समय निर्माण की समान परिभाषाएँ

हम कहते हैं कि एक समारोह है समय-constructible , अगर वहाँ एक नियतात्मक बहु टेप मौजूद मशीन ट्यूरिंग कि लंबाई के सभी आदानों पर ज्यादा से ज्यादा बनाता है चरणों और प्रत्येक के लिए लंबाई का कुछ इनपुट मौजूद है, जिस पर अत्यधिक रूप से चरण बनाता है । $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $M$ $n$ $f(n)$ $n$ $n$ $M$ $f(n)$

हम कहते हैं कि एक समारोह $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ है पूरी तरह से समय-constructible , अगर वहाँ एक नियतात्मक बहु टेप मौजूद मशीन ट्यूरिंग $M$ कि लंबाई के सभी आदानों पर $n$ वास्तव में बनाता है $f(n)$ चरणों ।

Q1: क्या कोई फ़ंक्शन मौजूद है जो समय-संवेदी है और पूरी तरह से समय-निर्माण योग्य नहीं है?

इसका उत्तर हां ( इस उत्तर को देखें ), यदि $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ । क्या "हाँ" के लिए शर्त को मजबूत किया जा सकता है $P\neq NP$ ? क्या "हाँ" साबित हो सकता है?

Q2: यदि हम परिभाषा में केवल 2-टेप ट्यूरिंग मशीनों की अनुमति देते हैं, तो (पूरी तरह से) समय-समाप्य कार्यों का वर्ग बदलता है?

Q3: क्या विश्वास है कि सभी अच्छे कार्यों को पूरी तरह से समय पर कर रहे हैं के लिए "साबित" कारण हैं?

पेपर
कोजिरो कोबायाशी: ऑन प्रोविंग टाइम कंस्ट्रक्शन ऑफ फंक्शंस। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 35: 215-225 (1985)
आंशिक रूप से उत्तर Q3। इसका आंशिक सारांश और उन्नयन इस उत्तर में है । मैं Q3 को उत्तर के रूप में लेता हूं।

ऐतिहासिक रूप से, वास्तविक समय की गणना योग्य फ़ंक्शन की धारणा का उपयोग (पूरी तरह से) समय-निर्माण के बजाय किया गया था। इस सवाल को और देखें ।

cc.complexity-theory time-complexity terminology

— डेविड जी
स्रोत

जिज्ञासु - क्या आप मुझे इन परिभाषाओं के संदर्भ में बता सकते हैं? मैं constructible कार्यों से परिचित नहीं हूँ, और मैं इन परिभाषाओं ऑनलाइन नहीं मिल सकता है (यह भी मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या वे के बराबर कर रहे हैं जैसे विकिपीडिया वाले)।

— usul

@usul संदर्भ है: जेई हॉपक्रॉफ्ट, जेडी उल्मैन। ऑटोमेटा सिद्धांत, भाषाओं और अभिकलन का परिचय। Addison-Wesley Series in Computer Science, 1979 यहाँ एक ही परिभाषा पाई जा सकती है: cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html

— डेविड '

पिछले कुछ दिनों में मैंने बहुत (पूरी तरह से) समय-निर्माण कार्यों के बारे में सोचा और मैं Q1 और Q3 का उत्तर देकर जो कुछ भी पाया उसे प्रस्तुत करूँगा। Q2 बहुत कठिन लगता है।

Q3:

अपने लेख में कोबायाशी (संदर्भ सवाल में है) साबित कर दिया कि एक समारोह , जिसके लिए एक वहां मौजूद सेंट , पूरी तरह से समय constructible iff यह है समय में कम्प्यूटेशनल । (ध्यान दें कि यह अप्रासंगिक है कि क्या इनपुट या आउटपुट एकात्मक / बाइनरी में है क्योंकि हम इन दो अभ्यावेदन के बीच रैखिक में बदल सकते हैं)। यह निम्नलिखित कार्यों को पूरी तरह से समय-निर्माण योग्य बनाता है: , $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $\epsilon>0$ $f(n)\geq (1+\epsilon)n$ $O(f(n))$ $2^n$ ,, , सभी बहुआयामी पद से अधिक सेंट ... कोबायाशी भी कुछ कार्यों कि बढ़ने धीमी गति से लिए पूरी तरह से समय-constructibility साबित कर दिया , जैसे के लिए ... $2^{2^n}$ $n!$ $n\lfloor \log n \rfloor$ $p$ $\mathbb{N}$ $p(n)\geq (1+\epsilon)n$ $(1+\epsilon)n$ $n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$ $q\in\mathbb{Q}^+$

पूरी तरह से समय-constructible कार्यों के उदाहरण के साथ जारी रखने के लिए एक साबित कर सकते हैं कि अगर और पूरी तरह से समय-constructible, तो कर रहे हैं , , और हैं यह भी पूरी तरह से समय-निर्माण योग्य है (बाद में सीधे कोबायशी में प्रमेय 3.1 से)। यह पूरी तरह से मुझे विश्वास दिलाता है कि कई अच्छे कार्य वास्तव में पूरी तरह से समय-निर्माण योग्य हैं। $f_1$ $f_2$ $f_1+f_2$ $f_1f_2$ $f_1^{f_2}$ $f_1\circ f_2$

यह आश्चर्य की बात है कि कोबायाशी को (अच्छा) फ़ंक्शन (और न ही मैं नहीं) के पूर्ण-समय-निर्माण को साबित करने का एक तरीका नहीं दिखाई दिया । $\lfloor n\log n\rfloor$

आइए हम विकिपीडिया लेख से परिभाषा पर भी टिप्पणी करते हैं : एक फ़ंक्शन समय-निर्माण योग्य है, यदि कोई ट्यूरिंग मशीन मौजूद है , जो एक स्ट्रिंग , आउटपुट में समय देता है। $f$ $M$ $1^n$ $f(n)$ $O(f(n))$ हम देखते हैं कि इस परिभाषा कार्यों के लिए पूरी तरह से समय-constructibility की हमारी परिभाषा को equivallent है । $f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1:

इस सवाल का एक बहुत ही दिलचस्प जवाब है। मेरा दावा है कि यदि सभी समय-रचनात्मक कार्य पूरी तरह से समय-निर्माण योग्य हैं, तो । यह साबित करने के लिए, हमें एक मनमाना समस्या ले जाने , । तो फिर वहाँ एक से मौजूद है , सेंट $EXP-TIME=NEXP-TIME$ $L\in NEXP-TIME$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ NDTM द्वारा चरणों में हल किया जा सकता है । हम यह मान सकते हैं कि प्रत्येक चरण पर सादगी के लिए अधिकांश दो अलग-अलग राज्यों में जाता है। अब परिभाषित समारोह $M$ $2^{n^k-1}$ $M$

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & if (first ⌊ \sqrt[k]{⌊ \log n ⌋ + 1} ⌋ bits of b i n (n)) \in L \\ 8 n + 1 & else \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

$f$ $T$

$w$ $n$ $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $O(n)$
$M$ $w$
$\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

$w$ $=n$ $M$ $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $n$

$T$ $8n+1$ $f$

$w$ $n$ $T$ $8n$
$T$

$f$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

$L$

$x$ $n$ $x00\ldots 0$ $|x|^{k-1}$ $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
$f(n)$ $f(n)$

$L$ $L\in NEXP-TIME$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

— डेविड जी
स्रोत

बहुत अच्छा! [टिप्पणी बॉक्स को खुश करने के लिए पैडिंग]

— एमिल जेकाबेक

प्रश्न Q1 के उत्तर में प्रस्तुत एक समान विचार का उपयोग यहां भी किया गया है ।

— डेविड जी