सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में जटिल विश्लेषण

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सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में वास्तविक विश्लेषण, संपत्ति परीक्षण, संचार जटिलता, पीएसी सीखने और अनुसंधान के कई अन्य क्षेत्रों को कवर करने के कई अनुप्रयोग हैं। हालाँकि, मैं TCS के किसी भी परिणाम के बारे में नहीं सोच सकता जो जटिल विश्लेषण (क्वांटम कंप्यूटिंग के बाहर, जहां जटिल संख्या मॉडल में आंतरिक हैं) पर निर्भर करता है । क्या किसी के पास शास्त्रीय टीसीएस परिणाम का एक उदाहरण है जो जटिल विश्लेषण का उपयोग करता है?

soft-question big-picture

1

बड़ा अच्छा सवाल! मेरा सुझाव है कि संख्या सिद्धांत से संबंधित परिणामों को बाहर करना बेहतर होगा - उदाहरण के लिए, रिमन की परिकल्पना का कोई भी उपयोग - क्वांटम कंप्यूटिंग के बजाय, जो परिमित-आयामी प्रणालियों (जहां तक मुझे पता है) के बारे में है।

— कॉलिन मैकक्लिअन

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हम एक पेपर में जटिल विश्लेषण का उपयोग करते हैं "Grothendieck Constant, Krivine के बाउंड की तुलना में सख्ती से छोटा है," जो (TCS के दृष्टिकोण से) अधिकतम की समस्या के लिए एक सन्निकटन एल्गोरिथ्म देता है, जो विषय है। । देखें ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$

— यूरी

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@ आपकी राय बहुत अच्छी हो सकती है।

— सुरेश वेंकट

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बर्नविनोक के जटिल-आधारित एल्गोरिथ्म के लिए स्थायी पॉलीओनोमियल समय एल्गोरिदम को अनुमानित स्थायित्व और मिश्रित भेदभावों को एक सरल घातांक कारक के भीतर अनुमानित किया गया है ।

इसके अलावा, जाहिर है, जटिल ऑपरेटरों (और कुछ जटिल विश्लेषण) क्वांटम कंप्यूटिंग में महत्वपूर्ण हैं।

मुझे इस पुस्तक की भी सिफारिश करने दें: ईटन बाछमत द्वारा बहुत सारे प्रासंगिक मुद्दों और महान अन्य चीजों के साथ प्रदर्शन विश्लेषण में विषय ।

— गिल कलाई
स्रोत

यह एक महान उदाहरण है, मुझे इस परिणाम की जानकारी नहीं थी - धन्यवाद!

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यह एक अकेली समस्या नहीं है, लेकिन एनालिटिकल कॉम्बिनेटरिक्स के पूरे क्षेत्र ( फ्लैजलेट और सेडगविक की पुस्तक देखें ) में यह पता लगाया गया है कि एक उपयुक्त जनरेटिंग फ़ंक्शन को लिखकर और संरचना का विश्लेषण करके ~~गणना~~ संरचनाओं (या यहां तक कि एल्गोरिथ्म रनिंग टाइम) की कॉम्बीनेटरियल जटिलता का विश्लेषण कैसे किया जाए। जटिल समाधान के।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

हाय सुरेश, 'जटिलता का विश्लेषण' से आपका क्या तात्पर्य है?

— एंडी ड्रकर

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आह मैंने गलत लिखा मेरा मतलब था "संरचनाओं के संयोजन की जटिलता का विश्लेषण" - ठीक कर देगा।

— सुरेश वेंकट

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जॉन केल्नर ने 2004 में अपने पेपर "स्पेक्ट्रल विभाजन, आइजनवेल्यू सीमा, और बंधे हुए जीनस के रेखांकन के लिए सर्कल पैक्सिंग" के लिए STOC सर्वश्रेष्ठ छात्र का पुरस्कार जीता।

मैं अभी सार से उद्धृत करूंगा:

हमारी मुख्य तकनीकी लेम्मा के रूप में, हम ऐसे ग्राफ़ के लाप्लासियन के दूसरे सबसे छोटे प्रतिजन पर बंधे एक ओ (जी / एन) को साबित करते हैं और बताते हैं कि यह तंग है, जिससे स्पीलमैन और टेंग के एक अनुमान का समाधान होता है। हालांकि यह लेम्मा प्रकृति में अनिवार्य रूप से दहनशील है, इसका प्रमाण निरंतर गणित से आता है, सर्कल पैकिग के सिद्धांत और कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के ज्यामिति पर आ रहा है।

"पारंपरिक" ग्राफ विभाजक समस्याओं पर हमला करने के लिए जटिल विश्लेषण (और अन्य "निरंतर" गणित) का उपयोग यादगार था और यह मुख्य कारण है कि यह कागज मेरे सिर में फंस गया, भले ही यह पूरी तरह से मेरे शोध से असंबंधित हो।

— मुगीज़ी रिवाबंगिरा
स्रोत

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मुझे लगता है कि आप सीधे सबूत में इस्तेमाल जटिल विश्लेषण में अधिक रुचि हो सकती है। हालाँकि, यहाँ एक स्नातक स्तर के एल्गोरिथ्म वर्ग से दो उदाहरण दिए जा रहे हैं जो मैं वर्तमान में देख रहा हूँ:

क) फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म, उदाहरण के लिए बहुपद में उपयोग किया जाता है। यद्यपि कार्यान्वयन मोडुलो अंकगणितीय या फ्लोटिंग पॉइंट (और कुछ अंकगणितीय विश्लेषण) के साथ किया जा सकता है, लेकिन सबूत को जटिल संख्या और एकता की उनकी जड़ों के संदर्भ में सबसे अच्छा समझा जाता है। मैं इस विषय में नहीं आया हूं, लेकिन मुझे पता है कि एफएफटी में आवेदनों की एक विस्तृत श्रृंखला है।

बी) सामान्य तौर पर, निरंतर समय में जटिल संख्याओं को संभालने की क्षमता के साथ रैम मॉडल को लैस करना (वास्तविक और काल्पनिक भागों में अभी भी परिमित परिशुद्धता है) किसी को समस्याओं का समाधान करने की अनुमति देता है और जटिल संख्याओं के गुणों का शोषण करता है जो एक समाधान प्रकट कर सकता है (देखें यह भी टिप्पणी कि यह आपको तेज क्यों नहीं होने देगा)।

— chazisop
स्रोत

क्या आपके पास दूसरे अवलोकन का उदाहरण है? यह निरंतर समय संचालन के साथ मानक रैम के लिए "कॉम्प्लेक्स ओ (लॉग एन) -बिट पूर्णांक" वर्ग को जोड़ने के लिए तुच्छ है। या "तेज" से, क्या आपका मतलब "2 के कारक से तेज" है?

— जेफ

यह व्याख्यान से एक अभ्यास था: "मान लें कि आप एक विस्तारित रैम के साथ काम कर रहे हैं, जो इकाई संख्या पर प्रति गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव में जटिल संख्याओं के साथ गणना कर सकता है। इसके अलावा यह निरपेक्ष मूल्य की गणना भी कर सकता है | c | c | इकाई समय में जटिल संख्या सी। इसके अलावा यह जटिल "0, 1," को जानता है और मैं दिखाता हूं कि इस तरह के एक विस्तारित रैम पर एक सकारात्मक पूर्णांक n दिया गया है संख्या n!

में गणना की जा सकती है

समय। समाधान बहुपद गुणन का उपयोग करता है, जो मुझे पता है कि यह मानक रैम मॉडल की तुलना में तेज है।

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— चेज़िसोप

6

प्रस्तावित एल्गोरिथ्म को निरंतर-समय अनंत-सटीक वास्तविक अंकगणित की आवश्यकता होती है। (आप

-bit पूर्णांक को

समय में

-बिट शब्दों के साथ मशीन का उपयोग करके गणना नहीं कर सकते , क्योंकि आपके पास आउटपुट लिखने का समय नहीं होगा!] प्रश्न आपको वास्तविक रैम मॉडल में वर्गमूल जोड़ने के लिए कह रहा है , प्रति जटिल संख्या नहीं ।

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— जेफ

टिप्पणी के लिए धन्यवाद, यह बहुत ज्ञानवर्धक है। मुझे लगता है कि मुझे अपने उत्तर को केवल जटिल संख्या के साथ चतुराई से समस्या को हल करने के लिए अद्यतन करना चाहिए, यानी एक समाधान देखने के लिए जिसे आप अन्यथा याद करेंगे।

— चेज़िसोप

6

शायद यह एप्लिकेशन TCS और डिस्क गणित के बीच कुछ हद तक है, लेकिन पेट्र सैविक (http://www2.cs.cas.cz/~sicky/) द्वारा "बेंट बुलियन फ़ंक्शंस जो सममित हैं" पेपर को पढ़ने पर मुझे थोड़ा आश्चर्य हुआ। कागजात / symmetric.ps)। प्रमेय केवल बुलियन कार्यों से संबंधित हैं, हालांकि प्रमाणों में से एक जटिल संख्याओं का उपयोग करता है।

— मैग्नस फाइंड
स्रोत

5

हम अपने पेपर में मुख्य तकनीकी उपकरण के रूप में जटिल विश्लेषण से कॉची के अवशेष प्रमेय का उपयोग करते हैं " रैखिक थ्रेसहोल्ड विधेयकों का अनुमोदन "।

— मातृ एवं शिशु स्वास्थ्य
स्रोत

5

कोबे-एंड्रीव-थर्स्टन सर्कल पैकिंग प्रमेय की उत्पत्ति रीमैन-मैपिंग प्रमेय में हुई है और इसमें विभिन्न एल्गोरिदमिक पहलू हैं। परीक्षा के लिए, यह प्लानर रेखांकन के लिए लिप्टन-टार्जन सम्राट प्रमेय का प्रमाण देता है।

— गिल कलाई
स्रोत

5

ओवन से ताजा:

हानिपूर्ण जनसंख्या वसूली के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म : अंकुर मोइत्रा, माइकल सक्स

कागज से उद्धरण: "यहां हम जटिल विश्लेषण से उपकरणों का उपयोग करके पिछले अनुभाग में बताए गए अनिश्चितता सिद्धांत को साबित करेंगे। शायद जटिल विमान में होलोमोर्फिक कार्यों की वृद्धि की दर को समझने में सबसे उपयोगी प्रमेयों में से एक है हामर्ड का थ्री सर्कल प्रमेय। .. "

— गिल कलाई
स्रोत

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ गुणांक के एब्स मूल्य के योग को दर्शाता है।

— अरनब

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ । एक समन्वित परिवर्तन करते हुए, हम खुद को थ्री सर्कल प्रमेय की सेटिंग में पाते हैं: एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन दो सांद्रिक हलकों में बिंदुओं पर बांधा जाता है, जो फ़ंक्शन को मध्यवर्ती त्रिज्या के किसी भी सर्कल पर बाध्य करता है।

— अरनब

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

5

$\ell_p$ $0 < p < 2$

डैनियल एम। केन, जेलानी नेल्सन, डेविड पी। वुड्रूफ़। स्केचिंग और स्ट्रीमिंग छोटे मानदंडों के सटीक अंतरिक्ष जटिलता पर। सोडा 2010।

आप एक सबूत लिखने के साथ दूर हो सकते हैं जो स्पष्ट रूप से जटिल विश्लेषण का उल्लेख नहीं करता है (मेरे वेबपेज पर उस पेपर के लिए "नोट्स" अनुभाग में पहली बुलेट देखें), लेकिन यहां तक कि उस प्रमाण में कवर के नीचे दुबके हुए जटिल विश्लेषण हैं।

— जेलानी नेल्सन
स्रोत

4

Naor, Regev और Vidick द्वारा हाल ही में एक पेपर में जटिल संख्या और विश्लेषण का उपयोग किया गया है, एनपी-हार्ड अनुकूलन समस्याओं के लिए सन्निकटन एल्गोरिदम में परिणाम देता है: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— क्लेमेंट सी।
स्रोत

फिर भी एक और कागज जो एकता की यादृच्छिक जड़ों का उपयोग करता है, वह है डैनियल एम। केन, कर्ट मेहल्हॉर्न, थॉमस सॉरेवल्ड और हे सन। डेटा स्ट्रीम में मनमाने सबग्राफ की गिनती। ICALP 2012.

— जेलानी नेल्सन

3

हाल ही में विश्नोई ने एक एल्गोरिथ्म दिया, जिसमें सबसे अधिक की लंबाई वाले TSP टूर मिले $n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ MAA मासिक में लॉरेंट और स्क्रीवर द्वारा)। कॉम्प्लेक्स प्लेन के लिए वास्तविक लाइन को छोड़ना गुरविट्स के प्रमाण के लिए आवश्यक लगता है और बहुत सारे मामलों को सरल करता है।

— साशो निकोलोव
स्रोत

0

$z \leftarrow z^2 + c$

[१] अभिकलन, ज्यामिति, और गत्यात्मक प्रणाली असाकी सेतो, कुनिहिको कनाको में दुर्गमता और अनिर्वायता

[२] 1990 की वास्तविक संख्या लेनोर ब्लम पर गणना और जटिलता का एक सिद्धांत

— vzn
स्रोत

0

$\mathbb{C}$

— Reb.Cabin
स्रोत