वर्दीकरण की मजबूत धारणाएं?

Question

एक अंतर जो मुझे हमेशा पता था कि मुझे वास्तव में समझ में नहीं आता है गैर वर्दी और एक समान कम्प्यूटेशनल जटिलता के बीच है जहां सर्किट जटिलता गैर वर्दी संस्करण का प्रतिनिधित्व करती है और ट्यूरिंग मशीनें ऐसी चीजें हैं जो समान हैं। मुझे लगता है कि "वर्दी" एल्गोरिदम के वर्ग को नियंत्रित करने का एक तरीका है, उदाहरण के लिए, n + 1 चर की समस्या की तुलना में n चर के साथ एक समस्या के लिए पूरी तरह से अलग सर्किट की अनुमति नहीं है।

मेरे प्रश्न हैं: 1) यह सिर्फ सर्किट के संदर्भ में एकरूपता का वर्णन है, और 2) क्या एकरूपता के और भी अधिक मजबूत रूप के साथ आना संभव है और इस प्रकार प्रभावी (या संयमित) एल्गोरिदम में और भी अधिक प्रतिबंधित धारणा देना है। पी हैं?

देर से स्पष्टीकरण: प्रश्न 2 में मेरा इरादा एल्गोरिदम के एक प्रतिबंधित वर्ग के बारे में है कि "व्यावहारिक रूप से" बहुपद एल्गोरिदम के वर्ग के समान शक्ति है।

Comments

क्या आप "व्यावहारिक रूप से समान शक्ति है" के अर्थ पर विस्तार से बता सकते हैं?

— एमएस डौस्ती

मेरा मतलब है कि पी में हम सभी एल्गोरिदम व्यावहारिक रूप से मुठभेड़ करते हैं (काल्पनिक) प्रतिबंधित वर्ग। तो मेरा मतलब उन वर्गों से नहीं है जो विशिष्ट बहुपद प्रकार के एल्गोरिथ्म को AC_0 या NC ^ से दूर करने के लिए जाने जाते हैं (या अनुमानित किए जाते हैं) मैं वह नहीं हूं जिसका मैं उल्लेख करता हूं।

— गिल कलाई

प्रश्न 2 के लिए, बहुपद आकार के LOGSPACE- समान परिपथों द्वारा गणना किए जाने वाले कार्यों की श्रेणी P है। (और यदि आप एकरूपता को ठीक से परिभाषित करते हैं, तो आप अभी भी कुछ जटिल कक्षाओं से छोटे P के साथ P मिलेंगे।) आम तौर पर बहुपद-काल एल्गोरिदम की शक्ति को कम करते हैं।

— पीटर शोर

Answer 1

मुझे लगता है कि आपके पहले प्रश्न का उत्तर नकारात्मक है: एक सर्किट में निश्चित संख्या में इनपुट होते हैं, और इस प्रकार, आईएमओ, हम केवल एक समान सर्किट के बजाय सर्किट के "परिवारों" के बारे में बात कर सकते हैं।

अपने दूसरे प्रश्न के बारे में, आप ध्यान दें कि "सर्किट के एकसमान परिवार" हैं, जिनका विवरण ट्यूरिंग मशीन द्वारा बनाया गया है। यानी, सर्किट का एक समान परिवार हो, और M को Turing मशीन माना जाए। फिर, प्रत्येक n के लिए , [ C n ] = M $\{C_n\}$$M$$n$ , जहां [ सी एन ] के विवरण को दर्शाता सी एन ।$[C_n] = M(1^n)$$[C_n]$$C_n$

पी के नीचे कई जटिलता वर्ग हैं, जो सर्किट के समान परिवारों द्वारा परिभाषित किए गए हैं। उदाहरण के लिए:

एकसमानबूलियन सर्किटद्वारागेट्स और गहराईओ( लॉग आई एन) कीबहुपद संख्या के साथनिर्णय की समस्याओं का वर्ग है।$\mathbf{NC}^i$$O(\log^i n)$

Answer 2

उपरोक्त सादिक के उत्तर को जोड़ते हुए, जैसा कि पी में निहित सर्किट वर्गों को देखता है, एक भी एकरूपता के अधिक से अधिक प्रतिबंधात्मक धारणाओं को देखना चाह सकता है।

सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध धारणा पी-एकरूपता है, जो आवश्यकता है कि एक (निर्धारक) ट्यूरिंग मशीन एम है जो समय पाली (एन) में सर्किट उत्पादन करती है (इस पर सुरेश वार्ता भी)। एकरूपता के अधिक प्रतिबंधात्मक संस्करण एम की शक्ति को और सीमित करने का प्रयास करते हैं। उदाहरण के लिए, लॉगस्पेस-एकरूपता भी है, जहां एम को अब अंतरिक्ष ओ (लॉग (एन)) में चलाने की आवश्यकता है।$C_n$

सबसे अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा जो मुझे पता है कि DLOGTIME-एकरूपता है, जिसका उपयोग छोटे सर्किट वर्गों के लिए किया जाता है। यहां, (अब रैंडम-एक्सेस) मशीन एम में केवल ओ (लॉग एन) है और इसलिए संभवतः पूरे सर्किट का विवरण नहीं लिख सकता है। लगाई गई शर्त यह है कि i और n को दिया गया है, M समय O (लॉग n) में सर्किट के विवरण के ith बिट को लिख सकता है।

अधिक के लिए, निम्नलिखित पेपर देखें: डेविड ए। मिक्स बैरिंगटन, नील इमरमन, हॉवर्ड स्ट्राबिंग: ऑन यूनिफॉर्मिटी ऑन एनसीiform। जे। कम्प्यूट। Syst। विज्ञान। 41 (3): 274-306 (1990)।

Comments

पेपर का लिंक: dx.doi.org/10.1016/0022-0000(90)90022-D

— सुरेश वेंकट

यदि M, O (लॉग एन) में सर्किट के विवरण का i-th बिट लिखने जा रहा है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यदि सर्किट O (n) का है तो यह मशीन को उत्पन्न करने की अनुमति देने के बराबर है। पूरे सर्किट में O (n log n)?

— एम। अलागन

यह समतुल्य प्रतीत नहीं होता है। आपने जो दिखाया है वह यह है कि उपरोक्त (बैरिंगटन एट अल।) एकरूपता की धारणा कम से कम उतनी ही मजबूत है जितनी एकरूपता की धारणा जो आप प्रस्तावित करते हैं। यह स्पष्ट नहीं है। विशेष रूप से, यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है यदि निम्नलिखित सत्य है: आकार के सर्किट का एक परिवार दिया जाता है जो समय में एक टीएम द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है ओ ( एन लॉग एन ) , एक टीएम के साथ आते हैं, जो मुझे दिया जाता है। और n , समय O ( लॉग एन ) में C n के i वें बिट्स उत्पन्न करता है । वास्तव में, मुझे नहीं लगता कि यह सच है।$O(n)$$O(n\log n)$$i$$n$$i$$C_n$$O(\log n)$

— श्रीकांत

मैं मानता हूं, एक काउंटर उदाहरण एक TM होगा, जो और n दिया जाता है, i th को O ( 1 ) में उत्पन्न करता है , अंतिम बिट को छोड़कर, जिसके लिए O ( n log n ) लगता है । संकेत के लिए धन्यवाद :)$i$$n$$i$$O(1)$$O(n \log n)$

— एम। अलागगन

बात यह नहीं है कि सर्किट के एक्स-वर्दी परिवार अलग-अलग एक्स के लिए परिवारों के समान सेट देते हैं, लेकिन सर्किट के एक्स-वर्दी परिवारों द्वारा जिन कार्यों की गणना की जा सकती है, वे अलग-अलग एक्स के लिए समान हैं।

— पीटर शोर

Answer 3

सर्किट और वर्दी संगणना को "एकीकृत" करने का एक तरीका एक जटिलता सीमित प्रक्रिया की आवश्यकता है जो लेता है और सलाह सर्किट C n को आउटपुट करता है । पी के मामले में, मेरा मानना ​​है कि एक बहुपद के लिए जनरेटर की आवश्यकता होती है जो ऊपर कर सकता है पी को सही ढंग से पकड़ लेगा।$n$$C_n$

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सर्किट के लिए एक LOGSPACE जनरेटर भी काम ठीक पी कब्जा करने के लिए होगा

— पीटर शोर

Answer 4

यह सिर्फ सर्किट के संदर्भ में एकरूपता का वर्णन है?

यदि "सर्किट के संदर्भ में" से आपका मतलब गैर-समान सर्किट से है तो इसका उत्तर नकारात्मक है। यदि सर्किट का वर्णन एक समान नहीं है, तो यह गैर-कम्प्यूटेबल फ़ंक्शन को सर्किट को परिभाषित करने के लिए उपयोग करने की अनुमति देगा जो बदले में गैर-कम्प्यूटेशनल कार्यों की गणना करने में सक्षम होंगे। हम हमेशा आकार का एक सर्किट बना सकते हैं कंप्यूटिंग f ( | x | ) जहाँ $1$$f(|x|)$$f$ सर्किट के वर्णन के लिए हम जो भी साधनों का उपयोग कर रहे हैं, उनके द्वारा गणना योग्य है।

दूसरी ओर, यदि हमें सर्किट को परिभाषित करने के लिए वर्दी सर्किट तक सीमित रखने की अनुमति है, तो उत्तर स्पष्ट रूप से सकारात्मक है। और हम एकरूपता को परिभाषित करने के लिए (जो कि D L o g t i m e और वर्दी A C 0 के बराबर है) का उपयोग कर सकते हैं । एफ $FO$$DLogTime$$AC^0$$FO$ , वैचारिक रूप से सर्किट के बहुत करीब है।

मुझे यह प्रतीत होता है कि यहां मुख्य बात यह है कि हमें सर्किट के लिए एकरूपता को परिभाषित करने के लिए समान संगणना के कुछ मॉडल की आवश्यकता है, यदि सर्किट का वर्णन ऐसे साधनों द्वारा दिया जाता है जो एक समान नहीं हैं, तो सर्किट गैर-समान हो सकते हैं।

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$O(1)$

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

Answer 5

1) क्या सिर्फ सर्किट के संदर्भ में एकरूपता का वर्णन है?

[यह मेरे द्वारा डिक लिप्टन के ब्लॉग पर पूछे गए उसी प्रश्न के उत्तर का एक संपादित संस्करण है। कैविएट: मैं विशेषज्ञ नहीं हूं।]

हां (मुझे लगता है), कम से कम दो अलग-अलग प्रकारों में:

a) सर्किट समस्या समस्या के आकार में बहुपद समय में ट्यूरिंग मशीन द्वारा उदार हैं (जैसा कि कुछ अन्य उत्तरों में उल्लेख किया गया है)। (मुझे लगता है कि यह अवधारणा की मानक परिभाषा है।)

यह किसी भी सर्किट परिवार को कवर करता है जिसे हम वर्दी कह सकते हैं, लेकिन पी-टाइम की अवधारणा की परिभाषा के रूप में, यह सिर्फ सर्किट परिवारों पर ट्यूरिंग मशीनों पर परिभाषा को कम कर देता है, जो कि आप नहीं चाहते हैं।

बी) यदि कोई 1-आयामी सेलुलर ऑटोमेटोन है जो समस्या समाधान के लिए समस्या इनपुट को हल करता है (निर्णय समस्या के लिए, समाधान इनपुट वाले कोशिकाओं के सापेक्ष एक निर्दिष्ट सेल में एक सा होगा, जो एक स्थिर स्थिति है सीए), इनपुट आकार में बहुपद में, फिर यह एक सर्किट से मेल खाता है जो एक सरल तरीके से 2 डी में आवधिक है (प्रति यूनिट प्रति सेल एक रिपीट यूनिट), और जिसका राज्य केवल द्विघात रूप से बड़े क्षेत्र के सापेक्ष मायने रखता है समाधान समय के लिए।

यह एक विशेष प्रकार का एक समान सर्किट परिवार है, लेकिन पी में सभी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि ट्यूरिंग मशीन को 1 डी सीए के रूप में आसानी से एन्कोड किया जा सकता है। (यह पहले के उत्तर में उल्लिखित DLOGTIME-एकरूपता की परिभाषा को संतुष्ट करता हुआ प्रतीत होता है।)

(यह ट्यूरिंग मशीनों के एनकोडिंग के समान है क्योंकि लिपटन के ब्लॉग पर गोवर्स के उत्तरों में वर्णित सर्किट - वास्तव में, उनमें से एक संभवतः समान है।)

ट्यूरिंग मशीन को 1 डी CA के रूप में एनकोड करने का एक तरीका: प्रत्येक सेल में, हम एक बिंदु पर टेप स्टेट का प्रतिनिधित्व करते हैं, ट्यूरिंग मशीन के हेड का स्टेटस होता अगर यह अब यहां होता (जिसका मूल्य यहां मौजूद नहीं है) , और एक बिट कह रही है कि क्या अब यहाँ सिर है। स्पष्ट रूप से, समय टी पर प्रत्येक ऐसा राज्य केवल टी -1 पर अपने निकटवर्ती राज्यों पर निर्भर करता है, जो कि सीए के रूप में काम करने के लिए हम सभी की आवश्यकता है।