"पी" और "एनपी-हार्ड" के आरामदायक पड़ोस

Question

को एक एल्गोरिथमिक कार्य होने दें । (यह एक निर्णय समस्या या एक अनुकूलन समस्या या कोई अन्य कार्य हो सकता है।) हम "बहुपद पक्ष पर" कहते हैं, यदि यह मानते हुए कि एनपी-हार्ड है तो इसका अर्थ है कि बहुपद हाइअरार्की का पतन होता है। आइए "एनपी-साइड पर" कहते हैं अगर यह मानते हुए कि एक बहुपद एल्गोरिथ्म को स्वीकार करता है तो इसका मतलब है कि बहुपद पदानुक्रम का पतन होता है।एक्स एक्स एक्स $X$$X$$X$$X$$X$

बेशक, पी में हर समस्या बहुपद पक्ष पर है और हर समस्या जो एनपी-हार्ड एनपी-साइड में है। इसके अलावा, उदाहरण के लिए, बहुपद पक्ष पर फैक्टरिंग (या एनपी चौराहे कोएनपी में कुछ भी) है। ग्राफ आइसोमोर्फिज्म बहुपद पक्ष पर है। क्वांटम-नमूनाकरण एनपी-साइड में है।

1) मैं बहुपद पक्ष में और विशेष रूप से (विशेषकर) एनपी पक्ष में अधिक उदाहरणों में अल्गोरिटिक कार्यों के अधिक उदाहरणों (यथासंभव प्राकृतिक) में रुचि रखता हूं।

2) नकारात्मक रूप से यह दिखता है कि एनपी पक्ष, एनपी-हार्ड समस्याओं के "पड़ोस" का एक प्रकार है, और पी-साइड "पी का पड़ोस" है। क्या पी साइड में समस्याओं की तुलना में एनपी पक्ष में समस्याओं को "काफी कठिन" के रूप में समझने के लिए यह एक सही अंतर्दृष्टि है। या यहां तक ​​कि एनपी पक्ष में समस्याओं को "नैतिक रूप से एनपी-हार्ड?"

3) (यह स्पष्ट हो सकता है, लेकिन मैं इसे नहीं देखता हूं) क्या दोनों तरफ एक या ऐसा करने के लिए सैद्धांतिक कारण हैं कि इस तरह के की संभावना नहीं है। अद्यतन उत्तर हां है; नीचे देखें युवल फिल्मस का जवाब।$X$$X$

(यदि ये "पक्ष" वास्तविक जटिलता वर्गों से संबंधित हैं और अगर मुझे कुछ प्रासंगिक cc शब्दजाल या प्रासंगिक परिणाम याद हैं तो कृपया मुझे बताएं।)

अद्यतन करें:इस सवाल के कई अच्छे जवाब हैं। जैसा कि पहले युवल फिल्मस द्वारा उल्लेख किया गया था और फिर से उल्लेख किया गया है कि सवाल औपचारिक नहीं है और तर्क पर कुछ प्रतिबंध दिखा रहा है कि एक्स पी-साइड / एनपी-साइड पर है। (अन्यथा, आपके पास एक्स = 0 = 1 के लिए एक प्रमाण प्रस्तुत करने का कार्य हो सकता है जो दोनों तरफ है।) इसे एक तरफ रखकर, यह मामला हो सकता है कि एनपी-साइड पर एक्स (वास्तव में) की समस्याओं को किसी तरह कठोरता पर कब्जा करना। सैट, हालांकि यह पी-साइड की कुछ समस्याओं के लिए भी हो सकता है जहां एक सिद्ध तरीके से सैट की कठोरता को कमजोर (यहां तक ​​कि थोड़ा) किया जाता है। युवल फिल्मस ने सैट का एक कमजोर संस्करण दिया जो दोनों तरफ है। एंडी ड्रकर ने (दो उत्तरों में) पांच दिलचस्प उदाहरण दिए जिनमें शॉनिंग की कम और उच्च पदानुक्रम के संदर्भ में, और स्कॉट आरोनसन ने और दिलचस्प उदाहरण दिए, एक तरह से कार्य करने के सवाल का उल्लेख किया, जो एनपी कठोरता को पकड़ने के करीब है और अभी तक पी-साइड पर है, और उनके उत्तर में क्वांटुम्सलिंग के दिलचस्प मामले पर भी चर्चा की गई है। मैं Feige और लंड द्वारा इस तरह का एक पुराना परिणाम मिला।

Comments

Re 3, यदि आप मानते हैं कि PH नहीं गिरता है, तो कुछ NP-मध्यवर्ती समस्या है। X चूंकि X न तो NP- हार्ड है और न ही P में है, तो X "दोनों तरफ" है, फिर भी PH नहीं गिरता है, इसलिए 3 गलत है। दूसरी ओर, यदि PH गिरता है, तो 3 सत्य है। तो 3 PH ढह जाता है। $\leftrightarrow$

— युवल फिल्मस

क्या सबूत प्रणाली में एक सबूत? इसके अलावा, "दुनिया" के किसी भी विशेष मॉडल में (जो भी प्रूफ सिस्टम आमतौर पर काम करता है), तो या तो पीएच ढह जाता है या यह नहीं होता है, जब तक कि हम अंतर्ज्ञानवादी तर्क में काम नहीं करते हैं।

— युवल फिल्मस

प्रिय युवल और स्क्वार्क, हम्म, शायद "कारण" या "साबित" के बारे में तालमेल के बजाय बस यह कहना बेहतर है कि एक्स पी पक्ष में है अगर यह जाना जाता है कि यदि एक्स एनपी-हार्ड है तो पीएच टूट जाता है, और एक्स है एनपी पक्ष में अगर यह ज्ञात है कि यदि एक्स पी में है, तो पीएच ढह जाता है। (प्रश्न 1 और 2 अपरिवर्तित रहते हैं और प्रश्न 3 पूछता है कि क्या दोनों पक्षों पर कोई X है या कोई सैद्धांतिक कारण है कि कोई X संभव नहीं है।)

— Gil Kalai

(वैसे भी, आपके द्वारा उठाए जाने वाली कठिनाइयों से बचने के लिए, जो दिलचस्प हैं, लेकिन इस प्रश्न के लिए आवश्यक नहीं हैं कि मैं प्रश्न को सुधार दूंगा।)

— गिल कलाई

जीके को संदेह है कि यहां कुछ सवाल हो सकते हैं, जिनका पीएच ढहने से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन शायद पी और एनपी पूरी के बीच अलग-अलग जटिलता वर्गों के बारे में है ... स्पष्ट रूप से यह एक सवाल के बारे में लगता है कि कैसे (साबित-से-मौजूद) हार्टमैनिस- पी बनाम एनपी पर स्टर्न का समय पदानुक्रम के नक्शे ... यह साबित करता है कि एक निरंतरता है, और जटिलता कक्षाएं साबित होती हैं (यदि वे मौजूद हैं) तो इस सातत्य में बहुत महत्वपूर्ण "असंतोष" हैं ... यह भी लादेन के बारे में लगता है ...

— vzn

Answer 1

बहुत शब्द "पी-साइड पर" और "एनपी-साइड पर", और निश्चित रूप से प्रश्न शीर्षक, एनपी-हार्ड समस्याओं के आसपास पी और एक और "आरामदायक पड़ोस" की कल्पना करने के लिए हमें प्रोत्साहित करते हैं। हालांकि, मैं यह तर्क देना चाहूंगा कि ये दोनों पड़ोस इतने "आरामदायक" नहीं हैं!

पहले अवलोकन के रूप में, "पी-साइड पर" समस्याएं हैं जो "नैतिक रूप से" एनपी-पी के मुकाबले बहुत करीब लगती हैं। उदाहरण के लिए, गिल के द्वारा प्रत्याशित एक उदाहरण, एकतरफा कार्यों को निष्क्रिय करने की सामान्य समस्या है ( किस प्रकार की कटौती की अनुमति दी जाती है इसके आधार पर, बोगडानोव-ट्रेविसन या अकाविया एट अल देखें।)।

इसके विपरीत, "एनपी-साइड" में भी समस्याएं हैं जो एनपी-हार्ड होने से "मनमाने ढंग से दूर" लगती हैं। एक मूर्खतापूर्ण उदाहरण एक यादृच्छिक भाषा एल है, जिसमें संभावना 1 से अधिक एल है! यदि ऐसा L, P में है, तो 0 = 1 और गणित असंगत है, और इसलिए PH भी ढह जाता है। ;-D

(ध्यान दें कि एक यादृच्छिक भाषा एल भी "पी-साइड पर" है, संभावना 1 के साथ एल। लगभग सभी ऐसे एल के पास संपत्ति है कि अगर वे एनपी-हार्ड हैं, तो एनपी⊆बीपीपी और पीएच ढह जाते हैं। और यह एक प्रमाण देता है, लेडनर के प्रमेय की अपील की तुलना में बहुत सरल है, कि दोनों पक्षों में भाषाएं मौजूद हैं। "वास्तव में, यह भाषाओं की बेशुमार अनंतता को दर्शाता है," लगभग सभी "- वास्तव में, 100% - दोनों तरफ हैं!)

यह किशोर खेल-खेल की तरह लगता है, लेकिन एक गंभीर सबक है जो मैं इससे आकर्षित करना चाहता हूं। मेरा तर्क है कि भले ही QUANTUM SAMPLING औपचारिक रूप से "NP-side पर" हो, लेकिन यह समस्या यादृच्छिक भाषा L की तुलना में "नैतिक रूप से NP-hard" होने के बमुश्किल किसी भी करीब है। आर्किपोव और मैं (और स्वतंत्र रूप से, ब्रेमर-जोसा-शेफर्ड) ने दिखाया कि, यदि क्वांटम सैम्पलिंग P (या बल्कि SampBPP में, बहुपद- ^{सॉल्वैंस} नमूनाकरण की समस्याओं का वर्ग है), तो P ^#P = BPP ^NP , और इसलिए इसलिए बहुपद पदानुक्रम का पतन होता है। फिर भी अगर आप एक BPP मशीन हैं, तो BosonSampling के लिए एक आभूषण, जहां तक ​​हम जानते हैं, आप एक यादृच्छिक ओरेकल की तुलना में NP- पूर्ण समस्याओं को हल करने के लिए कोई करीब नहीं लाएंगे। केवल अगर आपके पास पहले से ही एनपी-पूर्ण समस्याओं को हल करने की क्षमता है - कहते हैं,^एनपी मशीन - क्या आप "नोटिस" करते हैं कि BosonSampling oracle आपकी क्षमताओं को और भी बढ़ा देता है, #P तक। लेकिन एनपी को # पी तक बढ़ाने की संपत्ति अलग-अलग लगती है, और शायद यह भी "किसी के दम पर एनपी-कठोर होने की संपत्ति"।

संयोग से, गिल के प्रश्न के द्वारा सुझाई गई एक अद्भुत खुली समस्या यह है कि क्या बोसोनसम्पलिंग भी "पी-साइड पर" है। यही है, क्या हम दिखा सकते हैं कि अगर NP BosonSampling पर कम हो जाता है तो PH गिर जाता है? हालांकि, मुझे कुछ स्पष्ट याद आ रहा है, पहली नज़र में मुझे इस बात का कोई सुराग नहीं है कि इस तरह की बात कैसे साबित की जाए, इससे अधिक मैं जानता हूं कि मजबूत निहितार्थ को कैसे साबित किया जाए कि अगर एनपी Q बीक्यूपी तो पीएच पतन हो जाए।

Comments

अंतिम पैराग्राफ के बारे में यह भी दिलचस्प है अगर क्वांटम सैम्पलिंग या बॉसोनसमलिंग (यहां तक ​​कि सिर्फ एक अनुमानित अर्थ में) एसएएमपीबीपीपी क्षमताओं के साथ एक कॉमेकार्ड में प्राप्त किया जा सकता है, जो इसके अलावा, बीक्यूपी समस्याओं को हल करने की क्षमता देता है।

— गिल कलाई

@ गिल: मैं सहमत हूँ, यह एक उत्कृष्ट सवाल है। जैसा कि एलेक्स और मैं हमारे पेपर की धारा 4.1 में बताते हैं, यदि ऐसा था, तो पी ^ # पी बीपीपी ^ एनपी ^ बीक्यूपी में निहित होगा। जो मुझे असंभव लगता है, हालांकि मैं एक मजबूत अंतर्ज्ञान की कमी मानता हूं!

— स्कॉट आरोनसन

यहाँ उनके कागजात हैं: cs.berkeley.edu/~luca/pubs/redux-sicomp.pdf people.csail.mit.edu/akavia/2006-stocAGGM.pdf (यह भी देखें पर इरेटा people.csail.mit.edu/akavia /AGGM_errata.pdf ) (Feigenbaum और Fortnow द्वारा पूर्व में संबंधित कार्य भी थे।) मूल रूप से वे बताते हैं कि यदि एकतरफा कार्य में एनपी- रैंडमाइज्ड, अनडैप्टिव रिडक्शन के तहत एनपी-हार्ड है , तो PH का पतन होता है। अनुकूली कटौती का मामला खुला रहता है।

— स्कॉट आरोनसन

QSAMPLING के बारे में, मैं आसानी से विश्वास कर सकता था कि BPP ^ NP ^ QSAMPLING BPP ^ NP ^ BQP की तुलना में कड़ाई से बड़ी है (हालांकि, निश्चित रूप से, मुझे पक्का पता नहीं है)। लेकिन जैसा कि मैं इसे देखता हूं, यह हमें QSAMPLING और BQP के बीच "अंतर्निहित मतभेदों" के बारे में कम बताएगा, बस ओरेकल एक्सेस तंत्र में अंतर के बारे में! विशेष रूप से याद करते हैं कि, हमारी परिभाषाओं के अनुसार, BPP ^ NP मशीन क्वांटम सैंपलिंग ओरेकल द्वारा उपयोग किए जाने वाले यादृच्छिक बिट्स को चुनती है। और यहां तक कि एक व्यावहारिक क्वांटम कंप्यूटर, कि अनियमितता फिक्सिंग की क्षमता प्रदान नहीं होगा, हालांकि एक क्यूसी की एक शास्त्रीय सिमुलेशन हैं प्रदान करते हैं।

— स्कॉट आरोनसन

गिल: ठीक है, एक-तरफा कार्यों को अंजाम देना एनपी-पूर्ण समस्याओं को हल करने के लिए समान रूप से समतुल्य है, दो बदलावों को छोड़कर: (1) आपको सबसे खराब स्थिति वाले मामलों को संभालने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन केवल औसत-केस (कुशलतापूर्वक-नमूना वितरण) , और (2) एक ही नमूना प्रक्रिया जो उदाहरण उत्पन्न करती है, उनके लिए संतोषजनक कार्य भी उत्पन्न करती है।

— स्कॉट आरोनसन 1

Answer 2

दो टिप्पणियाँ, जिनमें से न तो एक उत्तर के लिए राशि, लेकिन जो आगे पढ़ने के लिए कुछ उपयोगी प्रदान कर सकती है।

1) स्कोपिंग ने एनपी समस्याओं के दो वर्गों को परिभाषित किया, जिन्हें "लो हियरार्की" और "हाई हिरार्की" कहा जाता है, जो आपकी धारणाओं से संबंधित हैं। विशेष रूप से, लोव में समस्याएं "पी-साइड" पर हैं, और हाईएच में समस्याएं एनपी-साइड पर हैं। जटिलता में कई प्रसिद्ध परिणाम इस ढांचे में बताए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, कार्प-लिप्टन प्रमेय कहता है कि एनपी पी / पाली में नहीं है जब तक कि पीएच ढह न जाए; यह इस तथ्य का परिणाम है कि एनपी पी / पॉली लोव के एक निश्चित स्तर में निहित है (जैसा कि कार्प-लिप्टन प्रूफ तकनीक से पता चलता है)। ध्यान दें कि हम उम्मीद नहीं करते हैं कि NP P / poly, या LowH, P में समाहित है। विशेष रूप से LowH के सर्वेक्षण के लिए, देखें$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

2) उस समस्या पर विचार करें जहां हमें एक बूलियन फ़ंक्शन की पूर्ण सत्य तालिका दी गई है, और पूछा गया कि क्या यह कुछ आकार के बूलियन सर्किट है । यह समस्या एनपी में है, और पी में होने की संभावना नहीं है (यह कई आश्चर्यजनक परिणाम देगा)। दूसरी ओर, इस समस्या के लिए एनपी-पूर्णता का एक प्रमाण, अगर यह कुछ निश्चित प्राकृतिक प्रतिबंधों का पालन करता है, तो हमें जटिलता सिद्धांत में शक्तिशाली नए परिणाम देगा। यह कबनेट्स और कै इन द्वारा दिखाया गया था$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

स्पष्ट है, वहाँ कोई वास्तविक सबूत नहीं है कि इस समस्या है नहीं एनपी कठिन है, या यह किसी भी अर्थ में आसान है। लेकिन यह एनपी में अन्य कठिन समस्याओं से काफी अलग है। मुझे लगता है कि यह एनपी-इंटरमीडिएट समस्याओं के लिए सबसे दिलचस्प उम्मीदवारों में से एक है, और न कि एक अच्छी तरह से ज्ञात है।

Answer 3

रसेल इम्पेग्लियाज़ो के लडनेर के प्रमेय का प्रमाण 3. के लिए एक उदाहरण प्रस्तुत करता है। पूर्णता की खातिर, नीचे मैं एल्गोरिथमिक कार्य की परिभाषा की प्रतिलिपि बनाता हूं और इस सबूत को स्केच करता हूं कि यह "दोनों तरफ" है, एक मजबूत अर्थ में: दोनों मामलों में, पीएच पी। से टकराता है। अधिक विवरण लिंक किए गए नोट में पाया जा सकता है (फोर्टवे और गैसार्च के ब्लॉग से लिया गया है), जो कि (हल्के से) अपेंडिक्स से यूनिवर्सली हार्ड सेट्स फॉर डाउनी और फोर्टवे से अनुकूलित है।$X$

बता दें कि सभी क्लॉक किए गए पॉलीटाइम ट्यूरिंग मशीनों का एक गणन है, जैसे कि समय में समाप्त होता है । अगली कड़ी में, हम जोड़े उल्लेख करेंगे । इन्हें कुछ उचित तरीके से बाइनरी स्ट्रिंग्स के रूप में एन्कोडेड माना जाता है।$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

हम पुनरावर्ती रूप से एक फ़ंक्शन परिभाषित करते हैं । पहला, । दिए गए , को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। चलो सभी जोड़ों से मिलकर बनता है ऐसा है कि और एक संतोषजनक सूत्र है। यदि अधिकांश में लंबाई का एक द्विआधारी स्ट्रिंग , जैसे कि तो , अन्यथा । यह जांचना कठिन नहीं है कि गणना में बहुपद के समय में की जा सकती है ।$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

अंत में, हम एल्गोरिदमिक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं : इसमें सभी जोड़े , जिसके लिए एक संतोषजनक CNF है। ध्यान दें कि ।$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

यदि का एक बहुपत्नी एल्गोरिथ्म तो को सभी और इसलिए का उपयोग SAT को हल करने के लिए किया जा सकता है।$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

इसके बाद, मान लीजिए कि सैट से तक एक पॉलिमाइट रिडक्शन , कहते हैं कि समय । यदि का पॉलीटाइम एल्गोरिथम था, तो जैसा कि हमने PH को पी। अन्यथा देखा है, अन्यथा, , और विशेष रूप से, लिए । कमी इस प्रकार से बड़े आकार के किसी भी उदाहरण को लेता है और या तो इसे एक छोटे से उदाहरण में घटाता है, या एक स्ट्रिंग को आउटपुट करता है जो कि फॉर्म का नहीं है ; उत्तरार्द्ध मामले को पॉलिटाइम में पहचाना जा सकता है क्योंकि पॉलीटाइम है। Iterating$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$, हम एसएटी के लिए एक पॉलीटाइम एल्गोरिथ्म प्राप्त करते हैं।

Comments

मुझे कुछ याद आ रहा है, लेकिन लडनेर के प्रमेय के किसी भी सबूत के रूप में अच्छी तरह से यहाँ काम नहीं करेगा?

— स्कॉट आरोनसन

शायद, लेकिन मुझे लगता है कि गिल "पुख्ता" सबूतों के साथ "प्राकृतिक" उदाहरणों की तलाश कर रहे हैं। जैसा कि मैंने ऊपर टिप्पणी की है, सख्त तार्किक अर्थ में 3 नहीं लेना बेहतर है, क्योंकि यह PH के ढहने के बराबर है।

— युवल फिल्मस

प्रिय युवल, स्कॉट, सब, मुझे आश्चर्य है कि (यह मेरे सवाल का हिस्सा 2 है) अगर एनपी-साइड (ऊपर एक सहित) पर समस्याएं "नैतिक रूप से एनपी कठिन" इस अर्थ में हैं कि वे एसएटी की कठोरता को प्रकट करते हैं। बेशक, यह इस तरह के परिणामों को साबित करने की हमारी मौजूदा क्षमता के बारे में एक सवाल है न कि एक सख्त सीसी प्रश्न। मैं मुख्य रूप से पी-साइड और एनपी-साइड में अधिक उदाहरणों में (भाग 1) और अधिक प्राकृतिक (द मेयरेरियर) में रुचि रखता हूं। (जैसा कि युवल ने बताया, लैंडर के प्रमेय ने मेरे प्रश्न का भाग 3 निर्धारित किया है)। रसेल के प्रमाण के विवरण को देखकर अच्छा लगा।)

— गिल कलई

Answer 4

बहुपत्नी पदानुक्रम का पतन नहीं होने की परिकल्पना जटिल सिद्धांत में खोज करने के लिए सबसे उपजाऊ पथों में से एक रही है। इनमें से कई परिणामों को यह कहकर पुकारा जा सकता है कि विशिष्ट एल्गोरिथम कार्य "पी-साइड पर" या "एनपी-साइड पर" हैं। गैर-पतन के बारे में लगता है कि कमजोर परिकल्पना तुलना में कई अधिक परिणाम हैं , और उन सभी को एक संक्षिप्त पोस्ट में कोरल करना असंभव होगा। मैं सिर्फ तीन उदाहरण देता हूं जो इस काम की विविधता का एक छोटा सा अर्थ देते हैं।$PH$$P \neq NP$

1) मान लीजिए कि हमें "ओरेकल गेट्स" के साथ एक सर्किट इनपुट के रूप में दिया गया है, जो किसी भी गणना के दौरान दो ओरेकल प्रश्न बनाता है। हम जानना चाहते हैं कि क्या यह स्वीकार करता है जब एक तांडव पर चला जाता है । बेशक, यह भार है। लेकिन मान लीजिए कि हम सर्किट को एक बराबर करने के लिए कम कर देंगे, जो लिए केवल एक क्वेरी बनाता है । क्या यह कार्य भी कठिन है? हमें नहीं पता कि इसे हल करने से । हालांकि, '88 में काडिन ने दिखाया कि ऐसा करने से पॉली पदानुक्रम का पतन होगा। एक सर्वेक्षण और बेहतर परिणाम के लिए, Fortnow, Pavan, और सेनगुप्ता का यह पेपर देखें:$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

2) मान लें कि हमें केवल बूलियन चर के साथ आकार का उदाहरण दिया गया है । हम कुशलतापूर्वक "हटना" कर सकते हैं आकार का एक satisfiability-बराबर सूत्र कुछ तय बहुपद में से घिरा के लिए (स्वतंत्र )? यह एक घातीय-समय एल्गोरिथ्म चलाने से पहले एक मूल्यवान प्रीप्रोसेसिंग कदम होगा। इस तरह की कटौती इस विचार की एक मजबूत अभिव्यक्ति भी होगी कि की कठोरता मुख्य रूप से एक उदाहरण के समाधान-खोज स्थान के आयाम से निकलती है।ψ मीटर n « मीटर ψ n मीटर एस ए $SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Bodlaender, डाउनी, फैलो, और हेर्मेलिन के एक प्रश्न के उत्तर में, यह फोर्टवे और संथानम द्वारा दिखाया गया था कि इस तरह की संपीड़न कटौती की संभावना नहीं है, क्योंकि यह पाली पदानुक्रम को ध्वस्त कर देगा:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

उनका परिणाम एकतरफा त्रुटि की अनुमति देते हुए यादृच्छिक कटौती पर लागू होता है। मैंने दो-तरफा त्रुटि के लिए एक संगत परिणाम साबित किया

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(इनमें से प्रत्येक पेपर वास्तव में ऊपर उद्धृत परिणामों की तुलना में मजबूत और अधिक विशिष्ट जानकारी देता है।)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

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प्रिय एंडी, इस अतिरिक्त उत्तर के लिए बहुत धन्यवाद!

— गिल कलाई

Answer 5

मैं इस परिणाम को Feige और Lund द्वारा प्रस्तुत करता हूं जो दिखाता है कि जब तक बहुपद पदानुक्रम नहीं गिरता तब तक एक यादृच्छिक मैट्रिक्स के स्थायी के बारे में बहुत आंशिक जानकारी का अनुमान लगाना मुश्किल है।

उरीएल फीगे और कार्स्टन लंड, रैंडम मैट्रिसेस की स्थायी गणना की कठोरता पर। कम्प्यूटेशनल जटिलता 6 (1996/1997) 101-132।

मुझे उरी फीज से मेरे ध्यान में लाए गए दो अतिरिक्त प्रासंगिक परिणामों का भी उल्लेख करें:

निम्नलिखित दो पेपर कर्नेलाइजेशन (निश्चित पैरामीटर ट्रैक्टेबल एल्गोरिदम) के संदर्भ में इसे लागू करते हैं।

हंस एल। बोडलेंडर, रोडनी जी डाउनी, माइकल आर। फेलो, डैनी हेर्मेलिन: बहुपद गुठली के बिना समस्याओं पर। जे। कम्प्यूट। Syst। विज्ञान। 75 (8): 423-434 (2009)

लांस फॉर्च्यून, राहुल संथानम: एनपी के लिए उदाहरण संपीड़न और संक्षिप्त पीसीपी की संभावना। जे। कम्प्यूट। Syst। विज्ञान। 77 (1): 91-106 (2011)

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स्थायी की औसत-मामले की कठोरता के बारे में परिणाम काह

— arnab