाय साथ सर्किट के अनुरूप होगा ।) संबंधित परिणामों का अवलोकन पाया जा सकता है। गणितीय फजी लॉजिक की हैंडबुक के अध्याय X में, वॉल्यूम। द्वितीय। $\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— एमिल जेकाब
स्रोत

यह समस्या एनपी-हार्ड है।

आप गेट मिनट ( x , y ), अधिकतम ( x, y ) और 1− x के साथ 3-SAT प्राप्त कर सकते हैं ।

हम जो चाहते हैं वह एक सर्किट के लिए 3-SAT समस्या को कम करना है जिसके लिए आप 1 प्राप्त कर सकते हैं यदि सभी चर संतोषजनक हैं, और आप केवल 1 से कम अन्यथा कुछ सख्ती से कुछ हासिल कर सकते हैं।

हम सभी चर को कम से कम बहुत सारे भाव लेकर या तो 0 या 1 होने के लिए बाध्य कर सकते हैं, और इन अभिव्यक्तियों को अधिकतम ( x , 1 ( x ) शामिल करते हैं।

अब 3-सैट समस्या में हर खंड के लिए एक्स ∨ y ∨ जेड , हम अभिव्यक्ति डाल अधिकतम ( एक्स , वाई , जेड न्यूनतम में)।

मुझे नहीं पता कि गैर-संतोषजनक 3-SAT समस्या के लिए इष्टतम मूल्य क्या है, लेकिन यह सख्ती से 1 से कम होगा।

— पीटर शोर
स्रोत

हां, एनपी-कठोरता "आसान दिशा" है, जैसा कि ऊपर की टिप्पणी में बताया गया है। वास्तव में, यदि आप औसत गेट का उपयोग नहीं करते हैं, लेकिन सिर्फ न्यूनतम और अधिकतम है, तो यह दिखाना आसान है कि अधिकतम मान 1 है यदि संबंधित बूलियन सर्किट संतोषजनक है, और 1/2 अन्यथा (बस 1/2 को सभी को प्लग करके) चर)। वैसे भी, समस्या ऊपर की टिप्पणियों में हल की गई थी।

— शूल

ठीक उसी तरह से नहीं, जैसा आपने पूछा था, लेकिन एक संदर्भ जिसमें समान सर्किट दिखाई देते हैं।

यदि आप गेट (जिसे शीर्षक में भी उल्लेख नहीं किया गया है!) को हटाते हैं, तो आपको जो मिलता है वह एक मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट है। रेजबोरोव के शास्त्रीय मोनोटोन सर्किट निचले सीमा को मोनोटोन अंकगणित सर्किट (समान परिणामों के साथ) पावेल पुडलक द्वारा, रिज़ॉल्यूशन के लिए निचले सीमा और विमानों के सबूत को काटने के लिए बढ़ाया गया है । $1-x$

— युवल फिल्मस
स्रोत

धन्यवाद। इस मामले में, हालांकि, यदि आप गेट को हटाते हैं , तो समस्या तुच्छ है - अधिकतम मान 1 है और यह तब प्राप्त होता है जब सभी चर 1 मूल्य प्राप्त करते हैं।

1 - x

$1-x$

— Shaull