Eigenvalues ​​की गणना की अंतरिक्ष जटिलता क्या है?

Question

मैं एक सर्वे पेपर या एक पुस्तक की तलाश कर रहा हूं, जो सामान्य रैखिक बीजगणित संचालन जैसे कि मैट्रिक्स रैंक, ईजेनवेल्यूज गणना, आदि के बारे में अंतरिक्ष जटिलता के परिणामों को कवर करता है। मैं "स्पेस जटिलता" भाग अर्थ वर्क स्पेस जटिलता पर जोर देता हूं, बजाय समय जटिलता के। समय परिणामों का पता लगाना आसान है। मैं मामले में किसी भी संदर्भ की सराहना करता हूं।

धन्यवाद।

Comments

मेरा अनुमान है कि जटिलता हमेशा सबसे रैखिक (जैसे लिए मैट्रिक्स) के लिए होती है। क्या आप "कुल स्थान" या "कार्य स्थान" में रुचि रखते हैं? $O(nm)$$n\times m$

— युवल फिल्मस

मुझे यह उल्लेख करना चाहिए कि मुझे कार्य स्थान में दिलचस्पी है।

— गिल

मुझे यकीन है कि यह एक \ n बार n मैट्रिक्स के लिए \ mathcal O (n ^ 2) है । मूल कारण यह है कि मैं दो उपयोगी तरीकों को जानता हूं कि उनकी गणना कैसे करें और दोनों अंतरिक्ष में द्विघात हैं। पहले विशेषता बहुपद (द्विघात) की गणना कर रहा है और जड़ों को खोज रहा है। दूसरा कुछ सन्निकटन विधियों का उपयोग कर रहा है, जिन्हें सभी को संशोधित मैट्रिक्स को संग्रहीत करने की आवश्यकता है (लेकिन मैं इस पर विस्तार नहीं कर सकता, यह कुछ समय रहा है क्योंकि मैं संख्यात्मक रैखिक बीजगणित का अध्ययन कर रहा था)। $\mathcal O(n^2)$$n\times n$

— यो '

@ युवल फिल्मस द्वारा बनाए गए बिंदु पर विस्तार करने के लिए, अंतरिक्ष जटिलता विशिष्ट गणना मॉडल के प्रति काफी संवेदनशील है। विशेष रूप से, चूंकि आउटपुट रैखिक आकार का है, इसलिए आउटपुट टेप को कार्यक्षेत्र के रूप में उपयोग करके चालें चला सकता है जब तक कि मॉडल स्पष्ट रूप से केवल लेखन-आउटपुट टेप को निर्दिष्ट नहीं करता है। इस तरह के मुद्दों से बचने के लिए, मुझे निर्णय की समस्याओं (उदाहरण के लिए इनपुट तीन मैट्रिसेस के रूप में दिया जाता है, की जाँच करें कि क्या तीसरा पहले दो का उत्पाद है)। क्या आप उस मॉडल को निर्दिष्ट कर सकते हैं जो आपके मन में था? (इसके अलावा, मैं अंतरिक्ष जटिलता के बारे में पुस्तकों से अवगत नहीं हूं, और या तो कोई उपयोगी सर्वेक्षण नहीं मिला है।)

— एंड्रस सलामोन

@ AndrásSalamon के संबंध में, इसलिए एक निर्णय संस्करण जो मेरे लिए उपयोगी है, वह हो सकता है: k'th eigenvalue इन द बिग तब q। पूर्णांक k और परिमेय q के लिए। धन्यवाद।

— गिल

Answer 1

पूर्णांक (या तर्कसंगत) पर रेखीय बीजगणित में कई सामान्य समस्याओं के निर्णय संस्करण वर्ग $\mathsf{DET}$ में हैं, कागज देखें

गेरहार्ड बंट्रॉक, कार्स्टन डैम, उलरिच हर्ट्रैम्प, क्रिस्टोफ मीनल: लॉगस्पेस-एमओडी क्लास की संरचना और महत्व। गणितीय प्रणाली सिद्धांत 25 (3): 223-237 (1992)

$\mathsf{DET}$ में समाहित है ।$\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

Eigenvalues ​​की गणना करना थोड़ा अधिक नाजुक है:

1) in , कोई व्यक्ति बहुपद के गुणांक की गणना कर सकता है।$\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2) तब आप पुनर्जन्मों की गणना करने के लिए Reif और Neff द्वारा समानांतर एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं। एल्गोरिथ्म बहुपद रूप में कई प्रोसेसर के साथ एक रचनात्मक-प्रैम पर चलता है, इसलिए इसे पाली-लॉगरिदमिक स्थान के साथ जोड़ा जा सकता है। (यह कागज़ में स्पष्ट रूप से नहीं बताया गया है, लेकिन उनके PRAM को लॉग-स्पेस यूनिफ़ॉर्म होना चाहिए।) इस्तेमाल की जाने वाली जगह इनपुट मैट्रिक्स के आकार में पॉलीग्लारिथमिक और सटीक । प्रिसिजन मतलब है कि आपको एडिटिव एरर तक का अनुमान है ।$p$$p$$2^{-p}$

यह पाली-लॉगरिदमिक स्थान में गणना योग्य कार्यों का एक संयोजन है। (आउटपुट टेप केवल और oneway लिखे जाते हैं।)

सी। एंड्रयू नेफ, जॉन एच। रिफ़: कॉम्प्लेक्स रूट्स प्रॉब्लम के लिए एक कुशल एल्गोरिथम। जे। जटिलता 12 (2): 81-115 (1996)

Answer 2

हाल ही में, टा-शमा [एसटीओसी 2013] से पता चला है कि मेट्रिसेस के वर्णक्रमीय सन्निकटन को क्वांटिटी लॉगस्पेस में किया जा सकता है। जैसे, वर्णक्रमीय सन्निकटन यादृच्छिक सिक्कों के साथ DSPACE ( ) में है, और मुझे विश्वास है कि वास्तव में में यादृच्छिक सिक्कों के साथ किया जा सकता है , क्योंकि यह केवल मैट्रिक्स मैट्रिक्स को पुनरावृत्त करता है। एन सी $log^2$$NC^2$