एल्गोरिदम की तुलना में यादृच्छिकता में कटौती का अधिक प्रभाव क्यों है?

यह अनुमान लगाया जाता है कि यादृच्छिकता बहुपद समय एल्गोरिदम की शक्ति का विस्तार नहीं करती है, अर्थात, धारण करने के लिए अनुमानित है। दूसरी ओर, यादृच्छिकता बहुपद समय में कटौती पर काफी अलग प्रभाव डालती है । बहादुर और Vazirani के प्रसिद्ध परिणाम करके, को कम कर देता है बेतरतीब बहुपद समय में कमी के माध्यम से। यह संभावना नहीं है कि कटौती को घटाया जा सकता है, क्योंकि यह , जिसकी संभावना कम है। ${\bf P}={\bf BPP}$ $SAT$ $USAT$ ${\bf NP}={\bf UP}$

मुझे आश्चर्य है, इस असममित स्थिति का कारण क्या हो सकता है: संभाव्यता बहुपद समय एल्गोरिदम में व्युत्पत्ति काफी संभव लगती है, लेकिन संभाव्य बहुपद समय में कटौती नहीं?

cc.complexity-theory reductions derandomization

— एंड्रास फरगो
स्रोत

मुझे लगता है कि इसका कारण यह है कि यादृच्छिकता तब मदद करती है जब गणना संवादात्मक होती है (जैसे किसी अन्य खिलाड़ी को धोखा देने से रोकना), और कमी को एक बहुत ही सरल प्रकार की संवादात्मक संगणना माना जा सकता है।

— केव

एनपी के लिए यूपी के बराबर नहीं होने के क्या सबूत हैं?

— साशो निकोलेव

एक और स्थिति जहां यादृच्छिकता से फर्क पड़ता है, वह है "वैल्यू ऑर्केल एल्गोरिदम"। उदाहरण के लिए, जबकि असंबद्ध सबमॉड्यूलर अधिकतमकरण के लिए एक यादृच्छिक 1/2 सन्निकटन एल्गोरिदम है, सबसे अच्छा ज्ञात नियतात्मक एल्गोरिथ्म केवल 1/3 सन्निकटन है। 1/2 सन्निकटन को इष्टतम माना जाता है, और 1/3 सन्निकटन को कम से कम एक लेखक द्वारा इष्टतम होने का संदेह है।

— युवल फिल्मस

@ यवुएल, क्या आप अपनी टिप्पणी को एक उत्तर में विस्तारित कर सकते हैं? मैं एक लंबी व्याख्या पढ़ने में दिलचस्पी होगी।

— केव

बड़ा अच्छा सवाल!

— गिल कालई

जवाबों:

पहले, मुझे Valiant-Vazirani कमी के विशिष्ट मामले पर टिप्पणी करने दें; मुझे उम्मीद है कि सामान्य स्थिति को स्पष्ट करने में मदद मिलेगी।

मूल्यवान-वज़ीरानी कमी को कई तरीकों से देखा / परिभाषित किया जा सकता है। यह कमी एक संतोषजनक बूलियन सूत्र को विशिष्ट रूप से संतोषजनक और एक असंतोषजनक से एक असंतोषजनक नक्शा बनाने की "कोशिश" कर रही है । सभी आउटपुट फ़ार्मुलों को हमेशा प्रतिबंधित करके प्राप्त किया जाता है , इसलिए असंतोषजनकता हमेशा संरक्षित रहती है। कमी परिभाषित किया जा सकता है या तो एक भी outputting के रूप में , या की एक सूची outputting के रूप में । उत्तरार्द्ध मामले में, "सफलता" मामले में $F$ $F'$ $F$ $F'$ $F$ $F'$ $F'_1, \ldots, F'_t$ होने के रूप में परिभाषित किया गया हैकम से कम एकविशिष्ट तृप्तियोग्य सूची में। इन दोनों वेरिएंट को क्रमशः "सिंगलटन रिडक्शन" और "लिस्ट-रिडक्शन" कहें (यह मानक शब्दावली नहीं है)। $F \in SAT$ $F'_i$

पहला बिंदु यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि सिंगलटन कमी में सफलता संभावना काफी छोटा है अर्थात् है जहां चर की संख्या है। इस सफलता की संभावना को सुधारने में आने वाली कठिनाइयों को कागज में खोजा जाता है $\Theta(1/n)$ $n$

"क्या वैलेंटाइन-वज़ीरानी की अलगाव संभावना बेहतर है?" डेल एट अल द्वारा।

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/151/#revision1

सूची-कटौती में, सफलता की संभावना को बड़ी, कह सकते हैं, एक पाली -sized सूची के साथ। (एक उदाहरण के लिए, कई बार सिंगलटन की कमी को दोहरा सकते हैं।) $1 - 2^{-n}$ $(n)$

अब, यह बिल्कुल स्पष्ट या सहज नहीं है कि हमें एक कमी को सीधे करने में सक्षम होना चाहिए जिसमें केवल सफलता की संभावना । वास्तव में, कोई भी कठोरता-बनाम-यादृच्छिकता परिणाम परिकल्पना नहीं देता है जिसके तहत हम इस मामले में ऐसा कर सकते हैं। यह बहुत अधिक प्रशंसनीय है कि सूची-कटौती को आरेखित किया जा सकता है (कुछ हद तक बड़ी सूची के साथ)। ध्यान दें कि यह अर्थ नहीं होगा : सूत्रों की हमारी आउटपुट सूची में कई विशिष्ट-संतोषजनक सूत्र हो सकते हैं, और शायद कुछ कई संतोषजनक असाइनमेंट के साथ, और इस तरह से एक विशिष्ट-स्वीकार किए गए कम्प्यूटेशन को परिभाषित करने का प्रयास करना निराशाजनक लगता है सूची। $1/n$ $NP = UP$

यहां तक कि अगर हम किसी भी तरह एक सूची को कम करने, जिसमें एक तृप्तियोग्य दे सकता है हमेशा एक सूची प्रेरित जहां सबसे की के विशिष्ट संतुष्टि योग्य हैं, वहाँ कोई स्पष्ट तरीका है कि में बदल जाने की है अलगाव के लिए एक नियतात्मक सिंगलटन कमी। वास्तविक अंतर्निहित कठिनाई यह है कि हम किसी भी "विशिष्ट तृप्तियोग्य सूत्रों के लिए अनुमानित बहुल आपरेशन", कि है, एक कमी के बारे में पता नहीं है $F$ $F'_1, \ldots, F'_t$ $F'_j$ $R(F'_1, \ldots, F'_t)$ जिसका उत्पादन विशिष्ट तृप्तियोग्य अगर सबसे अधिक है के विशिष्ट संतुष्टि योग्य हैं, और unsatisfiable अगर सबसे के unsatisfiable हैं। यह भी एक सामान्य घटना की तरह लगता है: निर्णय एल्गोरिदम की तुलना में अधिक जटिल वस्तुओं का उत्पादन कम करता है, और इन वस्तुओं के गुणों की जांच करना कठिन है, इसलिए इन वस्तुओं में से कई को एक ही वस्तु में संयोजित करना कठिन है जो बहुमत की कुछ संपत्ति को विरासत में मिला है। $F'_j$ $F'_j$

वैलिएंट-वज़िरानी मामले के लिए, यह प्रशंसनीय व्युत्पन्न धारणाओं के तहत भी संभव नहीं लगता है कि हम प्राप्त करने में सक्षम होंगे , अर्थात, पाली साथ संतोषजनक फ़ार्मुलों के लिए संतोषजनक फ़ार्मुलों को कम करने के लिए। समाधान की। सहज रूप से यह इस तथ्य से उपजा है कि आइसोलेटिंग प्रक्रिया को सूत्र के समाधान के किसी न किसी आकार का भी कोई पता नहीं है जो इसे दिया गया है। $NP = FewP$ $\leq$ $(n)$ $F$

— एंडी ड्रकर
स्रोत

मेरी इच्छा है कि हर कोई जो कभी भी वैलेंट-वज़ीरानी के बारे में सीखे, वह इस उत्तर को पढ़ेगा। गलतफहमी है कि वीवी को आरेखित करने से एनपी = यूपी दुर्भाग्य से और कुत्ते की तरह लगातार बने रहेंगे, और इसमें शामिल मुद्दों और विकल्पों की स्पष्ट चर्चा होती है।

— जोशुआ ग्रोचो

दैवीय दुनिया में, उदाहरण देना आसान है जहां यादृच्छिकता हमें बहुत अधिक शक्ति देती है। उदाहरण के लिए, एक संतुलित बूलियन फ़ंक्शन के शून्य को खोजने की समस्या पर विचार करें। रैंडमाइज्ड एल्गोरिथ्म यह सुनिश्चित करता है कि निरंतर सफलता की संभावना के साथ प्रश्नों का उपयोग किया जाए , जबकि किसी भी नियतात्मक एल्गोरिथ्म में कम से कम प्रश्नों की आवश्यकता होती है । $O(1)$ $n/2$

यहां एक और स्थिति है जहां यह संदेह है कि यादृच्छिककरण मदद करता है। मान लीजिए कि हम एक मैट्रोइड बाधा पर एक मोनोटोन सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन को अधिकतम करना चाहते हैं। दो अलग-अलग एल्गोरिदम हैं जो सन्निकटन देते हैं, और यह इस मॉडल में वोंडाक के परिणाम से इष्टतम है। दोनों एल्गोरिदम प्रपत्र के एक समारोह की गणना करने की जरूरत है , जहां $1-1/e$ $\mathbb{E}_{x \sim X} f(x)$ $X$ घातीय समर्थन के साथ एक वितरण है। इस फ़ंक्शन की गणना करना वास्तव में बहुत महंगा है, लेकिन इसे नमूना द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, और परिणाम एक यादृच्छिक एल्गोरिदम है। इसके विपरीत, सबसे अच्छा ज्ञात नियतात्मक एल्गोरिथ्म, लालची एल्गोरिथ्म, एक देता है सन्निकटन। $1/2$

एक समान स्थिति अनियंत्रित सबमॉड्यूलर अधिकतमकरण में होती है (यहां फ़ंक्शन आवश्यक रूप से मोनोटोन नहीं है)। हाल ही में सफलता एल्गोरिथ्म एक इष्टतम देता है सन्निकटन है, लेकिन इसकी नियतात्मक संस्करण केवल एक देता है सन्निकटन। यहाँ यादृच्छिकरण या तो बिलकुल उसी तरह से प्रकट होता है जैसे कि मोनोटोन मामले में, या (एल्गोरिथम के एक अलग संस्करण में) रास्ते में कुछ यादृच्छिक विकल्प बनाकर। $1/2$ $1/3$

बाद कागज अनुमान के लेखकों में से एक यह है कि सबसे अच्छा है कि एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म को प्राप्त कर सकते है, और हम कर सकते हैं इसी तरह अनुमान है कि सबसे अच्छा है कि पिछले समस्या में प्राप्त किया जा सकता है। यदि ये अनुमान सही हैं, तो यह एक बहुत ही स्वाभाविक स्थिति है जिसमें यादृच्छिकरण से काफी मदद मिलती है। $1/3$ $1/2$

हाल ही में, Dobzinski और Vondrák ने दिखाया कि वैल्यू ऑरेकल लोअर बाउंड्स (यादृच्छिक एल्गोरिदम के लिए) को कठोरता के परिणामों में कैसे बदलना है, आरपी से अलग एनपी पर सशर्त (मुख्य घटक सूची डिकोडिंग है)। हमें इस बात का उल्लेख करना चाहिए कि परिवर्तन उस विशिष्ट विधि पर निर्भर करता है जिसका उपयोग ओरेकल लोअर सीमा को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। शायद यह सच है कि नियतात्मक मूल्य ओरेकल निचले सीमा भी कठोरता परिणामों में अनुवाद करते हैं।

— युवल फिल्मस
स्रोत

मुझे आश्चर्य है कि अगर वॉल्यूम आकलन की समस्या इस "मूल्य के लिए" मॉडल के तहत आती है। उस मॉडल में, आपको उत्तल वस्तु के लिए एक सदस्यता अलंकरण दिया जाता है, जिसकी मात्रा आप अनुमान लगा रहे हैं, और यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि यह एक घातीय कारक के लिए भी नियत रूप से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, लेकिन यादृच्छिक रूप से एल्गोरिथ्म द्वारा मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है।

— सुरेश वेंकट

एक कारण यह आपको अजीब लग सकता है, क्योंकि हमें लगता है कि से तक तुलनीय तुलना में से तक यादृच्छिक कटौती में अधिक स्पष्ट (या अनुमानित) शक्ति है , क्योंकि आप हो सकते हैं यादृच्छिकता के बारे में सोचने के रूप में कुछ ऐसा है जो या तो शक्तिशाली है (या शक्तिशाली नहीं है) स्वतंत्र रूप से "मशीन" से आप इसे जोड़ते हैं (यदि हम इन जटिलता वर्गों को मशीन मॉडल से उत्पन्न होने वाली कक्षाओं के रूप में कैरिकेचर करते हैं)। $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{BPP}$ $\mathsf P$

और फिर भी, अलग-अलग शक्ति के ये कटौती मौजूद हैं। वास्तव में, रैंडमनेस जैसे कम्प्यूटेशनल संसाधन में आवश्यक रूप से कम्प्यूटेशनल पावर की एक निश्चित मात्रा नहीं होती है, जो या तो "महत्वपूर्ण" है या "महत्वपूर्ण नहीं" है।

हम खुद के लिए किसी भी जटिलता वर्ग जो कम है पर विचार कर सकते हैं - उदाहरण के लिए, , , , , , या - तरह की एक मशीन मॉडल के लिए उत्तरदायी होने के लिए है, जिसमें मशीन में हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित स्थिति होती है, जिसके बारे में आप किसी भी समय प्रश्न पूछ सकते हैं, जबकि आप जो प्रश्न पूछते हैं, उससे आगे भी गणना जारी रखने की अनुमति देते हैं: संक्षेप में, ठीक इसके लिए मशीन एक एल्गोरिथ्म को उप-प्रकार के रूप में अनुकरण कर सकती है। एक और। गणना करने वाली मशीन विशेष रूप से यथार्थवादी नहीं हो सकती है $\mathsf L$ $\mathsf P$ $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{\oplus P}$ $\mathsf{PSPACE}$ अगर हम खुद को संसाधनों पर व्यावहारिक बाधाओं ( जैसे शारीरिक रूप से वसूली योग्य और ब्याज की समस्याओं के लिए कम डिग्री बहुपद समय में उत्तर देने में सक्षम) के लिए प्रतिबंधित करते हैं , लेकिन जैसे वर्गों के विपरीत - जिसके लिए हमें कोई अंदाजा नहीं है कि एक nondetermalistic मशीन कैसे उत्पादन कर सकती है में एक और समस्या का उत्तर और किसी भी तरह से (iterated) conjunctive और disjunctive सच्चाई-तालिका में कटौती से उत्तर का उपयोग करें - एक ऐसे वर्ग की कल्पना करना जिसे एक अच्छी तरह से परिभाषित राज्य के साथ मशीन द्वारा सन्निहित किया जा रहा है जिसे हम पूछताछ कर सकते हैं हमें बुरी तरह भटका नहीं। $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

यदि हम इस स्थिति को लेते हैं, तो हम पूछ सकते हैं कि क्या होता है अगर हम इन कम्प्यूटेशनल मॉडल को अतिरिक्त सुविधाओं जैसे कि यादृच्छिकता या नोंडेटर्मिनिज़्म प्रदान करते हैं। (ये अतिरिक्त सुविधाएं जरूरी नहीं कि मशीन मॉडल द्वारा व्याख्यायित होने की संपत्ति को संरक्षित करें, विशेषकर नोंदेर्तिवाद के मामले में, लेकिन वे 'नई' कक्षाओं को जन्म देती हैं।) यदि यह अतिरिक्त सुविधा मॉडल को और अधिक शक्ति प्रदान करती है, तो वृद्धि प्रदान करती है। एक वर्ग , यह कहने के बराबर प्रभाव में है कि उस सुविधा का उपयोग करते हुए से तक की कमी है , जैसे यादृच्छिकता के मामले में यादृच्छिक कमी। $\mathsf M$ $\mathsf C$ $\mathsf C$ $\mathsf M$

इसका कारण मैं इसे उन कक्षाओं के संदर्भ में बता रहा हूं जो स्वयं के लिए कम हैं, अगर हम गंभीरता से लेते हैं कि वे "दूसरी दुनिया में गणना के संभावित मॉडल" हैं, तो यादृच्छिक कटौती के बारे में आपका प्रश्न इस तथ्य से मेल खाता है कि ऐसा लगता है कि यादृच्छिकता नाटकीय रूप से कुछ मॉडलों की शक्ति बढ़ जाती है, लेकिन अन्य नहीं ।

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{BP\cdot\oplus P}$ $\mathsf{\oplus P}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BP\cdot\oplus P}$ $\mathsf{\oplus P}$ $\mathsf{\oplus P}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$ $\mathsf{BPP} \subseteq \Sigma^{\mathsf p}_2 \cap \Delta^{\mathsf p}_2$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

$\mathsf{PH}$ $\mathsf{\oplus P}$ $\mathsf{BPP} \approx \mathsf{P}$ $\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$ यह नहीं है कि "यादृच्छिकता में कोई शक्ति नहीं है", लेकिन यह यादृच्छिकता अकेले (या बल्कि, बहुपद समय गणना द्वारा पूरक और अन्यथा निर्धारक कम्प्यूटेशनल मॉडल को प्रदान की गई) शक्तिशाली नहीं है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यादृच्छिकता में कोई शक्ति नहीं हो सकती है, जो अन्य कम्प्यूटेशनल संसाधनों द्वारा उत्प्रेरित हो सकती है।

— निएल डे ब्यूड्रैप
स्रोत

"एक अलग सत्य-तालिका में कमी से अलग -" अन्य मोनोटोन सत्य-तालिका कटौती के बारे में क्या है, जैसे कि एक संयुक्त सत्य-तालिका में कमी?

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@ रिकीडेमर: काफी सही। जिस समय मैंने यह लिखा था, मैं एनएल से संबंधित कुछ नॉनडेर्मिनिस्टिक वर्गों पर काम कर रहा था , जिसके लिए dtt- और ctt- कटौती के तहत क्लोजर दोनों ने कंपार्टमेंट्स के तहत क्लोजर निहित होगा, और इसलिए मैंने ctt का उल्लेख छोड़ दिया; लेकिन वही स्पष्ट रूप से एनएल या एनपी के लिए सच नहीं है । मैं अपना उत्तर संपादित करूँगा।

— निल डे ब्यूड्रैप

@NieldeBeaudrap यह एक बहुत अच्छा जवाब है।

— तैफून पे