सभी शीर्ष मिलानों पर न्यूनतम फैले पेड़

Question

मैं इस मिलान समस्या में भाग गया, जिसके लिए मैं एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म लिखने में असमर्थ हूं।

चलो के साथ शिखर सेट पूरा भारित रेखांकन हो और , क्रमशः, जहां । इसके अलावा, और क्रमशः और के किनारों पर भार कार्य करते हैं।$P, Q$$P_V$$Q_V$$|P_V| = |Q_V|=n$$w_P$$w_Q$$P$$Q$

एक द्विभाजन के लिए हम संशोधित निम्नलिखित फैशन में: यदि और के साथ फिर । द्वारा इस संशोधित ग्राफ को निरूपित करें और के न्यूनतम फैले हुए वृक्ष के भार का योग ।$f: P_V \to Q_V$$Q$$f(p) = q$$f(p^\prime) = q^\prime$$w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$$w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$$Q_f$$W(Q_f)$$Q_f$

समस्या: छोटा करें$W(Q_f)$ सभी जीवों पर $f: P_V \to Q_V$।

यह समस्या कितनी कठिन है? यदि "कठिन": सन्निकटन एल्गोरिदम के बारे में क्या?

Comments

क्या हम मान सकते हैं कि पी और क्यू में वजन अलग से त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करते हैं? क्योंकि यदि ऐसा है, तो उनमें से प्रत्येक में एक एमएसटी को अलग-अलग ढूंढते हुए, एक यूलर टूर का गठन करते हुए इसे एक अनुमानित ट्रैवलिंग सेल्समैन पथ में बदल दिया जाता है, और एक मेल का चयन करना जो संगत पथ स्थितियों में कोने से मेल खाता है, ऐसा लगता है कि यह आपकी समस्या का 2-सन्निकटन होना चाहिए। ।

— डेविड एपपस्टीन

@DavidEppstein: हाँ, वज़न त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करते हैं। आपका विचार दिलचस्प लग रहा है, धन्यवाद!

— एमबी

Answer 1

(टिप्पणियों से स्थानांतरित) यहां एक स्थिर कारक सन्निकटन प्राप्त करने के लिए एक विचार है, पी और क्यू को त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करता है। मैंने सोचा कि यह एक 2-सन्निकटन दे सकता है, लेकिन मैं अभी यह साबित कर सकता हूं कि 4 का सन्निकटन अनुपात है।

(1) समस्या में कहा गया है, बढ़त का वजन $pq$ संयुक्त ग्राफ में (पत्राचार के बाद) $p$-$p'$ तथा $q$-$q'$ निर्धारित है) है $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$। इसके बजाय, चलो उपयोग करते हैं$P(pq)+Q(p'q')$। यह दो के अधिकांश कारक को खो देता है, लेकिन समस्या का वर्णन करना आसान बनाता है: हम अब एक फैले हुए पेड़ को खोजने की कोशिश कर रहे हैं$P$, और एक आइसोमोर्फिक फैले पेड़ में $Q$न्यूनतम कुल वजन के साथ। के बीच पत्राचार$P$ तथा $Q$ फिर इन दो पेड़ों के बीच आइसोमॉर्फिज्म द्वारा दिया जाता है।

(२) में $P$एक न्यूनतम फैले हुए वृक्ष को खोजें, और सबसे दुगुने वजन वाले पथ को खोजने के लिए पाथ-डबलिंग यूलर टूर तकनीक का उपयोग करें। स्वतंत्र रूप से एक ही काम करें$Q$। परिणाम दो आइसोमॉर्फिक पेड़ (दोनों पथ) हैं जो अपने ग्राफ़ के एमएसटी के वजन के दो बार अलग-अलग होते हैं, और इसलिए न्यूनतम आइसोमोर्फिक फैले हुए पेड़ की समस्या के समाधान की लागत का दोगुना और मूल समस्या के वजन का चार गुना अधिक होता है। ।

(३) मूल समस्या एनपी-पूर्ण है, हैमिल्टनियन मार्ग से कमी के द्वारा। चलो$P$एक ग्राफ से परिभाषित किया जाना चाहिए जिसमें आप एक हैमिल्टन मार्ग के अस्तित्व का परीक्षण करना चाहते हैं; परिभाषित$P(pq)=1$ कब $pq$ में बढ़त है $P$ तथा $2$ कब $pq$एक धार नहीं है। चलो$Q$एक मार्ग ग्राफ से बिल्कुल उसी तरह परिभाषित किया गया है। फिर कुल लागत का एक समाधान है$n-1$ यदि और केवल यदि ग्राफ किस से $P$परिभाषित किया गया था कि एक हैमिल्टन मार्ग है। संभवतः इसका उपयोग कुछ निश्चित स्थिरांक के नीचे अनुपयुक्तता साबित करने के लिए भी किया जा सकता है।

Comments

धन्यवाद, यह एक उत्कृष्ट उत्तर है। (जाहिर है, मैं आपको अगले 18 घंटों में इनाम देने के लिए योग्य नहीं हूं।)

— एमबी

कैसे का उपयोग करने के बारे में $(1+\sqrt{5})/2$के लिए समर्थन $s$-$t$ पथ TSP (हर प्रयास करें $s$ तथा $p$) दो पेड़ों (यानी, पथ) पाने के लिए? arxiv.org/abs/1110.4604

— मैग्नस लाइ हेटलैंड

दूसरे विचार पर, यह केवल आपको इष्टतम पथ के लिए एक अनुपात देगा, निश्चित रूप से, एमएसटी नहीं। तो ... कोई बात नहीं;)

— मैग्नस लाइ हेटलैंड