क्या हम सॉर्ट की गई मैट्रिक्स से सॉर्ट की गई सूची प्राप्त कर सकते हैं

Question

मैं उलझन में हूं। मैं यह साबित करना चाहता हूं कि छंटनी की समस्या$n$ द्वारा $n$ मैट्रिक्स अर्थात पंक्तियाँ और स्तंभ आरोही क्रम में हैं $\Omega(n^2\log n)$। मैं यह मानकर आगे बढ़ता हूं कि यह तेजी से किया जा सकता है$n^2\log n$ और उल्लंघन करने का प्रयास करें $\log(m!)$ एम तत्वों को क्रमबद्ध करने के लिए आवश्यक तुलना के लिए कम बाध्य। मेरे पास दो परस्पर विरोधी उत्तर हैं:

1. हम की क्रमबद्ध सूची प्राप्त कर सकते हैं $n^2$ में छांटे गए मैट्रिक्स से तत्व $O(n^2)$ /math/298191/lower-bound-for-matrix-sorting/298199?iemail=1#298199
2. आप the /programming/4279524/how-to-sort-amxn-matrix-which.has से अधिक तेजी से मैट्रिक्स से एक क्रमबद्ध सूची प्राप्त नहीं कर सकते हैं सब अपनी एम-पंक्तियों-छाँटे गए-और-एन-स्तंभों-छाँटे गए$Ω(n^2\log(n))$

कौनसा सही हैं?

Comments

एक तरफ के रूप में, यह मुझे परेशान करता है जब हम दावा करते हैं कि "सॉर्टिंग " है, लेकिन यह इनपुट मॉडल और गणना के मॉडल को निर्दिष्ट नहीं करता है। तुलना छँटाई । सॉर्टिंग, सामान्य रूप से, उससे अधिक तेज़ हो सकती है, उदाहरण के लिए स्ट्रिंग्स (यदि कुल इनपुट लंबाई है) या पूर्णांक (गणना के कुछ मॉडल में जो निरंतर समय पूर्णांक अंकगणितीय संचालन की अनुमति देते हैं)।$\Omega(n\log n)$$\Omega(n\log n)$$n$

— डेविड एप्पस्टीन

और भी अधिक पंडिताऊ होने के लिए: तुलना छँटाई है नहीं , क्योंकि तुलना छंटाई से कार्य नहीं है को । छंटनी के लिए किसी भी बाइनरी निर्णय ट्री मॉडल (न केवल तुलना) में समय की आवश्यकता होती है । $\Omega(n\log n)$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\Omega(n\log n)$

— जेफ

Answer 1

निचली सीमा सही है (2) - आप इसे से बेहतर नहीं कर सकते और (1) निश्चित रूप से गलत है। हमें पहले यह निर्धारित करने में मदद करता है कि एक सॉर्ट किया गया मैट्रिक्स क्या है - यह एक मैट्रिक्स है जहां प्रत्येक पंक्ति और कॉलम में तत्वों को बढ़ते क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है।$\Omega(n^2 \log n)$

अब यह सत्यापित करना आसान है कि प्रत्येक विकर्ण में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो किसी भी मनमाने क्रम में हों - आपको बस उन्हें पर्याप्त रूप से बड़ा करने की आवश्यकता है। विशेष रूप से, मैट्रिक्स को छांटने का मतलब है कि इनमें से प्रत्येक एक को विकर्ण करना। वें विकर्ण है प्रविष्टियों, और इस तरह के रूपसंभव आदेश। जैसे, एक वाली मैट्रिक्स कम से कम को परिभाषित कर सकती है अलग आदेश। अब यह सत्यापित करना आसान है कि , जिसका अर्थ है कि तुलना मॉडल में (और जैसा कि जेफ नीचे बताते हैं, किसी भी बाइनरी निर्णय ट्री मॉडल में) कम से कम यह एक कम बाध्य है छँटाई के समय पर।$i$$i$$i!$$X = \prod_{i=1}^n i!$$\log_2 X = \Omega(n^2 \log n)$

Comments

फिर, किसी भी बाइनरी निर्णय ट्री मॉडल में, न केवल तुलना।

— जेफ